习题 26, § 1

(a) Let $A$ be an integral domain such that for all $a \neq 0$ in $A$, the ideal $Aa$ is the intersection of a family $(q_i)$ of saturations of $Aa$ with respect to prime ideals $p_i$ which are minimal among those which contain $a$, such that the domains $A_{p_i}$ are integrally closed (resp. completely integrally closed). 然后证明 $A$ 是积分闭（或完全积分闭）。

(b) 令 $A$ 为强拉斯克局部环 (章 IV, § 2, 习题 28)，$m$ 为其最大理想。假设，对于某些 $a \in A$，$m$ 是与 $A/Aa$ 弱关联的*沉浸*素理想（章 IV, § 1，习题 17）。证明 $Aa : m$ 包含在每个与 $A/Aa$ 弱关联的素理想 $p \neq m$ 的主理想中（考虑这样一个主理想 $q$、cf. 章 IV, §2、习题 30 的传输器 $q : m$）。如果进一步假设 $A$ 为整环，则证明关系 $p . (Aa : m) = Aa$，对于包含 $Aa$ 中的素理想 $p$ 最小值，是不可能的（如果 $q$ 是 $A$ 的饱和度） $p$、注，借助章IV, § 2的习题29(d)，上述关系将暗示$A_p$和结论中的$qA_p = qpA_p$。

(c) 证明，如果 $A$ 是强拉斯克整环，并且存在 $A$ 的元素 $a \# 0$，使得存在与 $A/Aa$ 弱关联且*沉浸*的素理想，$A$ 不是完全积分闭的。 （约化适用于（b）中考虑的情况；在（b）的记号中，则存在$b \in Aa : m$，使得$b \notin Aa$和$bp \subset am$；通过$n$上的归纳推论出对于所有$n$的$b^n p \subset a^n m$。）

(d) 特别从(a)和(c)中推导出，对于诺特整环整体封闭，对于$A$中的所有$a \neq 0$来说，与$A/Aa$相关的素理想$p$不被浸入并且使得$A_p$整体封闭（cf.）是必要且充分的章 VII, § 1, no. 4, 命题 8).