习题 11, § 1

整环 $A$ 中的除子 $d$ 被称为“有限生成”，如果它是形式 $\operatorname{div}(a)$，其中 $a$ 是有限生成的分数理想（不一定是除数；cf. (b)）。

(a) 证明，如果$A$是一个Krull域，$D(A)$的每个除子都是形式$\operatorname{div}(a)$，其中$a = Ax + Ay$、$x, y$是分数的域的元素$\neq 0$ $A$（使用no. 5的推论2至命题9）。

(b) 设 $K$ 为可数集合不定式中 $K$ 多项式的域、$A = K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$ 环，这是一个 Krull 环 (习题 8)。令$A'$为单位元生成的$A$的子环以及所有对$(i, j)$的单项式$X_i X_j$（等价地，$A'$是所有其项的多项式的集合）甚至有次数）。如果$L$和$L'$是$A$和$A'$的分数的域，则表明$A' = A \cap L'$，因此$A'$是Krull环。令$p$为乘积$X_i X_j$对于所有$i \geq 0$生成的$A'$中的理想；表明 $p$ 是高度为 1 的素理想（因此 除数），但 它不是有限生成的。