习题 7, § 1

令 $K$ 为域和 $(v_i)_{i \in I}$ 对 $K$ 满足条件 (AK$_I$) 和 (AK$_{III}$) no. 3 的一系列离散估值，这样，对于每个整数 $r$，每个有理整数的族$(n_h)_{1 \leq h \leq r}$和$I$的不同元素的每个族$(t_h)_{1 \leq h \leq r}$，存在$x \in K$使得$1 \leq h \leq r$的$v_{t_h}(x) = n_h$和$i$的$v_i(x) \geq 0$不同于$t_h$。证明$v_i$的评估环的交是一个Krull域$A$，其分数的域是$K$，并且$(v_i)_{i \in I}$是$A$的基本评估族。 （首先证明$K$是$A$的分数的域，因此$A$是克鲁尔域；然后证明对于所有$i \in I$，那些$x$的$A$由……组成的素理想，使得$v_i(x) > 0$ 必然具有高度 1，通过*归谬*论证并使用 no. 4 的推论 2 到命题 6。）