Exercice 7, § 1

Soient K un corps, $(v_i)_{i \in I}$ une famille de valuations discrètes sur K vérifiant les conditions (AK_I) et (AK_{III}) du n° 3, et telle que pour tout entier r, toute famille $(n_h)_{1 \leq h \leq r}$ d’entiers rationnels et toute famille $(\iota_h)_{1 \leq h \leq r}$ d’éléments distincts de I, il existe $x \in K$ tel que $v_{\iota_h}(x) = n_h$ pour $1 \leq h \leq r$ et $v_i(x) \geq 0$ pour $i$ distinct des $\iota_h$. Montrer que l’intersection des anneaux de valuation des $v_i$ est un anneau de Krull A dont K est le corps des fractions, et que $(v_i)_{i \in I}$ est la famille des valuations essentielles de A. (Montrer d’abord que K est le corps des fractions de A, donc que A est un anneau de Krull; prouver ensuite que pour tout $i \in I$, l’idéal premier de A formé des $x$ tels que $v_i(x) > 0$ est nécessairement de hauteur 1, en raisonnant par l’absurde et utilisant le cor. 2 de la prop. 6 du n° 4).