Bài tập 7, § 1

Cho $K$ là một trường và $(v_i)_{i \in I}$ là một họ các định giá rời rạc trên $K$ thỏa mãn các điều kiện (AK,) và (AK,,) của no. 3 và sao cho, với mọi số nguyên $r$, mọi họ $(n_h)_{1 \leq h \leq r}$ các số nguyên hữu tỉ và mọi họ $(t_h)_{1 \leq h \leq r}$ các phần tử phân biệt của $I$, tồn tại $x \in K$ sao cho $v_{t_h}(x) = n_h$ với $1 \leq h \leq r$ và $v_i(x) \geq 0$ với $i$ phân biệt với các $t_h$. Chứng minh rằng giao của các vành định giá của các $v_i$ là một miền Krull $A$ có trường các phân thức là $K$ và rằng $(v_i)_{i \in I}$ là họ các định giá cốt yếu của $A$. (Trước hết hãy chứng minh rằng $K$ là trường các phân thức của $A$ và do đó $A$ là một miền Krull; sau đó chứng minh rằng với mọi $i \in I$, iđêan nguyên tố của $A$ gồm các $x$ sao cho $v_i(x) > 0$ nhất thiết có chiều cao 1, bằng cách lập luận theo reductio ad absurdum và sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 6 của no. 4.)