此外，如果存在单个指标$k$使得$v(x_k) = \inf_{1 \leq i \leq n} v(x_i)$，则(1)的两侧相等。特别是，如果$v(x) \neq v(y)$，则$v(x + y) = \inf(v(x), v(y))$。

关系 (1) 由公理 (VL_{II}) 通过 $n$ 上的归纳得出。如果存在单个指标$k$使得$v(x_k) = \inf_{1 \leq i \leq n} v(x_i)$，则通过(1)写出$y = \sum_{i \neq k} x_i$和$z = \sum_{i=1}^n x_i$、$v(y) > v(x_k)$和$v(z) \geq v(x_k)$；如果$v(z) > v(x_k)$，关系$x_k = z - y$会给出$v(x_k) \geq \inf(v(z), v(y)) > v(x_k)$，这是荒谬的； 从而$v(z) = v(x_k)$，证明第二个断言。

如果只有一个指标$k$，$v(x_k) = \inf_{1 \leq i \leq n} v(x_i)$，命题1将显示$v(x_k) = v(0) = +\infty$，从而$v(x_i) = +\infty$对于所有$i$，与关系$n \geq 2$和假设相反$k$。

注 (1) 如果$v : C \to \Gamma_\infty$是环$B$到$C$对$C$和$u : B \to C$同态的估价，则直接的是映射$B \xrightarrow{u} C \xrightarrow{v} \Gamma_\infty$对$B$的估价$\Gamma$ 中的值。

(2) Conditions (VL$_I$) and (VL$_II$) show immediately that the set $\bar{v}^{-1}(+\infty)$ is a two-sided ideal $\mathfrak{p}$ in $C$ distinct from $C$ by virtue of (VL$_III$); moreover, if $x, y$ are two elements of $C$ such that $v(xy) = +\infty$, it follows from (VL,) that necessarily $v(x) = +\infty$ or $v(y) = +\infty$; in other words, the quotient ring $C/\mathfrak{p}$ has no divisor of 0 other than 0; it is immediately verified that the mapping $\bar{v} : C/\mathfrak{p} \to \Gamma_\infty$ derived from $v$ by passing to the quotient is a valuation on $C/\mathfrak{p}$, the inverse image of $+\infty$ under this valuation reducing to 0.

断言 (i) 源自$\bar{v}^{-1}(+\infty)$ 是$K$ 的理想，不等于$K$。凭借公理 (VL$_I$)、(VL$_II$) 和 (VL$_III$)，$A$ 是环以及$V$、$V'_a$ 双面理想的验证是微不足道的。如果$a$是$A$和$x \neq 0$属于到$A$的（左，对于例）理想，每个$y \in A$使得$v(y) \geq v(x)$可以写成$y = zx$，其中$z = yx^{-1}$，因此$v(z) = v(y) - v(x) \geq O$，因此$z \in A$；在其他字左理想$Ax$包含$V'_a$为$a > v(x)$。 集合$U(A) = A - m(A)$是$x \in K$的集合使得$v(x) = 0$；如果$x \in U(A)$，那么

从而$x^{-1} \in U(A)$；相反，如果$y \in A$在$A$中可逆，则$v(y) \geq 0$、$v(y^{-1}) \geq 0$和$v(y) + v(y^{-1}) = 0$、从而、$v(y) = 0$和$y \in U(A)$；这证明了 (iv) 和 (v) 紧随定义而来。

$A$（分别为$m(A)$、$\kappa(A)$）被称为 $K$ 上的估值$v$ 的环（分别为理想、剩余类域）。

显然U(A)是同态$v : K^* \to \Gamma$核和乘法群$K^*$$v$下的像$v(K^*)$是加法群$\Gamma$子群，称为$v$的阶群或值群，因此与$K^*/U(A)$同构的；对于$x \in K$，$\Gamma_\infty$的元素$v(x)$称为估价有时，或$v$称为$x$的阶。如果环相同，则对 $K$ 的两个估价 $v, v'$ 称为等价。

假设$v$和$v'$等价；将$v$估价的假设、环$A$与$v'$、$v$和$v'$相同（仅限于$K^*$）因子转换为同态$K^* \to K^*/U(A) \xrightarrow{\mu} v(K^*)$， $K^* \to K^*/U(A) \xrightarrow{\nu} v'(K^*)$，其中$\mu$和$\nu$是同构；此外，$v(K^*)$（或$v'(K^*)$）正元素的集合是类模集合的$\mu$（或$\nu$）下的像。 元素 $U(A)$ $\neq 0$ $m(A)$；我们结论$A = v \circ \mu^{-1}$解决了问题，逆命题是显而易见的。

现在假设$K$是交换域；那么，对于$K$的所有评估$v$，评估$v$的环$A$是$K$的评估环，在§ 1, no. 2，定义2的意义上（这证明术语是合理的）；这紧随命题 2 (c) 和§ 1 no. 2、定理 1 (c)。 相反，回想一下，对于每个整环$B$，其分数的域是$K$关系的整除性$x|y$（相当于$y \in Bx$）使得$K^*$成为预定的群，其*相关有序群* $\Gamma_B$是$K^*$的$K^*/U(B)$除以$B$的可逆元的群$U(B)$的商，这个群的正值元素是$B^*/U(B)$（其中$B^* = B - \{0\}$）； 映射 $x \mapsto Bx$ 定义，通过经过与有序群 $K^*/U(B)$ 到群（按关系 $\supset$ 有序）的商同构的非零主分数理想$K$（*代数*、章VI, § 1, no. 5）。 环$A$，域为分数$K$，并且群$\Gamma_A = K^*/U(A)$是*全序*，正是K*的*评估环（§ 1, no. 2，定理1） (d))。如果$v_A$表示$K^*$的典范同态到$\Gamma_A$，则直接的$v_A$（由$v_A(0) = +\infty$扩展）是$K$的评估（称为*规范*），其环是$A$；每个等于 $v_A$ 的估价都可以写成 $v = \sigma \circ v_A$，其中 $\sigma$ 是$\Gamma_A$ 的同构到群的子群，其中 $v$ 取其值 (命题 3)； $\sigma \circ v_A$ 称为 $v$ 的*规范分解*。

由*代数*、章I, § 2, no. 7的定理2，从$K^*$到$\Gamma$存在唯一同态$w$，扩展$v|C^*$和$w(K^*)$由下式生成$v(C^*)$。仍有待证明$w$满足公理（VL$_{\text{II}}$）。然后令$x' \in K^*, y \in K^*$使得$x + y \in K^*$；存在$a \in \mathbf{C}^*$使得$ax \in \mathbf{C}^*$和$ay \in \mathbf{C}^*$，从而$a(x + y) \in \mathbf{C}^*$。由于$w$到$\mathbf{C}^*$的限制满足(VL$_{\text{II}}$)，

两边消去$w(a)$，我们得到

设$\Gamma_v$和$\Gamma_{v'}$为$v$和$v'$的阶群。由于$v'$到$K$的限制等价于$v$，因此$\Gamma_v$的同构$A$存在于$\Gamma_{v'}$的子群上，使得$v' = A \circ v$在$K$上。如果通过$\lambda$将$\Gamma_v$与$\lambda(\Gamma_v)$进行识别，则可知$v'$扩展$v$。

注 $\Gamma_{v'}$ 通常*不同于* $\lambda(\Gamma_v)$，而 $v'$ 的等价类不一定是唯一的。我们将在§ 8返回*到*这个。

翻译§ 1, no. 3的定理 3（或§ 2, no. 5的命题 6），我们得到：

从现在开始，我们一般将把进行与上述类似的翻译的麻烦留给读者。

令$b$为$K$的子A模块。 $x \in b - (0)$的$v(x)$的集合是$G$的主要子集$M(b)$。如果证明以下方程，则可得到命题 7：

(2) $M(a(N)) = N$ 子集 $N$ $G$； (3) $a(M(b)) = b$ 对于 $K$ 的每个子 A 模块 $b$。

公式 (2) 很容易，因为对于所有$m \in N$，存在$x \in K$使得$v(x) = m$。那么显然$b \subset a(M(b))$；相反，令 $x \in a(M(b))$ 并假设 $x \neq 0$；

那么$v(x) \in M(b)$，因此存在$y \in b$使得$v(x) = v(y)$； 从而 $x = uy$ 其中$v(u) = 0$，证明$x \in A$ $y \subset b$ 并完成证明。

由于$A = a(G_+)$，$a(M) \subset A$相当于$M \subset G_+$。

对于例，极大理想$m(A)$等于$a(S)$，其中$S$表示$G$严格正的元素的集合。

可以假设$v$是标准化的，因此$v(u) = 1$。对于所有$x \in K^*$，有整数$n \in \mathbf{Z}$使得$(v(x) = n = v(u^n)$，因此我们可以写

其中$z, z'$是环$A$中的两个可逆元； 从而命题。

(d) $A$ 是 诺特环，$m(A)$ 是*本金*。 (e) $A$ 是 诺特估值环。

命题 8 表明(a) 蕴涵(b)、(d) 和(e)。如果 $A$ 为主理想整环，则 $m(A) = Au$ 且 $A$ 的每个非零理想为形式 $Au^n$，因为 $A$ 是本地的 (代数, 章 VII, § 1, no. 3, 定理 2）；因此$\bigcap_{n=1}^\infty m(A)^n = 0$；这表明(b)蕴涵(c)。另一方面，(d) 意味着 (c)（章 III, § 3, no. 2，命题 5 的推论）；通过 § 1, no. 4 的命题 2，(c) 隐含 (a)。因此条件 (a), (b), (c), (d) 是等价的并且隐含(e)。最后假设 (e) 成立，让我们证明 (b) 成立；足以证明以下引理：

令$E$为有限生成的无扭转$A$模，并令$x_1, \ldots, x_n$为$E$的生成元，其在数中最小；我们证明它们是线性独立的。如果 $\sum_{i=1}^n a_i x_i = 0$ ($a_i \in A$) 是 $x_i$ 之间的非平凡关系，则 $a_i$ 之一，比如 $a_1$，除所有其他，因为 $A$ 的主理想的集合是通过包含完全排序的（§ 1, no. 2，定理1）；那么 $a_1 \neq 0$ 因为关系是不平凡的。由于$E$是无扭转的，我们可以通过$a_1$来除，这相当于假设$a_1 = 1$。但$x_1$是$x_2, \ldots, x_n$的线性组合，与$n$的最小特征标相反。因此$E$是免费的。

特别是，$A$的每个有限生成的理想$\mathfrak{a}$是主要的，$\mathfrak{a}$的生成元的元素、系统都是其中之一的倍数。 命题 3 of 章 I, § 2, no. 4 则表明每个无扭转 $A$ 模块都是平坦的。