习题 3, § 8

令 $k$ 为素数域 $\mathbf{F}$ 上的无限个不定数中的有理函数 $\mathbf{F}_p(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 的域，并令 $K = k(U, V)$ 为 $k$ 上的两个不定数中的有理函数的域。

(a) 证明形式幂级数 $k((U))$ 的域元素 $P(U) = \sum_{n=0}^\infty X_n^p U^{np}$ 不是有理函数的域 $k(U)$ 的代数。 $k[U, V]$到$k((U))$的映射$F(U, V) \mapsto F(U, P(U))$可以扩展到$K$的同构到$k((U))$的子域； 限制对$k((U))$的评估的子域等于正式幂级数的阶（§ 3, no. 3，例3）是对$K$的离散评估$v$，其剩余类域是 $k$。

(b) 令$K'$为$K$的代数扩张$K(V^{1/p})$，使得$[K': K] = p$；如果$v'$是$K'$延伸$v$的唯一估值，则证明$e(v'/v) = f(v'/v) = 1$。 因此，估价 $v'$ 的环不等于估价 $v$ 的环的有限生成模。