Bourbaki

习题 1, § 3

标签 04TN，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 04TN]。

交换代数, VI, 446

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 设 L 为域，T 为不定值；在正式幂级数L((T))L((T))的域中，考虑级数

s=c0+c1T1!+c2T2!+…+cnTn!+… s = c_0 + c_1 T^{1!} + c_2 T^{2!} + \ldots + c_n T^{n!} + \ldots

其中ci∈Lc_i \in L都是≠0\neq 0。证明 s 超越 L((T))L((T)) 的子域 L(T)L(T)。 （通过反证法论证，假设存在关系a0(T)+a1(T)s+…+aq(T)sq=0a_0(T) + a_1(T)s + \ldots + a_q(T)s^q = 0，其中ai(T)a_i(T)是L(T)L(T)中的多项式，使得ai≠0a_i \neq 0；构造满足的方程

s′=s−c0−c1T1!−…−cn−1T(n−1)! s' = s - c_0 - c_1 T^{1!} - \ldots - c_{n-1} T^{(n-1)!}

并证明对于 n 足够大，其常数项是次数 <n!< n! 的多项式，从而我们的矛盾。）

(b) 令k为域、X、Y、Z、T四个不定数、K=k(X,Y,Z)K = k(X, Y, Z)和k(X)k(X)的E代数闭包；在 E 中，对于所有 n，令 xnx_n 表示元素，使得 xnn=Xx_n^n = X。在正式幂级数E((T))E((T))的域中，考虑元素

s=x1T+x2T2!+…+xnTn!+… s = x_1 T + x_2 T^{2!} + \ldots + x_n T^{n!} + \ldots

元素 s 和 T 在代数上独立于 E (a)。考虑同态f:K→E((T))f : K \to E((T))使得f(X)=X,f(Y)=T,f(Z)=sf(X) = X, f(Y) = T, f(Z) = s。如果v是正式幂级数的阶定义的E((T))E((T))的离散估值（no. 3，例3），则v∘fv \circ f是KK的离散估值；证明v∘fv \circ f的剩余类域是EE的子域k(x1,x2,…,xn,…)k(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots)，因此在kk上是无限的。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

引用了

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。