Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

2. 地点

1. 态射的概念对于合成的律并非到处都有定义

定义 1 04SN

令 E 和 E' 为两个集合，每个律为合成，用(x,y)↦x∗y(x, y) \mapsto x * y表示，不一定在所有地方都定义。 映射 f:E→E′f : E \to E' 是态射，如果对于 E 中的所有 x,yx, y 且定义了 f(x)∗f(y)f(x) * f(y)，也定义了合成 x∗yx * y 并且：

引用了 1

引用了 A I § 1. 。 律合成； 结合性； 交换律

(1)

f(x∗y)=f(x)∗f(y). f(x * y) = f(x) * f(y).
更简单地说，我们可以说每当右侧有意义时，公式 (1) 都必须成立。

态射的概念与表示(代数, 章I, § 1, no. 1)不同，其中要求只要左边有意义，方程(1)就成立。当然，律和合成的两个概念重合到处都有定义。

定义 2 04SO

令 E 和 E' 为两个集合，每个律为合成 (x,y)↦x∗αy,α∈I(x, y) \mapsto x *_{\alpha} y, \alpha \in I。如果对于合成 (x,y)↦x∗αy(x, y) \mapsto x *_{\alpha} y 的每个律都是态射，映射 f:E→E′f : E \to E' 就是态射。

引用了 1

引用了 E IV § 2. 态射和导出结构

正如表示一样，*集合理论*的态射满足公理(MO_I)、(MO_{II})、(MO_{III})、章IV, § 2。如果：E→E′E \to E'是态射，f(E)f(E)是R′\mathbf{R}'的稳定子集。

2. 地点

If K is a field, recall that K\mathbf{K} denotes the set the sum of K and an element denoted by ∞\infty (Algebra, Chapter 11, § 9, no. 9); the laws of composition of K extend to K\mathbf{K} by setting (loc. cit.)

(2)

a+∞=∞for a∈K,a≠∞, a + \infty = \infty \quad \text{for } a \in \mathbf{K}, \quad a \neq \infty,
(3)
∞.a=a.∞=∞for a∈K~,a≠0. \infty . a = a . \infty = \infty \quad \text{for } a \in \tilde{\mathbf{K}}, \quad a \neq 0.

因此，唯一未定义的合成是合成至+∞+ \infty、∞.0\infty . 0和0.∞0 . \infty。另一方面，映射x↦−xx \mapsto -x和x↦x−1x \mapsto x^{-1}扩展类似于K~\tilde{K}设定−∞=∞,0−1=∞,∞−1=0-\infty = \infty, 0^{-1} = \infty, \infty^{-1} = 0。我们还要写x+(−y)=x−yx + (-y) = x - y。

集合K~\tilde{K}，称为与KK相关的*射影域*，可以用*射影线*P1(K)P_1(K)来识别（*loc.cit.*）。

定义 3 04SP

令KK和LL为两个域。每个态射*ff*的*KK*到*L~\tilde{L}*（对于加法和乘法）**这样*f(1)=1f(1) = 1*被称为*KK*与值在*LL的地方。

在其他字中，如果xx和yy是KK和f(x)+f(y)f(x) + f(y)（或f(x)f(y)f(x)f(y)）的元素，则定义x+yx + y（或xyxy），并且

f(x+y)=f(x)+f(y) f(x + y) = f(x) + f(y)
f(xy)=f(x)f(y). f(xy) = f(x)f(y).

由于∞+∞\infty + \infty没有定义，f(∞)+f(∞)f(\infty) + f(\infty)也没有定义，这表明

f(∞)=∞. f(\infty) = \infty.

类似地，由于0⋅∞0 \cdot \infty没有定义，f(0)f(∞)f(0)f(\infty)也没有定义，根据(6)，这意味着

f(0)=0. f(0) = 0.

另一方面

f(a−1)=f(a)−1for all a∈K~. f(a^{-1}) = f(a)^{-1} \quad \text{for all } a \in \tilde{K}.

如果定义了f(a)f(a−1)f(a)f(a^{-1})，则定义了aa−1aa^{-1}，因此等于 1；然后f(a)f(a−1)=f(1)=1f(a)f(a^{-1}) = f(1) = 1，在这种情况下证明了（8）。如果f(a)f(a)−1f(a)f(a)^{-1}未定义，则f(a)=0f(a) = 0和f(a−1)=∞f(a^{-1}) = \infty或f(a)=∞f(a) = \infty和f(a−1)=0f(a^{-1}) = 0以及(8)仍然成立。

类似地可以证明

f(−a)=−f(a)for all a∈K. f(-a) = -f(a) \quad \text{for all } a \in K.

从公式 (8) 和 (9) 可以得出，对于合成 (x,y)↦x−y(x, y) \mapsto x - y 和 (x,y)↦xy−1(x, y) \mapsto xy^{-1} 的律，ff 也是态射。

对于x∈K~x \in \tilde{K}，如果f(x)≠∞f(x) \neq \infty，则ff在xx称为有限；这意味着 (6) x∈Kx \in K。

如果f:K→L~f : K \to \tilde{L}是一个地方，f(K)f(K)是L~\tilde{L}的子集，对于合成(x,y)↦x+y,(x,y)↦x−y,(x,y)↦xy(x, y) \mapsto x + y, (x, y) \mapsto x - y, (x, y) \mapsto xy和(x,y)↦xy−1(x, y) \mapsto xy^{-1}的律是稳定的，并且包含为1。如果E是有限的集合 f(K~)f(\tilde{K})的元素，E是L和f(K~)=E~f(\tilde{K}) = \tilde{E}的子域。通过滥用语言 E 被称为“值域”。

两个地方的*复合* 映射就是一个地方。

令F为域K的同构到域L的子域；让我们通过设定f(∞)=∞f(\infty) = \infty从扩展ff到KK。因此，我们在 L 中获得了具有值的 K 位置，称为“平凡”，并且通常用同构 ff 来标识。

3. 地点和估值环

命题 1 04SQ

令 K 为域，A\mathbf{A} K 的估值环，κ(A)\kappa(\mathbf{A}) 剩余类域 A\mathbf{A}。我们通过等式 hA(x)=∞h_{\mathbf{A}}(x) = \infty if x∉Ax \notin \mathbf{A} 将 A\mathbf{A} 的扩展典范映射转移到 κ(A)\kappa(\mathbf{A}) 到映射 hA:K~→(κ(A))h_{\mathbf{A}} : \tilde{K} \to (\kappa(\mathbf{A}))。由此定义的映射hAh_{\mathbf{A}}是K的一个位置，其值字段为κ(A)\kappa(\mathbf{A})。

被以下引用 1

被以下引用 命题 3

显然hA(1)=1h_{\mathbf{A}}(1) = 1。

我们证明对于加法，hAh_{\mathbf{A}} 是态射。令x,yx, y为K~\tilde{K}的两个元素，从而定义hA(x)+hA(y)h_{\mathbf{A}}(x) + h_{\mathbf{A}}(y)。两个元素x,yx, y属于之一然后到A\mathbf{A}，因此x+yx + y被定义。如果x∈Ax \in \mathbf{A}和y∈Ay \in \mathbf{A}，显然

hA(x)+hA(y)=hA(x+y) h_{\mathbf{A}}(x) + h_{\mathbf{A}}(y) = h_{\mathbf{A}}(x + y)

成立。如果x∈Ax \in \mathbf{A}和y∉Ay \notin \mathbf{A}，则x+y∉Ax + y \notin \mathbf{A}和上面公式的两侧等于∞\infty。

我们最终证明对于乘法，hAh_{\mathbf{A}} 是态射。令 x∈K,y∈Kx \in K, y \in K 使得 hA(x)hA(y)h_{\mathbf{A}}(x)h_{\mathbf{A}}(y) 被定义。如果x∈Ax \in \mathbf{A}和y∈Ay \in \mathbf{A}，则明确定义了xyxy和hA(x)hA(y)=hA(xy)h_{\mathbf{A}}(x)h_{\mathbf{A}}(y) = h_{\mathbf{A}}(xy)。现在假设元素x,yx, y之一，对于例yy，不属于到A\mathbf{A}；如hA(y)=∞h_{\mathbf{A}}(y) = \infty、hA(x)≠0h_{\mathbf{A}}(x) \neq 0，即x∉m(A)x \notin m(\mathbf{A})、从而x−1∈Ax^{-1} \in \mathbf{A}；由此可知 xyxy 已定义，且 xy∉Axy \notin \mathbf{A}、从而

hA(xy)=∞=hA(x)hA(y). h_{\mathbf{A}}(xy) = \infty = h_{\mathbf{A}}(x)h_{\mathbf{A}}(y).

这就证明了命题1。

如果jj是κ(A)\kappa(\mathbf{A})的同构到域L的子域，则j∘hA:K~→L~j \circ h_{\mathbf{A}} : \tilde{K} \to \tilde{L}是L中K与值的位置。上述过程实际上提供了K上的所有位置。准确地说：

命题 2 04SR

令K和L为两个域，f为L中K与值的位置。那么存在对 K 的评估环 A\mathbf{A} 和对 L 的子域的同构 jj κ(A)\kappa(\mathbf{A}) 的评估，使得 f=j∘hAf = j \circ h_{\mathbf{A}}；这些条件确定 A\mathbf{A} 和 jj 是独一无二的。 环A\mathbf{A}是x∈Kx \in K的集合，使得f(x)≠∞f(x) \neq \infty和m(A)m(\mathbf{A})是x∈Kx \in K的集合，使得f(x)=0f(x) = 0。

引用了 3

引用了 命题 2, VI § 1, A IV § 3. 。 有理分式, 命题 2, A IV § 3

如果f=j∘hAf = j \circ h_{\mathbf{A}}，条件f(x)≠∞f(x) \neq \infty（或f(x)=0f(x) = 0）相当于条件hA(x)≠∞h_{\mathbf{A}}(x) \neq \infty（或hA(x)=0h_{\mathbf{A}}(x) = 0），因此相当于条件x∈Ax \in \mathbf{A}（或x∈m(A)x \in m(\mathbf{A})）。因此 A\mathbf{A} 是唯一确定的，并且由于 hAh_{\mathbf{A}} 是满射，jj 也是唯一的。

现在令ff为K中L中任意有值的位置；让A\mathbf{A}表示x∈Kx \in K的集合，使得f(x)≠∞f(x) \neq \infty。如果定义了x∈Ax \in \mathbf{A}和y∈Ay \in \mathbf{A}、合成、f(x)−f(y)f(x) - f(y)和f(x)f(y)f(x)f(y)以及≠∞\neq \infty，则表明x−y∈Ax - y \in \mathbf{A}和xy∈Axy \in \mathbf{A}；因此A\mathbf{A}是K的子环。如果x∉Ax \notin \mathbf{A}，则f(x)=∞f(x) = \infty，因此通过限制获得同态f′f'的f(x−1)=0f(x^{-1}) = 0和x−1x^{-1}属于到核mm ff至A\mathbf{A}。反之，如果y∈my \in m，则y−1∉Ay^{-1} \notin \mathbf{A}。这表明A\mathbf{A}是K的评估环，而mm是其最大理想。设 jj 为从 κ(A)\kappa(\mathbf{A}) 到 L 的单同态，由 f' 除以经过的商得出。那么 f(x)=j(hA(x))f(x) = j(h_A(x)) 对于所有 x∈Ax \in A 来说，这个方程对于 x∉Ax \notin A 仍然成立，那么两侧就等于 ∞\infty。

分解 f=j∘hAf = j \circ h_A 被称为placef 的规范分解。 AA称为环关，m(A)m(A)是ff和κ(A)\kappa(A)剩余类域关的理想值。对于两个地方f:K→Lf : \mathbf{K} \to \mathbf{L}和f′:K→L′f' : \mathbf{K} \to \mathbf{L}'具有相同的环，充分必要的是，存在值域中的同构，使得f′=s∘ff' = s \circ f；那么ff和f′f'称为等价。可以看出，每一个估价环的结果都可以转化为地点的结果，反之亦然；这就是我们在以下编号中要做的事情。

例地点 (1) 设KK为域。 KK上的恒等映射是一个平凡的地方，有环KK和理想的(0)(0)。 (2) 设kk为域。对于所有u∈k((T))∼u \in k((T))^\sim，如果u∉k[[T]]u \notin k[[T]]，我们将f(u)=∞f(u) = \infty和定义f(u)f(u)写为uu的常数项，如果u∈k[[T]]u \in k[[T]]。那么ff是k((T))k((T))的位置，还有剩余类域kk和环k[[T]]k[[T]]。对于k[[T]]k[[T]]，环为k((T))k((T))（§ 1, no. 4，例 3），限制为ff至k[[T]]k[[T]]，其典范同态为k[[T]]k[[T]]确定在其剩余类域。 (3) 令kk为域、kk的aa元素和u∈k(X)u \in k(X)的AA集合，使得aa可在uu中替换（代数， 章IV, § 3, no. 2）。如果pp表示k[X]k[X]的素理想(X−a)(X - a)，则A=k[X]pA = k[X]_p，因此AA是k(X)k(X)的估值环（§ 1, no. 4，命题2）。对于所有 u∈k(X)∼u \in k(X)^\sim，如果 u∉Au \notin A，我们写 f(u)=∞f(u) = \infty；如果 u∈Au \in A，我们写 f(u)=u(a)f(u) = u(a)。那么ff就是k(X)k(X)与剩余类域kk和环AA的位置； 限制前往 AA 的行程为 AA 的同态到核 pA=m(A)pA = m(A) 的kk（代数、章 IV, § 3、命题 2）。据说元素f(u)∈kf(u) \in k是通过将X=aX = a放入uu得到的。 \* (4) 设SS为SS上亚纯函数的维数1和KK域的连通复解析簇。对于所有z0∈Sz_0 \in S，从KK到C\mathbf{C}的映射f↦f(z0)f \mapsto f(z_0)是KK的一个地方，其环距离集合距∈K\in K，它们在z0z_0是全纯的，其理想是集合 ∈K\in K 零 z0z_0。正是这个例和其他类似物是项“地方”的起源。*

4. 扩张个地点

命题 3 04SS

令KK为域、KK的SS子环以及从SS到代数闭域LL的ff同态。那么LL中存在KK和值的位置，其中扩展ff。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 定理 2, VI § 1, 命题 1

被以下引用 命题 4

考虑到命题 1，这是§ 1, no. 2 定理 2 的翻译。

命题 4 04ST

令KK为域，ff为KK，值位于域LL，K′K'扩张为KK。那么存在LL的扩张L′L'和K′K'的位置f′f'，其中值位于L′L'，其中扩展ff。如果x1,…,xnx_1, \ldots, x_n是KK的元素，并且在KK和a1,…,ana_1, \ldots, a_n上代数独立，则可以选择任何元素∈L\in L、f′f'，使得f(xi)=aif(x_i) = a_i对于1≤i≤n.1 \leq i \leq n.

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 3

被以下引用 VI § 3. 估值

令VV为环关闭，gg限制关闭至VV以及gg至V[x1,…,xn]V[x_1, \ldots, x_n]的g′g'扩张，使得g′(xi)=a,g'(x_i) = a,对于1≤i≤n.1 \leq i \leq n.就足够了L′L'为LL和应用命题3的代数闭包到g′g'和L′L'：我们得到一个placef'：K′→L~′K' \to \tilde{L}'，其中扩展g′g'；如果x∈K−V,x \in K - V,则x−1∈m(V),x^{-1} \in m(V),从而f(x−1)=g(x−1)=0f(x^{-1}) = g(x^{-1}) = 0和f′(x)=∞=f(x);f'(x) = \infty = f(x);因此延伸'。

5. 刻画积分元素通过位置

命题 5 04SU

令KK为域、K,hK, h同态中的SS子环从SS到域以及h.h.中的pp核对于KK的元素xx在局部环S,S,上积分，KK延伸hh的每个位置在x.x.处是有限的是充分必要的

引用了 1

引用了 定理 3, VI § 1

如果ff是KK延伸h,fh, f的地方在SpS_p上是有限的，零在pSppS_p上是有限的，因此ff地方的环占主导地位Sp.S_p.相反，如果VV是一个评估环支配Sp,S_p,VV的KK是限制到SS是同态的位置的环，并且核与h;h;替换ff具有相同的位置，可以看出，VV是KK地方的环，其中扩展h.h.要说，KK延伸hh的每个地方在xx处都是有限的，相当于说那个xx 属于到KK的所有估值环，主导Sp.S_p.命题，然后从§ 1, no. 3的定理3开始。

命题 6 04SV

设KK为域，SS子环为K.K.，对于元素x∈Kx \in K来说，要在S,S,上积分，KK中在SS上有限的每个位置在x.x.上是有限的，这是充分必要的

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 定理 3, VI § 1

被以下引用 命题 5, VI § 3

这也是§ 1, no. 3的定理3的推论。

习题

参见习题为 § 2。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。