Bourbaki

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§ 3。 有理分式

1. 定义 / 有理分式

定义 1 06BL

设 K 为交换域和 I 集合。 The field of fractions (I, p. 116) of the integral domain K[(Xi)i∈I]K[(X_i)_{i \in I}] is denoted by K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I}) or K(Xi)i∈IK(X_i)_{i \in I}. 它的元素在不定式 XiX_i 中称为有理分式，系数为 K。

引用了 1

引用了 I § 9. 。 域

对于 I={1,2,…,n}I = \{1, 2, \ldots, n\}，我们写 K(X1,X2,…,Xn)K(X_1, X_2, \ldots, X_n) 来代替 K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})。

设 A 为整环，K 为分数的域。 环 A[(Xi)i∈I]A[(X_i)_{i \in I}] 可以等同于 K[(Xi)i∈I]K[(X_i)_{i \in I}] 的子环，因此也等同于 K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})。对于每个f∈K[(Xi)i∈I]f \in K[(X_i)_{i \in I}]，存在 A 的非零元素α\alpha，使得αf∈A[(Xi)i∈I]\alpha f \in A[(X_i)_{i \in I}]。因此，K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})的每个元素都可以写成u/vu/v，其中u,v∈A[(Xi)i∈I],v≠0u, v \in A[(X_i)_{i \in I}], v \neq 0。因此，K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})可以被识别为域或分数或A[(Xi)i∈I]A[(X_i)_{i \in I}]。

现在令 K 为交换域、I 集合和 J ⊂ I。令 B = K[(X_i)_{i ∈ J}]，则 K[(X_i)_{i ∈ I}] = B[(X_i)_{i ∈ I - J}]，由上可知，K((X_i)_{i ∈ I}) 可以等同于 K'((X_i)_{i ∈ I - J})，其中 K' = K((X_i)_{i ∈ J})。

2. Degrees

令 K 为交换域。对于 K((X_i)_{i I}) 的每个元素 r，都存在 u, v ∈ K[(X_i)_{i ∈ I}]，使得 v ≠ 0 且 r = uv\frac{u}{v}。 关系uv=u1v1\frac{u}{v} = \frac{u_1}{v_1}，其中v≠0，v_1≠0相当于uv_1=vu_1；如果 r ≠ 0，则 u ≠ 0 且 u_1 ≠ 0，因此 deg u + deg v_1 = deg v + deg u_1 (IV, p. 9)，或者 deg u − deg v = deg u_1 − deg v_1。因此，有理数整数 deg u − deg v 仅取决于 r；我们称之为次数，或者r的总次数，并用deg r表示。我们同意写 deg 0 = −∞。如果 J ⊂ I，我们同样可以关于指标 j ∈ J 的 X_j 定义次数。当 r 是多项式时，这些概念重合与 IV、p. 2 中定义的概念重合相同。

命题 1 06BM

— 设 r、s 为两个有理分式。

(i) 如果 deg r ≠ deg s，我们有

r+s≠0anddeg⁡(r+s)=sup⁡(deg⁡r,deg⁡s) r + s \neq 0 \quad \text{and} \quad \deg(r + s) = \sup(\deg r, \deg s)

如果 deg r = deg s，则 deg(r + s) ≤ deg r。

(ii) 我们有 deg(rs) = deg r + deg s。

我们可以极限来解决 r 和 s 非零的情况。

让我们写 r = uv\frac{u}{v}, s = wz\frac{w}{z}，其中 u、v、w、z 是非零多项式。我们有 rs = uwvz\frac{uw}{vz}，所以

deg⁡(rs)=deg⁡(uw)−deg⁡(vz)=deg⁡u−deg⁡v+deg⁡w−deg⁡z==deg⁡r+deg⁡s. \deg(rs) = \deg(uw) - \deg(vz) = \deg u - \deg v + \deg w - \deg z = = \deg r + \deg s.

另一方面，我们有 r + s = uz+vwvz\frac{uz + vw}{vz}。假设 deg r ≠ deg s，则字 deg u + deg z ≠ deg w + deg v。则 uz + vw ≠ 0，且

deg⁡(r+s)=deg⁡(uz+vw)−deg⁡(vz)=sup⁡(deg⁡(uz),deg⁡(vw))−deg⁡(vz)=sup⁡(deg⁡(uz)−deg⁡(vz),deg⁡(wv)−deg⁡(vz))=sup⁡(deg⁡r,deg⁡s). \begin{align*} \deg(r + s) &= \deg(uz + vw) - \deg(vz) \\ &= \sup(\deg(uz), \deg(vw)) - \deg(vz) \\ &= \sup(\deg(uz) - \deg(vz), \deg(wv) - \deg(vz)) \\ &= \sup(\deg r, \deg s). \end{align*}

假设 deg r = deg s，即 deg u + deg z = deg w + deg v。如果 r + s ≠ 0，则有

deg⁡(r+s)=deg⁡(uz+vw)−deg⁡(vz)≤deg⁡(uz)−deg⁡(vz)=deg⁡r \begin{align*} \deg(r + s) &= \deg(uz + vw) - \deg(vz) \\ &\leq \deg(uz) - \deg(vz) = \deg r \end{align*}

\* 映射 r ↦ −deg r 因此是域 K((X_i)_{i ∈ I}) 的离散估值。 \*

3. Substitutions

设 K 为交换域，E 为单位结合律 K-代数，x=(xi)i∈Ix = (x_i)_{i \in I} E 的成对可置换族元素。设所有非零 v∈Bv \in B 的 B=K[(Xi)i∈I]B = K[(X_i)_{i \in I}] 和 SxS_x 集合，使得 v(x)v(x) 在 E 中可逆。 u∈B, v∈Sxu \in B,\ v \in S_x和f=uv∈K((Xi)i∈I)f = \frac{u}{v} \in K((X_i)_{i \in I})。 元素 u(x) v(x)−1=v(x)−1u(x)u(x)\ v(x)^{-1} = v(x)^{-1}u(x) 在 E 中定义；此外，如果 u1, v1u_1,\ v_1 是两个多项式，例如 f=u1v1f = \frac{u_1}{v_1} 和 v1∈Sxv_1 \in S_x，则 uv1=vu1uv_1 = vu_1，因此 u(x)v1(x)=v(x)u1(x)u(x)v_1(x) = v(x)u_1(x) 等等

u(x) v(x)−1=u1(x) v1(x)−1. u(x)\ v(x)^{-1} = u_1(x)\ v_1(x)^{-1}.

让f∈K((Xi)i∈I)f \in K((X_i)_{i \in I})。如果存在*至少一对*(u,v)(u, v)使得f=uvf = \frac{u}{v}和v∈Sxv \in S_x，我们可以说x在ff中*可替代*；仅依赖于ff和xx的元素u(x) v(x)−1u(x)\ v(x)^{-1}则用f(x)f(x)或f((xi))f((x_i))或f((xi)i∈I)f((x_i)_{i \in I})表示。

命题 2 06BN

设 K 为交换域，E 为单位结合律 K-代数，x=(xi)i∈Ix = (x_i)_{i \in I} E 的成对可置换元素系列。f∈K((Xi)i∈I)f \in K((X_i)_{i \in I}) 的集合 Sx−1BS_x^{-1}B，使得 x 可在 ff 的 K-子代数中替换K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})。 映射 f↦f(x)f \mapsto f(x) 是 Sx−1BS_x^{-1}B 到 E 中的单位同态 φ\varphi。 像 φ(Sx−1B)\varphi(S_x^{-1}B) 是所有 yz−1yz^{-1} 的集合，其中 y 运行生成的 E 的单位子代数 K[x]EK[x]_E由家庭 x 组成，其中 z 超过 K[x]EK[x]_E 的所有可逆元中的集合。

被以下引用 2

被以下引用 命题 2, AC VI § 2, 推论

令f1=u1v1, f2=u2v2f_1 = \frac{u_1}{v_1},\ f_2 = \frac{u_2}{v_2}为K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})的两个元素，使得v1, v2∈Sxv_1,\ v_2 \in S_x。我们有f1+f2=u1v2+u2v1v1v2, f1f2=u1u2v1v2f_1 + f_2 = \frac{u_1v_2 + u_2v_1}{v_1v_2},\ f_1f_2 = \frac{u_1u_2}{v_1v_2}和v1, v2∈Sxv_1,\ v_2 \in S_x。因此Sx−1BS_x^{-1}B是K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})的K-子代数。 命题的其余部分是清楚的。

推论 06BO

设L为交换域，L的K子域，x=(xi)i∈Ix = (x_i)_{i \in I}L的元素，xix_i的M集合由……组成，所有的U集合 f∈K((Xi)i∈I)f \in K((X_i)_{i \in I})使得x可以将U的ff和φ\varphi同态f↦f(x)f \mapsto f(x)替换为L。那么φ(U)\varphi(U)就是KUMKUM生成的L的子域。

引用了 1

引用了 命题 2

令L'为由KUMKUM生成的L的子域。我们有

K∪M⊂φ(U)⊂L′ K \cup M \subset \varphi(U) \subset L'
并且φ(U)\varphi(U)是L的子环。现在，提案 2 意味着 φ(U)\varphi(U) 是 L、从而 φ(U)=L′\varphi(U) = L' 的子域。

设f∈K((Xi)i∈I)f \in K((X_i)_{i \in I})和(gi)i∈I(g_i)_{i \in I}是元素和K((Yl)l∈L)K((Y_l)_{l \in L})的族。如果 (g_i) 在 f 中可替换，则 f((g_i)) 是 K((Y_l)_{l \in L}) 的元素。特别是，(X_i)_{i \in I} 可替换于 f 且 f = f((X_i)_{i \in I})。

命题 3 06BP

— 设 E 为 K 上的代数，它是结合律、交换律、单位且非零。令 f \in K((X_i)_{i \in I}) 并对于每个 i \in I，令 g_i \in K((Y_l)_{l \in L})。给定 E 的元素的族 y = (y_l)_{l \in L}，假设 y 可代入每个 g_i，并且 (g_i(y))_{i \in I} 可代入 f。然后： (i) (g_i)_{i \in I} 在 f 中可替换； (ii) 如果我们用 K((Y_l)_{l \in L}) 的 h 元素 f((g_i)) 表示，则 y 可在 h 中替换，并且 h(y) = f((g_i(y)))。

引用了 1

引用了 定理 2（代数恒等式扩张原理）, IV § 2

我们可以认为 I 是有限的。通过假设，对于每个i∈Ii \in I，gig_i可以放入形式pi/qip_i/q_i，其中pi,qi∈K[(Yl)l∈L]p_i, q_i \in K[(Y_l)_{l \in L}]和qi(y)q_i(y)在E中是可逆的。同样，f可以写成u/vu/v，其中u,v∈K[(Xi)i∈I]u, v \in K[(X_i)_{i \in I}]和v((gi(y)))v((g_i(y)))是可逆的。设m=sup⁡(deg⁡u,deg⁡v)m = \sup(\deg u, \deg v)，并设w=∏i∈Iqi∈K[(Yl)l∈L]w = \prod_{i \in I} q_i \in K[(Y_l)_{l \in L}]，u1=u((gi))wmu_1 = u((g_i)) w^m，v1=v((gi))wmv_1 = v((g_i)) w^m。多项式 u 是单项式 ∏i∈IXiνi\prod_{i \in I} X_i^{\nu_i} 的 K 线性组合，使得 ∑i∈Iνi≤m\sum_{i \in I} \nu_i \leq m。我们有 wm∏i∈Igiνi=wm(∏i∈Ipiνi)(∏i∈Iqiνi)−1∈K[(Yl)l∈L]w^m \prod_{i \in I} g_i^{\nu_i} = w^m \left( \prod_{i \in I} p_i^{\nu_i} \right) \left( \prod_{i \in I} q_i^{\nu_i} \right)^{-1} \in K[(Y_l)_{l \in L}] × 选择米。因此u1∈K[(Yl)l∈L]u_1 \in K[(Y_l)_{l \in L}]，类似的v1∈K[(Yl)l∈L]v_1 \in K[(Y_l)_{l \in L}]。此外，v1(y)=(w(y))mv((gi(y)))v_1(y) = (w(y))^m v((g_i(y)))是可逆的。因此v1≠0v_1 \neq 0，因为E≠0E \neq 0，所以v((gi))≠0v((g_i)) \neq 0。因此族(gi)(g_i)可以在f中替换。此外，我们还有f((gi))=u1/v1f((g_i)) = u_1/v_1，因此y可以在h=f((gi))h = f((g_i))和h(y)=u1(y)/v1(y)=u((gi(y)))/v((gi(y)))=f((gi(y)))h(y) = u_1(y)/v_1(y) = u((g_i(y)))/v((g_i(y))) = f((g_i(y)))中替换。

设 K 为交换域，E 为交换结合律且单位 K-代数，并令 f \in K((X_i)_{i \in I})。令 T_f 为所有可在 f 中替换的 x = (x_i)_{i \in I} \in E^I 的集合。 映射 x \将 T_f 的 f(x) 映射到 E 称为与 f（和 E）相关的有理函数；我们有时用\tilde{f}表示它。如果 g \in K((X_i)_{i \in I}) 我们有 T_f \cap T_g \子集 T_{f+g}, T_f \cap T_g \子集 T_{fg}，因此与 f + g (resp. fg) 相关的有理函数定义在 T_f \cap T_g 上并且具有相同的值在此集合上为 \tilde{f} + \tilde{g} （分别为 \tilde{f}\tilde{g}）。令 T'_f 为 T_f 中 x \的集合，使得 f(x) 可逆；如果 x \in T'_f，x 在 1/f 中是可替换的，并且与 1/f 相关的有理数函数取 x 值 f(x)^{-1}。

如果 K 是无穷大交换域，则 f \in K((X_i)_{i \in I})、g \in K((X_i)_{i \in I}) 和 \tilde{f}、\tilde{g} 是与 f、g（和 K）相关的有理数函数，并且如果 \tilde{f}(x) = \tilde{g}(x) 对于所有 x \in T_f \cap T_g 则 f = g。如果 f = u/v 且 g = u_1/v_1，其中 u、v、u_1、v_1 是多项式，则对于所有 x，我们有 u(x)v_1(x) = u_1(x)v(x)，使得 v(x)v_1(x) \neq 0，因此 uv_1 = u_1v (IV, p. 18, Th. 2)。因此映射 f \mapsto \tilde{f} 是单射的，我们经常会使用认同 f 和 \tilde{f}。

\* 使用 K[(Xi)i∈I]K[(X_i)_{i \in I}] 的阶乘（Comm. Alg.、VII, § 3, No. 2 p. 502 和 Th. 2 p. 506 的 Cor.），可以轻松地显示以下内容：对于每个 f∈K((Xi)i∈I)f \in K((X_i)_{i \in I}) 都存在 u,v∈K[(Xi)i∈I]u, v \in K[(X_i)_{i \in I}]，使得： 1）f=u/vf = u/v； 2) 为了使x∈KIx \in K^I可以被ff替代，v(x)≠0.v(x) \neq 0.是充分必要的

4. 差速器和推导

设KK为交换域。 III、p. 558、第 5 号提案，每K[(Xi)i∈I]K[(X_i)_{i \in I}] 扩展推导 DD 以独特的方式到 K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I}) 推导 Dˉ\bar{D}。如果D,D′D, D'是K[(Xi)i∈I]K[(X_i)_{i \in I}]的可置换推导，则括号[D,D′]=DD′−D′D[D, D'] = DD' - D'D是零，因此[Dˉ,Dˉ′][\bar{D}, \bar{D}']是K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})的推导延伸[D,D′][D, D']是零；在其他字、DD和D′D'是可置换的。特别是K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})的推导DiD_i（IV，p. 6）扩展到推导再次由DiD_i表示并且是成对可置换的。如果f∈K((Xi)i∈I),Diff \in K((X_i)_{i \in I}), D_i f也写成DxifD_{x_i} f或∂f∂xi\frac{\partial f}{\partial x_i}或fxi′f'_{x_i}。当只有一个不确定的 XX 时，使用记号 Df,dfdX,f′Df, \frac{df}{dX}, f'。

让B=K[(Xi)i∈I],C=K((Xi)i∈I)B = K[(X_i)_{i \in I}], C = K((X_i)_{i \in I})。根据III、p. 574、第 23 号提案、典范映射

ΩK(B)⊗BC→ΩK(C) \Omega_K(B) \otimes_B C \to \Omega_K(C)

是同构个向量 CC 个空间。记住III，p. 570，我们看到向量CC空间ΩK(C)\Omega_K(C)承认基家族(dXi)i∈I(dX_i)_{i \in I}微分的XiX_i。令∂i\partial_i为指标ii在ΩK(C)\Omega_K(C)上相对于基的坐标形式。那么CC的映射u↦(∂i,du)u \mapsto (\partial_i, du)自身就是CC的推导，其中对于j≠ij \neq i，映射XiX_i为1，XjX_j为0，因此等于DiD_i；在其他字，我们有

du=∑i∈I(Diu)dXi du = \sum_{i \in I} (D_i u) dX_i

每u∈Cu \in C。如果II是有限的，则(Di)i∈I(D_i)_{i \in I}是向量CC的基-CC的推导的空间。

命题 4 06BQ

— *令 EE 为结合律、可交换且单位的KK代数，x=(xi)i,Ix = (x_i)_{i, I}为EE和f∈K((Xi)i,I)f \in K((X_i)_{i, I})的元素族。假设xx可以替代ff和y=f(x)y = f(x)。 (i) 对于K((Xi)i,I)K((X_i)_{i, I})中的每个推导AA，其中映射K[(Xi)i,I]K[(X_i)_{i, I}]自身，xx可在AfAf中替换。 (ii) 对于 EE 中的每个推导 DD 到 EE 模块，我们有

Dy=∑i∈I(Dif)(x)⋅Dxi. Dy = \sum_{i \in I} (D_i f)(x) \cdot Dx_i .

令f=uvf = \frac{u}{v}与u,v∈K[(Xi)i∈I]u, v \in K[(X_i)_{i \in I}]和v(x)v(x)在E中可逆。令A为K((Xi)i∈I)K((X_i)_{i \in I})映射K[(Xi)i∈I]K[(X_i)_{i \in I}]自身的推导。我们有

Δf=(Δu) v−u(Δv)v2 \Delta f = \frac{(\Delta u)\ v - u(\Delta v)}{v^2}
并且v2(x)v^2(x)是可逆的，因此x可以在AfAf中替换。其次放入r=u(x)r = u(x)、s=v(x)s = v(x)；我们有 y=s−1ry = s^{-1}r，因此对于 E 的每个推导 D 到 E 模块，我们有
Dy=s−2(s(Dr)−r(Ds))=s−2(s∑i∈I(Diu)(x)⋅Dxi−r∑i∈I(Div)(x)⋅Dxi) \begin{align*} Dy &= s^{-2}(s(Dr) - r(Ds)) \\ &= s^{-2}\left( s \sum_{i \in I} (D_iu)(x) \cdot Dx_i - r \sum_{i \in I} (D_iv)(x) \cdot Dx_i \right) \end{align*}
根据IV、p. 6 的第 4 号提案。因此 Dy=∑i∈Iwi⋅DxiDy = \sum_{i \in I} w_i \cdot Dx_i 与
wi=v(x)−2(v(x)(Diu)(x)−u(x)(Div)(x))=(Dif)(x). w_i = v(x)^{-2}(v(x)(D_iu)(x) - u(x)(D_iv)(x)) = (D_if)(x).

习题

参见习题为 § 3。

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