当这些条件成立时，级数$u = \sum_{\lambda \in L} u_\lambda$等于$\sum \alpha_\nu X^\nu$，每个$\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$等于$a_\nu = \sum_{\lambda \in L} \alpha_{\lambda,\nu}$。

(i) 和 (ii) 的等价由 Cor 得出。 Gen. Top. 2，III，p. 263。 (ii) 和 (iii) 的等价由乘积空间中极限的性质得出（Gen. Top., I, p. 55, Cor. 1）。 最后一个断言源自 Gen. Top. 的第 4 条命题，III、p. 266。

让我们给出一些例个可求和族。 a) 令$u \in A[[I]]$和$a_\nu$为$X^\nu$在$u$中的系数。然后，族 $(\alpha_\nu X^\nu)_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$ 可以与和 $u$ 相加（这证明了写作 $u = \sum \alpha_\nu X^\nu$ 的合理性）。

b) 设 $u \in A[[I]]$；对于每个整数$p \geq 0$，令$u_p$为$u$的次数$p$的齐次分量。那么家庭$(u_p)_{p \geq 0}$是可求和的，我们有$u = \sum_{p \geq 0} u_p$。

c) 令$(u_\lambda)_{\lambda \in L}$为$A[[I]]$的元素族，并假设对于$\lambda \in L$的每个整数$n \geq 0$集合，使得$\omega(u_\lambda) < n$是有限的。那么家庭$(u_\lambda)_{\lambda \in L}$是可求和的。

令$(\alpha_{\lambda, \nu})_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$（或$(\beta_{\mu, \nu})_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$）为$u_\lambda$（或$v_\nu$）的系数族。对于每个$\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$，仅存在对$(\nu_1, \nu_2) \in \mathbf{N}^{(I)} \times \mathbf{N}^{(I)}$的有限数，使得$\nu_1 + \nu_2 = \nu$，因此仅存在对$(\lambda, \mu) \in L \times M$的有限数，使得$u_\lambda v_\mu$中的$X^\nu$的系数为$\neq 0$。因此家庭$(u_\lambda v_\mu)_{(\lambda, \mu) \in L \times \mathscr{J}}$是可求和的。现在公式 (2) 是从和的结合性衍生出来的（Gen. Top.、III、p. 265、公式 (2)）。

在 $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ 乘积中是结合律和交换律合成律。因此，我们可以谈论$\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$的元素的*可乘族*和可乘族的*乘积*（Gen.Top.，III，p. 262，注3）。

让我们定义理想$\mathfrak{a}_\beta$如本号开头，并让$\beta \in \mathbf{N}^{(I)}$。存在 $L$ 的有限子集 $L_0$，使得 $u_\lambda \in \mathfrak{a}_\beta$ 对应 $\lambda \notin L_0$。那么对于每个 $M \in \mathscr{S}$ 这样 $M \not\subset L_0$ 我们就有 $u_M \in \mathfrak{a}_\beta$。由此可见，族 $(u_M)_{M \in \mathfrak{T}}$ 是可求和的。另一方面，对于 $L$ 中的任意有限子集 $M_0$，我们有

沿着过滤后的有序集合$\mathfrak{T}$，左侧有极限$\sum_{M \in \mathfrak{T}} u_M$。因此右边有极限$\sum_{M \in \mathfrak{T}} u_M$，同时证明了(i)和(ii)。

设$\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$和$n \in \mathbf{N}$。我们有

如果$n \geq |\nu| + m$和$\nu(1) + \cdots + \nu(n) = v$，我们有$|\nu(1)| + \cdots + |\nu(n)| \leq n - m$。因此，我们有$v(r) = 0$和$\alpha_{v(r)} = a_r$，对于$r$至少有$m$不同的值；由此得出结果$\alpha_{\nu(1)} \cdots \alpha_{\nu(n)} = 0$、从而。

令$a_0$为$u$的常数项。 $u^n$的常数项是$\alpha_0^n$，因此规定的条件是必要的；根据命题 3 就足够了。

(i) 设$\varphi$为$A[[I]]$到$E$和$x_i = \varphi(X_i)$的连续同态。然后： (a) 对于所有 $i \in I$，$x_i^n$ 趋于 0，因为 $n$ 趋于 $+ \infty$； (b) 如果 $I$ 无穷大，则$x_i$ 沿着有限子集的补集过滤器$I$ 趋于 0。

(ii) 设$x = (x_i)_i$、$_I$为(i)的$E$满足a)和b)的元素族。那么在 $A[[I]]$ 到 $E$ 中存在一个且唯一的一个单位连续同态 $\varphi$，使得对于所有 $i \in I$ 都有 $\varphi(X_i) = x_i$。

对于所有$i \in I$，$A[[I]]$中的$X_i^n$明显趋于0，因为$n$趋于$+ \infty$；另一方面，当$I$无穷大时，$X_i$沿着有限子集的补集过滤器$I$趋于0。这就证明了(i)。

设$(x_i)_{i \in I}$为(i)的$E$满足条件a)和b)的元素族，设$\psi$为$A[(X_i)_{i \in I}]$的同态$u \mapsto u((x_i)_{i \in I})$入$E$，并令$V$是$E$的0的邻域，这是$E$的理想。 b) 存在$I$的有限子集$J$，使得$x_i \in V$对于所有$i \in I - J$。接下来存在 a) 整数 $n \geq 0$，使得 $x_i^n \in V$ 对于所有 $i \in J$。令$\beta$为$\mathbf{N}^{(I)}$的元素，使得$\beta_i = n - 1$代表$i \in J$，$\beta_i = 0$代表$i \in I - J$。如果我们在No. 2开始时定义是$A[[I]]$的理想$a_\beta$（IV，p. 26），那么

这表明，如果我们为$A[(X_i)_{i \in I}]$配备由$A[[I]]$诱导的拓扑，则$\psi$是连续的。由于$E$是分离且完整的，$\psi$扩展将$A[[I]]$的连续单位同态$\varphi$转化为$E$。我们为所有 $i \in I$ 提供了 $\varphi(X_i) = \psi(X_i) = x_i$。最后让$\varphi'$是$A[[I]]$到$E$的连续单位同态，使得$\varphi'(X_i) = x_i$。对于所有$u \in A[(X_i)_{i \in I}]$，我们都有$\varphi'(u) = \varphi(u)$，因此$\varphi' = \varphi$，因为$A[(X_i)_{i \in I}]$在$A[[I]]$中是稠密的。

让我们保留之前的记号。如果$u \in A[[I]]$，$u$的像由$\varphi$表示为$u(x)$或$u((x_i)_{i \in I})$（或者如果$I = (1, 2, ..., n)$也为$u(x_1, ..., x_n)$），并且称为由代换获得的$E$的元素 $u$中的$X_i$使用$x_i$，或者$u$中的值用于$X_i$中的值$x_i$，或者$X_i = x_i$中的$u$中的值。特别是我们有$u = u((X_i)_{i \in I})$。

令 $E'$ 为结合交换且酉线性拓扑的分离完备$A$-代数。令$\lambda$为$E$到$E'$的连续单位同态，$(x_i)_{i \in I}$为$E$满足条件a）和b）的元素族，第4条（IV）， p. 28）。家庭$(\lambda(x_i))_{i \in I}$同样满足条件a)和b)。对于每 $u \in A[[I]]$ 我们有

对于映射$u \mapsto A(u((x_i)_{i \in I}))$来说，是$A[[I]]$到$E'$的连续单位同态，对于所有$i \in I$，变换$X_i$到$\lambda(x_i)$。

如果$J$和$K$是两个集合，我们用所有族$(g_j)_{j \in J}$满足的$A_{J, K}$集合表示以下条件： (i) 对于所有$j \in J$，$g_j$是$A[[K]]$的元素，其常数项是幂零的； (ii) 如果 $J$ 是无限的，$g_j$ 沿着 $J$ 的有限子集的补集过滤器趋于 0。

我们注，如果$J$是有限的，则在$A[[K]]$属于到$A_{J, K}$中，形式幂级数$(g_j)_{j \in J}$的每个族都没有常数项。

让$(g_j)_{j \in J}$在$A_{J, K}$中。由科。根据第 3 号提案（IV、p. 28），我们对所有 $j \in J$ 都有 $\lim_{n \to \infty} g_j^n = 0$。让$f \in A[[J]]$；我们可以用$g_j$代替$f$中的变量指标$j$，得到正式的幂级数$f((g_j)_{j \in J})$属于到$A[[K]]$。此外，映射$f \mapsto f((g_j)_{j \in J})$是$A$-代数$A[[J]]$到$A[[K]]$的连续同态。

特别是如果$J = (1, ..., p)$和$f \in A[[X_1, ..., X_p]]$，我们可以用正式的幂级数$g_j \in A[[K]]$代替每个$X_j$，而无需常数项；这个代换的结果写成$f(g_1, ..., g_p)$。

设$x = (x_k)_{k \in K}$是第4条命题（IV，p. 28）的$E$满足条件a）和b）的元素族。我们应用(3)，将$A[[K]]$中的$A$同态$u \mapsto u(x)$化为$E$；我们得到

设$f = (f_i)_{i \in I} \in (A[[J]])^I$和$g = (g_j)_{j \in J} \in A_{J, K}$。我们用$f(g)$或$f \circ g$元素$(f_i((g_j),_{\epsilon_J}))_{i \in I}$或$(A[[K]])^I$来表示。如果$f \in A_{I, J}$，我们有$f \circ g \in A_{,,K}$，因为$A[[I]]$到$A[[K]]$的映射$f \mapsto f((g_j)_{i, J})$是连续的。

让$f \in (A[[J]])^I$，$g \in A_{J, K}$，$h \in A_{K, L}$。然后 $g \circ h \in A_{J, L}$ 并根据 (4)，我们有

对于

假设存在$v \in A[[I]]$使得$uv = 1$。设$a, \beta$为$u$和$v$的常数项，则$\alpha \beta = 1$，所以$a$可逆。

相反，假设$u$的常数项$a$是可逆的。那么存在正式的幂级数$t \in A[[I]]$使得$u = \alpha (1 - t)$和$\omega(t) > 0$。现在有环同态 $\varphi : A[[T]] \to A[[I]]$使得$\varphi(T) = t$，并且$1 - T$在$A[[T]]$中是可逆的（命题5）；因而 $1 - t$ 在 $A[[I]]$ 中是可逆的，因而 $u$ 也是如此。

由于 0 在 E 中承认理想的邻域由……组成的基本系统，因此对于所有 $u \in A[[I]]$，族 $((D_i u)(x) \cdot y_i)_{i \in I}$ 在 E 中是可求和的（Gen. Top.、III、p. 263、Cor. 2）。 公式 (16) 因此定义 A-线性映射 $D : A[[I]] \to E$。我们让读者验证 D 是连续的推导。

令 $D_1$ 为 $A[[I]]$ 到 E 的连续 A 导数，使得 $D_1(X_i) = y_i$ 对于所有 $i \in I$。连续推导$D - D_1$的核是$\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$包含1和不定$X_i$的闭子代数B。由于多项式代数 $\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$ 在 $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ 中是稠密的，因此我们有 $B = \mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ 以及 $D_1 = D$。

这是从命题 7 得出的，因为映射 $u \mapsto \Delta(u(x))$ 是 $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ 的连续推导进入$\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$-模块 E。