Khi các điều kiện này được thỏa mãn, chuỗi $u = \sum_{\lambda \in L} u_\lambda$ bằng $\sum \alpha_\nu X^\nu$ với $a_\nu = \sum_{\lambda \in L} \alpha_{\lambda,\nu}$ với mỗi $\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$.

Tính tương đương của (i) và (ii) suy ra từ Hệ quả 2 của Gen. Top., III, p. 263. Tính tương đương của (ii) và (iii) suy ra từ các tính chất của giới hạn trong một không gian tích (Gen. Top., I, p. 55, Cor. 1). Khẳng định cuối cùng suy ra từ Mệnh đề 4 của Gen. Top., III, p. 266.

Hãy cho một vài ví dụ về các họ khả tổng. a) Cho $u \in A[[I]]$ và gọi $a_\nu$ là hệ số của $X^\nu$ trong $u$. Khi đó họ $(\alpha_\nu X^\nu)_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$ là khả tổng, với tổng bằng $u$ (điều này biện minh cho cách viết $u = \sum \alpha_\nu X^\nu$).

b) Cho $u \in A[[I]]$; với mỗi số nguyên $p \geq 0$ gọi $u_p$ là thành phần thuần nhất bậc $p$ của $u$. Khi đó họ $(u_p)_{p \geq 0}$ là khả tổng và ta có $u = \sum_{p \geq 0} u_p$.

c) Cho $(u_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các phần tử của $A[[I]]$ và giả sử rằng với mỗi số nguyên $n \geq 0$ tập hợp các $\lambda \in L$ sao cho $\omega(u_\lambda) < n$ là hữu hạn. Khi đó họ $(u_\lambda)_{\lambda \in L}$ là khả tổng.

Gọi $(\alpha_{\lambda, \nu})_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$ (resp. $(\beta_{\mu, \nu})_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$) là họ các hệ số của $u_\lambda$ (resp. $v_\nu$). Với mỗi $\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$ chỉ tồn tại một số hữu hạn cặp $(\nu_1, \nu_2) \in \mathbf{N}^{(I)} \times \mathbf{N}^{(I)}$ sao cho $\nu_1 + \nu_2 = \nu$, do đó chỉ tồn tại một số hữu hạn cặp $(\lambda, \mu) \in L \times M$ sao cho hệ số của $X^\nu$ trong $u_\lambda v_\mu$ là $\neq 0$. Suy ra họ $(u_\lambda v_\mu)_{(\lambda, \mu) \in L \times \mathscr{J}}$ là khả tổng. Bây giờ công thức (2) suy ra từ tính kết hợp của tổng (Gen. Top., III, p. 265, công thức (2)).

Trong $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ tích là một luật hợp thành kết hợp và giao hoán. Do đó ta có thể nói về một họ khả nhân các phần tử của $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ và về tích của một họ khả nhân (Gen. Top., III, p. 262, nhận xét 3).

Hãy định nghĩa các iđêan $\mathfrak{a}_\beta$ như ở đầu số này, và lấy $\beta \in \mathbf{N}^{(I)}$. Tồn tại một tập con hữu hạn $L_0$ của $L$ sao cho $u_\lambda \in \mathfrak{a}_\beta$ với mọi $\lambda \notin L_0$. Khi đó với mọi $M \in \mathscr{S}$ sao cho $M \not\subset L_0$ ta có $u_M \in \mathfrak{a}_\beta$. Do đó họ $(u_M)_{M \in \mathfrak{T}}$ là khả tổng. Mặt khác, với mọi tập con hữu hạn $M_0$ của $L$ ta có

Lấy theo tập hợp có thứ tự lọc $\mathfrak{T}$, vế trái có giới hạn là $\sum_{M \in \mathfrak{T}} u_M$. Vậy vế phải có giới hạn là $\sum_{M \in \mathfrak{T}} u_M$, điều này chứng minh đồng thời (i) và (ii).

Cho $\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$ và $n \in \mathbf{N}$. Ta có

Nếu $n \geq |\nu| + m$ và $\nu(1) + \cdots + \nu(n) = v$, ta có $|\nu(1)| + \cdots + |\nu(n)| \leq n - m$. Vì thế có ít nhất $m$ giá trị phân biệt của $r$ sao cho $v(r) = 0$ và do đó $\alpha_{v(r)} = a_r$; suy ra $\alpha_{\nu(1)} \cdots \alpha_{\nu(n)} = 0$, do đó có kết quả.

Gọi $a_0$ là số hạng hằng của $u$. Số hạng hằng của $u^n$ là $\alpha_0^n$, vì vậy điều kiện đã nêu là cần; nó là đủ theo Mệnh đề 3.

(i) Cho $\varphi$ là một đồng cấu liên tục từ $A[[I]]$ vào $E$ và đặt $x_i = \varphi(X_i)$. Khi đó: (a) với mọi $i \in I$, $x_i^n$ tiến tới 0 khi $n$ tiến tới $+ \infty$; (b) nếu $I$ vô hạn, $x_i$ tiến tới 0 theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $I$.

(ii) Cho $x = (x_i)_i$, $_I$ là một họ các phần tử của $E$ thỏa mãn a) và b) của (i). Khi đó tồn tại một và chỉ một đồng cấu có đơn vị liên tục $\varphi$ từ $A[[I]]$ vào $E$ sao cho $\varphi(X_i) = x_i$ với mọi $i \in I$.

Với mọi $i \in I$, $X_i^n$ rõ ràng tiến tới 0 trong $A[[I]]$ khi $n$ tiến tới $+ \infty$; mặt khác, khi $I$ vô hạn, $X_i$ tiến tới 0 theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $I$. Điều đó chứng minh (i).

Cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của $E$ thỏa mãn các điều kiện a) và b) của (i), gọi $\psi$ là đồng cấu $u \mapsto u((x_i)_{i \in I})$ từ $A[(X_i)_{i \in I}]$ vào $E$, và gọi $V$ là một lân cận của 0 trong $E$ đồng thời là một iđêan của $E$. Theo b), tồn tại một tập con hữu hạn $J$ của $I$ sao cho $x_i \in V$ với mọi $i \in I - J$. Tiếp theo, theo a), tồn tại một số nguyên $n \geq 0$ sao cho $x_i^n \in V$ với mọi $i \in J$. Gọi $\beta$ là phần tử của $\mathbf{N}^{(I)}$ sao cho $\beta_i = n - 1$ với $i \in J$ và $\beta_i = 0$ với $i \in I - J$. Nếu ta định nghĩa iđêan $a_\beta$ của $A[[I]]$ như ở đầu No. 2 (IV, p. 26), thì

Điều đó cho thấy rằng $\psi$ là liên tục nếu ta trang bị cho $A[(X_i)_{i \in I}]$ tôpô cảm sinh bởi tôpô của $A[[I]]$. Vì $E$ tách biệt và đầy đủ, $\psi$ kéo dài thành một đồng cấu có đơn vị liên tục $\varphi$ từ $A[[I]]$ vào $E$. Ta có $\varphi(X_i) = \psi(X_i) = x_i$ với mọi $i \in I$. Sau cùng, cho $\varphi'$ là một đồng cấu có đơn vị liên tục từ $A[[I]]$ vào $E$ sao cho $\varphi'(X_i) = x_i$. Ta có $\varphi'(u) = \varphi(u)$ với mọi $u \in A[(X_i)_{i \in I}]$, do đó $\varphi' = \varphi$ vì $A[(X_i)_{i \in I}]$ trù mật trong $A[[I]]$.

Giữ các ký hiệu như trên. Nếu $u \in A[[I]]$, ảnh của $u$ bởi $\varphi$ được ký hiệu là $u(x)$ hoặc $u((x_i)_{i \in I})$ (hoặc cũng là $u(x_1, ..., x_n)$ nếu $I = (1, 2, ..., n)$) và được gọi là phần tử của $E$ thu được bằng phép thế $x_i$ cho $X_i$ trong $u$, hoặc giá trị của $u$ ứng với các giá trị $x_i$ của $X_i$, hoặc cũng là giá trị của $u$ khi $X_i = x_i$. Đặc biệt ta có $u = u((X_i)_{i \in I})$.

Cho $E'$ là một $A$-đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị, được tôpô hóa tuyến tính, tách biệt và đầy đủ. Cho $\lambda$ là một đồng cấu có đơn vị liên tục từ $E$ vào $E'$, và $(x_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của $E$ thỏa mãn các điều kiện a) và b) của Mệnh đề 4 (IV, p. 28). Họ $(\lambda(x_i))_{i \in I}$ thỏa mãn các điều kiện a) và b) ấy. Với mọi $u \in A[[I]]$ ta có

vì ánh xạ $u \mapsto A(u((x_i)_{i \in I}))$ là một đồng cấu có đơn vị liên tục từ $A[[I]]$ vào $E'$ biến $X_i$ thành $\lambda(x_i)$ với mọi $i \in I$.

Nếu $J$ và $K$ là hai tập hợp, ta ký hiệu bởi $A_{J, K}$ tập hợp tất cả các họ $(g_j)_{j \in J}$ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) với mọi $j \in J$, $g_j$ là một phần tử của $A[[K]]$ mà số hạng hằng là lũy linh; (ii) nếu $J$ là vô hạn, $g_j$ tiến tới 0 theo bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $J$.

Ta chú ý rằng nếu $J$ là hữu hạn, mọi họ chuỗi lũy thừa hình thức $(g_j)_{j \in J}$ không có số hạng hằng trong $A[[K]]$ đều thuộc $A_{J, K}$.

Cho $(g_j)_{j \in J}$ thuộc $A_{J, K}$. Theo Hệ quả của Mệnh đề 3 (IV, p. 28) ta có $\lim_{n \to \infty} g_j^n = 0$ với mọi $j \in J$. Cho $f \in A[[J]]$; ta có thể thế $g_j$ cho biến có chỉ số $j$ trong $f$ và thu được một chuỗi lũy thừa hình thức $f((g_j)_{j \in J})$ thuộc $A[[K]]$. Hơn nữa, ánh xạ $f \mapsto f((g_j)_{j \in J})$ là một đồng cấu liên tục của các $A$-đại số từ $A[[J]]$ vào $A[[K]]$.

Đặc biệt nếu $J = (1, ..., p)$ và $f \in A[[X_1, ..., X_p]]$, ta có thể thế vào mỗi $X_j$ một chuỗi lũy thừa hình thức $g_j \in A[[K]]$ không có số hạng hằng; kết quả của phép thế này được viết là $f(g_1, ..., g_p)$.

Cho $x = (x_k)_{k \in K}$ là một họ các phần tử của $E$ thỏa mãn các điều kiện a) và b) của Mệnh đề 4 (IV, p. 28). Áp dụng (3), lấy cho $A$ đồng cấu $u \mapsto u(x)$ từ $A[[K]]$ vào $E$; ta được

Cho $f = (f_i)_{i \in I} \in (A[[J]])^I$ và $g = (g_j)_{j \in J} \in A_{J, K}$. Ta ký hiệu bởi $f(g)$ hoặc $f \circ g$ phần tử $(f_i((g_j),_{\epsilon_J}))_{i \in I}$ của $(A[[K]])^I$. Nếu $f \in A_{I, J}$, ta có $f \circ g \in A_{,,K}$ vì ánh xạ $f \mapsto f((g_j)_{i, J})$ từ $A[[I]]$ vào $A[[K]]$ là liên tục.

Cho $f \in (A[[J]])^I$, $g \in A_{J, K}$, $h \in A_{K, L}$. Khi đó $g \circ h \in A_{J, L}$ và theo (4), ta có

Thật vậy,

Giả sử tồn tại $v \in A[[I]]$ sao cho $uv = 1$. Gọi $a, \beta$ là các số hạng hằng của $u$ và $v$, khi đó $\alpha \beta = 1$, nên $a$ khả nghịch.

Ngược lại, giả sử số hạng hằng $a$ của $u$ là khả nghịch. Khi đó tồn tại một chuỗi lũy thừa hình thức $t \in A[[I]]$ sao cho $u = \alpha (1 - t)$ và $\omega(t) > 0$. Bây giờ có một đồng cấu vành $\varphi : A[[T]] \to A[[I]]$ sao cho $\varphi(T) = t$, và $1 - T$ khả nghịch trong $A[[T]]$ (Mệnh đề 5); do đó $1 - t$ khả nghịch trong $A[[I]]$, và vì thế $u$ cũng vậy.

Vì 0 có trong E một hệ cơ bản các lân cận gồm các iđêan, nên họ $((D_i u)(x) \cdot y_i)_{i \in I}$ là khả tổng trong E với mọi $u \in A[[I]]$ (Gen. Top., III, p. 263, Hệ quả 2). Do đó công thức (16) xác định một ánh xạ A-tuyến tính $D : A[[I]] \to E$. Ta để độc giả tự kiểm tra rằng D là một đạo hàm liên tục.

Cho $D_1$ là một A-đạo hàm liên tục của $A[[I]]$ vào E, sao cho $D_1(X_i) = y_i$ với mọi $i \in I$. Hạt nhân của đạo hàm liên tục $D - D_1$ là một đại số con đóng B của $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ chứa 1 và các bất định $X_i$. Vì đại số đa thức $\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$ trù mật trong $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$, ta có $B = \mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ và do đó $D_1 = D$.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 7 vì ánh xạ $u \mapsto \Delta(u(x))$ là một đạo hàm liên tục của $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$ vào E-môđun $\mathbf{A}[[\mathbf{I}]]$.

Điều này suy ra từ Hệ quả 1.