Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

1. 群上的拓扑

1. 拓扑群

群的章、律、合成的前四个截面一般写成乘法，e表示单位元素；将结果翻译成加法记号（我们记得，这是专门为交换群保留的）通常留给读者。

定义 1 0BH8

拓扑群是集合G，它带有群结构和拓扑并且满足以下两个公理：

（GT_I）。 G×GG \times G到GG的映射(x,y)→xy(x, y) \to xy是连续的。

（GT_{II}）。 GG到GG的映射x→x−1x \to x^{-1}（群G的对称性）是连续的。

A group structure and a topology on a set G are said to be compatible if they satisfy (GT_I) and (GT_{II}).

例 1 0BH9

群 G 上的离散拓扑与群结构兼容。 拓扑是离散的拓扑群称为离散群。

同样，G 上最粗糙的拓扑 (章 I, § 2, no. 2) 与 G 的群结构兼容。

引用了 1

引用了 I § 2. 连续函数

例 2 0BHA

\* 在章IV中，我们将看到有理线Q（或实直线R）的拓扑与Q（或R）的加法群结构兼容。

例 3 0BHB

如果G是拓扑群，则其拓扑与群G0G^0的结构兼容，与G相反； G0G^0，加上拓扑，据说是与 G 相反的拓扑群。

公理 (GTI)(\mathrm{GT}_\mathrm{I}) 和 (GTII)(\mathrm{GT}_\mathrm{II}) 等价于以下内容：

（GT'）。 映射 (x,y)→xy−1(x, y) \to xy^{-1} 从 G×GG \times G 进入 GG 是连续的。

显然(GTI)(\mathrm{GT}_\mathrm{I})和(GTII)(\mathrm{GT}_\mathrm{II})一起意味着（GT'）。相反，(GT') 意味着(GTII)(\mathrm{GT}_\mathrm{II})，因为x→ex−1=x−1x \to ex^{-1} = x^{-1} 是连续的； (GT') 和(GTII)(\mathrm{GT}_\mathrm{II})一起意味着(GTI)(\mathrm{GT}_\mathrm{I})，因为(x,y)→x(y−1)−1=xy(x, y) \to x(y^{-1})^{-1} = xy是连续的。

如果aa是GG的任何元素，则*左平移*x→axx \to ax（分别是*右平移*x→xax \to xa）是连续的，通过(GTI)(\mathrm{GT}_\mathrm{I})，因此是GG到GG的*同胚*。 映射x→axbx \to axb，因为aa和bb贯穿GG，因此形式是GG的同胚*群； 映射 x→axa−1x \to axa^{-1}（分别为x→ax,x→xax \to ax, x \to xa），其中aa贯穿同胚的群的GG、形式子群。同样，由于对称性x→x−1x \to x^{-1}是GG的对合置换，公理(GTII)(\mathrm{GT}_\mathrm{II})表明这个映射是GG到GG的*同胚*。

如果AA是GG的开（或闭）子集，并且如果xx是GG的任何点，则集合、x.A,A.xx.A, A.x和A−1(∗)A^{-1} (*)是开（或闭），因为它们是变换 AA 在前述同胚之一下。如果AA是*开*并且BB是GG中的任何子集，那么ABAB和BABA是*开*，因为它们是开集合的并[公理(OI)(\mathrm{O}_\mathrm{I})]。如果GG中VV是ee的邻域，则VAVA和AVAV是AA的*邻域*；因为如果WW是包含在VV中的ee的开邻域，则WAWA和AWAW是开的并且包含AA。

另一方面，当AA闭合时，ABAB不需要闭合，即使BB也闭合（cf.§ 4, no. 1，推论1到命题1）。

\* 对于例，在实直线 R\mathbf{R}的加法群中，有理数整数的子群Z\mathbf{Z}是闭的，所有整数的子群θZ\theta \mathbf{Z}由……组成也是闭的*非理性* 倍数 nθn\theta 数 θ\theta；但是R\mathbf{R}的子群Z+θZ\mathbf{Z} + \theta \mathbf{Z}，即所有实数m+nθm + n\theta中的集合（其中mm和nn占所有整数值）在R\mathbf{R}中并未关闭，正如我们将在章V, § 1。

再次，令AA为R×R\mathbf{R} \times \mathbf{R}的加法群的子集，其中包含所有(x,y)(x, y)对，使得x⩾0x \geqslant 0和0⩽y⩽1−1x+10 \leqslant y \leqslant 1 - \frac{1}{x+1}；并令BB为所有对(x,0)(x, 0)中的集合，因为xx贯穿R\mathbf{R}。 AA和BB是封闭的，但是A+BA + B是所有对(x,y)(x, y)中的集合，使得0⩽y<10 \leqslant y < 1，并且在R×R\mathbf{R} \times \mathbf{R}中不封闭。 \

令XX为拓扑空间，并令ff和gg为XX的两个映射，形成拓扑群GG。如果 ff 和 gg 在点 x0x_0 连续

(*) 我们记得，如果AA和BB是群GG中的两个子集，则A.BA.B或ABAB表示所有乘积xyxy中的集合，其中x∈Ax \in A和y∈By \in B； A−1A^{-1} 表示所有元素 x−1x^{-1} 中的集合，其中 x∈Ax \in A。如果BB由单个元素xx组成，我们写x.Ax.A或xAxA（分别为A.xA.x或AxAx）来代替{x}.A\{ x \}.A（分别为A.{x}A.\{ x \}）。

X，则f−1f^{-1}和fgfg(*)，乘以章I, § 2, no. 1的定理 2。特别是，X的连续映射进入G，X的所有映射进入G的群GXG^X的形式子群。

再次，让ff和gg是集合X的两个映射，通过过滤器F\mathfrak{F}过滤，成为豪斯多夫拓扑群G。如果lim⁡Ff\lim_{\mathfrak{F}} f和lim⁡Fg\lim_{\mathfrak{F}} g存在，那么也存在lim⁡Ff−1\lim_{\mathfrak{F}} f^{-1} 和 lim⁡Ffg\lim_{\mathfrak{F}} fg，我们有 (章 I, § 7, no. 4，命题 9，推论 1)

(1)

lim⁡Ff−1=(lim⁡Ff)−1, \lim_{\mathfrak{F}} f^{-1} = (\lim_{\mathfrak{F}} f)^{-1},
(2)
lim⁡Ffg=(lim⁡Ff)(lim⁡Fg). \lim_{\mathfrak{F}} fg = (\lim_{\mathfrak{F}} f) (\lim_{\mathfrak{F}} g).

当 G 是可交换的群（加法书写）时，公理 (GT') 表明 (x,y)→x−y(x, y) \to x - y 是连续的映射。如果ff和gg是G中拓扑空间X的映射，在点x0x_0连续，则f−gf - g在点连续。 公式 (1) 和 (2) 可以类似地转录。

引用了 5

引用了 推论 1, III § 4, V § 1. 子群和商群的 $\mathbf{R}$, 定理 2, I § 2, 命题 9, I § 7, 推论 1, I § 7

2. 群拓扑中的邻域 / 点

令B\mathfrak{B}为拓扑群G中单位元素ee的邻域滤波器，并令aa为G的任意点。由于x→axx \to ax和x→xax \to xa是同胚，因此aa的邻域过滤器是集合a.Va.V的族a.Ba.\mathfrak{B}，其中V贯穿B\mathfrak{B}，也是集合V.aV.a的族B.a\mathfrak{B}.a。因此，只要我们知道群的单位元素ee的邻域过滤器，我们就知道拓扑群的任何点的邻域过滤器。

如果我们说xyxy和x−1x^{-1}在x=y=ex = y = e连续，我们得到(章I, § 2, no. 1)：

(GV_I)。 给定任何U∈BU \in \mathfrak{B}，*存在*V∈BV \in \mathfrak{B}*使得*V.V⊂UV.V \subset U。

（GV_{II}）。 给定任何U∈BU \in \mathfrak{B}，*我们有*U‾∈B\overline{U} \in \mathfrak{B}。

G 上满足 (GV_I) 和 (GV_{II}) 的每个滤波器 B\mathfrak{B} 也满足 (GV_a)。 给定任何U∈BU \in \mathfrak{B}，*存在*V∈BV \in \mathfrak{B}*使得*V.V−1⊂UV.V^{-1} \subset U。对于(GV_I)，存在W∈BW \in \mathfrak{B}使得W.W⊂UW.W \subset U，并且通过(GV_{II})存在V∈BV \in \mathfrak{B}使得V⊂W∩W−1V \subset W \cap W^{-1}；因此V−1⊂WV^{-1} \subset W，因此V.V−1⊂W.W⊂UV.V^{-1} \subset W.W \subset U。

相反，如果 G 上的过滤器 B\mathfrak{B} 满足 (GV_a)，则它首先遵循 ee 属于到每个集合 U∈BU \in \mathfrak{B}；因为如果 V∈BV \in \mathfrak{B} 使得 V.V−1⊂UV.V^{-1} \subset U，

() 我们记得f−1f^{-1}是映射x→(f(x))−1x \to (f(x))^{-1}和fgfg映射x→f(x)g(x)x \to f(x)g(x)；它们不应与 f−1f^{-1} 和 f∘gf \circ g 混淆（当它们被定义时）（集合理论*，R，§ 2，第 6 条和第 11 条）。

那么，由于 VV 不为空，因此每个 x∈Vx \in V 都有 x.x−1=e∈Ux.x^{-1} = e \in U。因此，条件(GVa)(GV_a)意味着V−1⊂V.V−1⊂UV^{-1} \subset V.V^{-1} \subset U，因此每当U∈BU \in \mathfrak{B}时，U−1∈BU^{-1} \in \mathfrak{B}。最后，如果 V∈BV \in \mathfrak{B} 满足 V.V−1⊂UV.V^{-1} \subset U，且 W∈BW \in \mathfrak{B} 满足 W⊂V∩V−1W \subset V \cap V^{-1}，则我们有 W.W⊂UW.W \subset U。因此，我们看到(GVa)(GV_a)*等于*(GV1)(GV_1)和(GVII)(GV_{II})的合取。

最后，由于 x→axa−1x \to axa^{-1} 是同胚，使得 ee 固定，因此 B\mathfrak{B} 有以下性质：

(GVIII).(GV_{III}). 对于所有 a∈Ga \in G 和所有 V∈BV \in \mathfrak{B}，*我们有* a.Va−1∈Ba.Va^{-1} \in \mathfrak{B}。

过滤器B\mathfrak{B}的这三个属性是*特征*：

命题 1 0BHC

让* GG 成为群，让 B\mathfrak{B} 成为 GG 满足公理 (GV1)(GV_1)、(GVII)(GV_{II}) 和 (GVIII)(GV_{III})的过滤器。 然后在 GG上有一个独特的拓扑，*与* GG的群结构兼容，*其中* B\mathfrak{B} 是单位元素 ee的邻域过滤器。 对于任何点 a∈Ga \in G 的此拓扑邻域过滤器 与两个过滤器中的每个过滤器相同 a.Ba.\mathfrak{B} 和 B.a\mathfrak{B}.a。

引用了 1

引用了 § 1. 群上的拓扑

如果存在具有所需属性的拓扑，则通过上面所说的邻域过滤器aa重合以及每个过滤器a.Ba.\mathfrak{B}和B.a\mathfrak{B}.a；因此拓扑是唯一的（如果存在的话）。如果我们证明 1) 过滤器a.Ba.\mathfrak{B} 是GG 上拓扑的邻域过滤器，以及 2) 这个拓扑与GG 的群结构兼容，则它的存在成立。

1) 正如我们已经看到的，由于(GV1)(GV_1)和(GVII)(GV_{II})，滤波器a.Ba.\mathfrak{B}满足公理(VIII)(V_{III})（参见章I § 1, no. 2）；因此，为了证明a.Ba.\mathfrak{B}是GG上拓扑中aa的邻域过滤器，我们必须验证公理(VIV)(V_{IV})。令VV为B\mathfrak{B}的任意集合，以及B\mathfrak{B}的WW集合，使得W.W⊂VW.W \subset V；那么对于任何x∈a.Wx \in a.W，我们有x.W⊂a.W.W⊂a.Vx.W \subset a.W.W \subset a.V，因此a.Va.V属于到过滤器x.Bx.\mathfrak{B}；因此(VIV)(V_{IV})是满足的。

2) 现在让我们证明由邻域过滤器a.Ba.\mathfrak{B}定义的拓扑满足(GT′)(GT')。令a,ba, b为GG中的任意两个点；如果我们放入x=aux = au和y=bvy = bv，那么只要uu和vv足够接近ee，我们就必须证明xy−1xy^{-1}尽可能接近ab−1ab^{-1}。现在(ab−1)−1(xy−1)=buv−1b−1(ab^{-1})^{-1}(xy^{-1}) = buv^{-1}b^{-1}；令UU是ee中的任意邻域，那么如果uv−1∈b−1Ub=Vuv^{-1} \in b^{-1}Ub = V我们将有buv−1b−1∈Ubuv^{-1}b^{-1} \in U，并且由于(GVIII)(GV_{III})我们将有V∈BV \in \mathfrak{B}。但通过(GV1)(GV_1)和(GVII)(GV_{II})，存在W∈BW \in \mathfrak{B}使得W.W−1⊂VW.W^{-1} \subset V；因此，在阶中取u∈Wu \in W和v∈Wv \in W就足以得到xy−1∈(ab−1)Uxy^{-1} \in (ab^{-1})U。这样就完成了证明。

A common method of defining a topology compatible with a group structure on GG consists in giving a filter satisfying the axioms (GV1)(GV_1), (GVII)(GV_{II}) and (GVIII)(GV_{III}). 过滤器基 B\mathfrak{B} 的相应的条件如下：

(GV1′).(GV'_1). 给定任何 U∈BU \in \mathfrak{B}，*存在* V∈BV \in \mathfrak{B} 使得 V.V⊂UV.V \subset U。

（GV_{II}）。 给定任何U∈BU \in \mathfrak{B}，*存在*V∈BV \in \mathfrak{B}*使得*V−1⊂UV^{-1} \subset U。

（GV'_{III}）。 给定任何 a∈Ga \in G 和任何 U∈BU \in \mathfrak{B}，*存在* V∈BV \in \mathfrak{B} 这样 V⊂a.U.a−1V \subset a . U . a^{-1}。

ee的邻域，其中重合及其像在对称性x→x−1x \to x^{-1}下被称为*对称*。如果VV是ee中的任意邻域，则V∪V−1V \cup V^{-1}、V∩V−1V \cap V^{-1}和V.V−1V . V^{-1}是对称的邻域。通过(GV_{II})，ee的对称邻域形式a 基本系统的邻域。另外，根据 (GV_{I})，当VV穿过ee的邻域的基本系统时，集合VnV^n（其中nn是固定的整数≠0\neq 0） 形式邻域 ee 的基本系统。

注 0BHD

如果GG是*可交换的*，对于GG的每个子集AA和每个x∈Gx \in G，我们都有x.A.x−1=Ax . A . x^{-1} = A，因此（GV_{III}）[resp。 (GV'_{III})] 自动满足GG上的每个过滤器（分别是过滤器基）。另一方面，如果 GG 不是阿贝尔的，则 (GV_{III}) 不是 (GV_{I}) 和 (GV_{II}) 的推论 [参见习题 5]。

如果GG是可交换的群，写为*加法*，公理表征了拓扑的原点邻域的过滤器B\mathfrak{B}与GG的群结构兼容，因此如下：

（GA_{I}）。 给定任何U∈BU \in \mathfrak{B}，*存在*V∈BV \in \mathfrak{B}*使得*V+V⊂UV + V \subset U。

（GA_{II}）。 给定任何U∈BU \in \mathfrak{B}，*我们有*−U∈B-U \in \mathfrak{B}。

引用了 1

引用了 习题 5, § 1

命题 2 0BHE

拓扑群* GG 是 Hausdorff 当且仅当集合 {e}\{e\} 闭合。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了 命题 1, I § 8

被以下引用 例, 命题 1, III § 2, 例 2, III § 6

显然，如果 GG 是 Hausdorff，则 {e}\{e\} 是闭集。反之，如果{e}\{e\}是闭的，那么G×GG \times G的对角线Δ\Delta也是闭的，因为它是连续映射(x,y)→xy−1(x, y) \to xy^{-1}下的{e}\{e\}的逆像；因此 (章 I, § 8, no. 1, 命题 1) GG 是豪斯多夫。

推论 0BHF

拓扑群* GG 是 Hausdorff 当且仅当 ee 的邻域交 仅由点 ee 组成。

被以下引用 1

被以下引用 命题 1, LIE III § 1

条件显然是必要的。相反，如果 ee 的所有邻域中的交只是 {e}\{e\}，则给定任意 x≠ex \neq e，ee 中存在邻域 VV，使得 x−1∉Vx^{-1} \notin V 进而e∉xVe \notin xV。这说明xx不在{e}\{e\}的闭包内，因而{e}\{e\}是闭包，所以GG是Hausdorff。

例 0BHG

Definition of a topology on a group by means of a set of subgroups.* If B\mathfrak{B} is a filter base on a group GG, formed of subgroups of GG, then it is immediately seen that B\mathfrak{B} satisfies axioms (GV_{I}) and (GV_{II}), since H.H−1=HH . H^{-1} = H for any subgroup HH of GG. 因此，集合B\mathfrak{B}将是拓扑中ee的邻域*的基本系统与GG的群结构兼容，前提是B\mathfrak{B}满足(GV_{III})；如果 B\mathfrak{B} 中的所有子群都是正规的，则尤其如此，因此如果 GG 是*可交换的*，则总是如此。 因此拓扑由命题2定义为*Hausdorff*，当且仅当B\mathfrak{B}中所有子群的*交仅由*ee组成。 最有趣的情况是子群 {e}\{ e \} 不在 B\mathfrak{B} 中（否则由 B\mathfrak{B} 定义的拓扑是*离散* 拓扑）：如果 {e}∉B\{ e \} \notin \mathfrak{B}，则仅当 B\mathfrak{B} 时，B\mathfrak{B} 定义的拓扑才是 Hausdorff是一个*无限*集合。

由于两个子群的交是子群，我们可以在GG上定义拓扑，与其群结构兼容，从GG的子群*任意*集合F\mathfrak{F}开始：令G\mathfrak{G}为所有子群a.H.a−1a.H.a^{-1}的集合，其中H∈FH \in \mathfrak{F}和a∈Ga \in G，并让B\mathfrak{B}为子群属于的所有*有限*交的集合到G\mathfrak{G}。那么B\mathfrak{B}是一个过滤器基并且满足(GVIII_{\text{III}})。

特别考虑 环 AA 的加法群。 AA定义拓扑的*理想*中的每个集合F\mathfrak{F}都与此加法群结构兼容。如果F\mathfrak{F}的所有理想中的交是零理想，则拓扑是Hausdorff；如果F\mathfrak{F}的理想中没有有限的交是零理想，则该拓扑不是离散的。以这种方式定义的拓扑在数的理论中起着很大的部分的作用（参见§§ 6的习题和章的7个）。

引用了 1

引用了 命题 2

3. 同构和本地同构

根据一般的定义（*集合理论*，章IV, § 1, no. 5），拓扑群GG*到*拓扑群G′G'的*同构*ff是一个GG的双射映射到G′G'，同时是* GG的群结构的*同构到G′G'的双射，以及*GG到G′G'的*同胚。在其他字中，ff 是 GG 的同构到 G′G' 当且仅当： 1) ff 是双射； 2) f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x)f(y) 为所有 x,y∈Gx, y \in G； 3) ff 是双连续的。

对于例，如果aa是GG中的任何点，则映射x→axa−1x \to axa^{-1}是GG到GG的同构，即（*loc.cit.*），拓扑群GG的*自同构*。它被称为*内自同构*。

如果拓扑 C\mathscr{C} 与群 GG 的群结构兼容，则 C\mathscr{C} 也与群结构兼容，与 GG 的*相反*。如果G0G^0表示通过给与GG拓扑C\mathscr{C}相反的群得到的拓扑群，则对称性x→x−1x \to x^{-1}是拓扑群的*同构* GG到拓扑群G0G^0。

定义 2 0BHH

如果* GG 和 G′G' 是两个拓扑群， GG *的局部同构 与 G′G' 是同态 ff * of 邻域* VV * 单位元素 of* GG 到邻域 V′V' of 单位元素 of G′G' *满足以下条件：

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 V § 1. 子群和商群的 $\mathbf{R}$, 习题 7, § 1

被以下引用 习题 7, § 1, 命题 3

1) 对于 VV 中的每个对 x,yx, y *点 这样 xy∈Vxy \in V，

f(xy)=f(x)f(y). f(xy) = f(x)f(y).

2) If g is the mapping inverse to f, then for each pair of points x', y' of V' such that x'y' ∈ V', we have g(x'y') = g(x') g(y'). The mapping g is then a local isomorphism of G' with G. Two topological groups G, G' are said to be locally isomorphic if there exists a local isomorphism of G with G'.

同构拓扑群显然是局部同构的。 逆命题为假。

\* 对于例，我们将在章V, § 1中看到，拓扑群R和T是局部同构的，但不是同构的。 \*

如果 f 是 G 与 G' 的局部同构，则 f 的每个限制到 G 的单位元素的邻域又是 G 与 G' 的局部同构。

G 与 G 的局部同构称为 G 的局部自同构。

一般来说，如果f是G的单位元素的邻域V到G'的单位元素的邻域V'的同胚，且满足定义2的条件1)，则f不一定是满足条件 2)（参见习题7）。然而，G 和 G' 实际上是局部同构的。

命题 3 0BHI

设G和G'为两个拓扑群，设f为G的单位元素的邻域V到G'的单位元素的邻域V'的同态，满足定义2的条件1)，则f为G 与 G' 的局部同构的扩张。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 定义 2

被以下引用 命题 19, III § 2, 定理 1, V § 3

因为不难看出，如果 W 是 G 的单位元素的邻域，使得 W.W ⊂ V，则 f 到 W 的限制是 G 与 G' 的局部同构。

习题

参见习题为 § 1。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。