习题 5, § 1

令 $\mathfrak{B}$ 为群 $G$、满足公理 $(\mathrm{GV}_1)$ 和 $(\mathrm{GV}_{\mathrm{II}})$ 的过滤器。

a) There is a unique topology $\mathfrak{T}_s$ (resp. $\mathfrak{T}_d$) on $G$ such that, for each $a \in G$, the neighbourhood filter of $a$ with respect to $\mathfrak{T}_s$ (resp. $\mathfrak{T}_d$) is $a.\mathfrak{B}$ (resp. $\mathfrak{B}.a$).

令$G_s$（或$G_d$）为通过赋予$G$与拓扑$\mathfrak{T}_s$（或$\mathfrak{T}_d$）而获得的拓扑空间。对于每个$a \in G$，左平移$x \to ax$（或右平移$x \to xa$）是$G_s$到$G_s$的连续映射（或$G_d$到$G_d$）。对称性$x \to x^{-1}$是$G_s$到$G_d$和$G_d$到$G_s$的连续映射。

b) 以下条件是等价的： 1) $V$满足$(\mathrm{GV}_{\mathrm{III}})$； 2) 对于每个$a \in G$，$x \to xa$是$G_s$到$G_s$的连续映射； 3) $x \to x^{-1}$是$G_s$到$G_s$的连续映射。

*c) 令 $G$ 为 $2 \times 2$ 方阵的群 $\mathbf{GL}(2, \mathbf{Q}_p)$ 在 $p$-adic 域 $\mathbf{Q}_p$ 上。对于每个整数 $n > 0$，令 $H_n$ 为集合

(*) 如果 $G$ 是局部紧凑的，则此条件意味着 $G$ 的拓扑与其群结构兼容（章 X, § 3，习题 25）。

形式 $I + p^n U$的矩阵，其中$U$是$2 \times 2$矩阵，其元素是$p$-adic整数。证明$H_n$是$G$的子群，其中交仅由单位元素组成。推论如果$\mathfrak{B}$是$H_n$为基的滤波器，则$G$上的相应的拓扑$T_s$和$T_d$是Hausdorff。表明这些拓扑是不同的。*