Exercice 5, § 1

Sur un groupe $G$, soit $\mathfrak{V}$ un filtre satisfaisant aux axiomes (GV_I) et (GV_{II}) de III, p. 3.

a) Il existe sur $G$ une topologie $\mathscr{T}_s$ (resp. $\mathscr{T}_d$) et une seule telle que pour tout $a \in G$, le filtre des voisinages de $a$ pour $\mathscr{T}_s$ (resp. $\mathscr{T}_d$) soit $a . \mathfrak{V}$ (resp. $\mathfrak{V} . a$).

Soit $G_s$ (resp. $G_d$) l’espace topologique obtenu en munissant $G$ de $\mathscr{T}_s$ (resp. $\mathscr{T}_d$). Pour tout $a \in G$, la translation à gauche $x \mapsto ax$ (resp. la translation à droite $x \mapsto xa$) est une application continue de $G_s$ dans $G_s$ (resp. de $G_d$ dans $G_d$). La symétrie $x \mapsto x^{-1}$ est une application continue de $G_s$ dans $G_d$ et de $G_d$ dans $G_s$.

b) Les conditions suivantes sont équivalentes : 1° $\mathfrak{V}$ satisfait à (GV_{III}) (III, p. 3); 2° pour tout $a \in G$, $x \mapsto xa$ est une application continue de $G_s$ dans $G_s$; 3° $x \mapsto x^{-1}$ est une application continue de $G_s$ dans $G_s$.

c) Soit $G_0$ le groupe $\mathbf{GL}(2, \mathbf{Q}_p)$ des matrices carrées d’ordre 2, sur le corps $p$-adique $\mathbf{Q}_p$. Pour tout entier $n > 0$, soit $H_n$ l’ensemble des matrices de la forme $I + p^n U$, où $U$ est une matrice d’ordre 2 dont les éléments sont des entiers $p$-adiques. Montrer que les $H_n^\mathbf{N}$ sont des sous-groupes de $G = G_0^\mathbf{N}$, dont l’intersection est réduite à l’élément neutre. En déduire que si $\mathfrak{V}$ est le filtre ayant pour base les $H_n^\mathbf{N}$, les topologies $\mathscr{T}_s$ et $\mathscr{T}_d$ correspondantes sur $G$ sont séparées; montrer que ces topologies sont distinctes.