Bài tập 5, § 1

Cho $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc trên một nhóm $G$, thỏa mãn các tiên đề $(\mathrm{GV}_1)$ và $(\mathrm{GV}_{\mathrm{II}})$.

a) Có một tôpô duy nhất $\mathfrak{T}_s$ (tương ứng $\mathfrak{T}_d$) trên $G$ sao cho, với mỗi $a \in G$, lọc lân cận của $a$ đối với $\mathfrak{T}_s$ (tương ứng $\mathfrak{T}_d$) là $a.\mathfrak{B}$ (tương ứng $\mathfrak{B}.a$).

Gọi $G_s$ (tương ứng $G_d$) là không gian tôpô thu được bằng cách trang bị cho $G$ tôpô $\mathfrak{T}_s$ (tương ứng $\mathfrak{T}_d$). Với mỗi $a \in G$, phép tịnh tiến trái $x \to ax$ (tương ứng phép tịnh tiến phải $x \to xa$) là một ánh xạ liên tục từ $G_s$ vào $G_s$ (tương ứng từ $G_d$ vào $G_d$). Phép đối xứng $x \to x^{-1}$ là một ánh xạ liên tục từ $G_s$ vào $G_d$ và từ $G_d$ vào $G_s$.

b) Các điều kiện sau là tương đương: 1) $V$ thỏa mãn $(\mathrm{GV}_{\mathrm{III}})$; 2) với mỗi $a \in G$, $x \to xa$ là một ánh xạ liên tục từ $G_s$ vào $G_s$; 3) $x \to x^{-1}$ là một ánh xạ liên tục từ $G_s$ vào $G_s$.

*c) Cho $G$ là nhóm $\mathbf{GL}(2, \mathbf{Q}_p)$ của các ma trận vuông $2 \times 2$ trên trường $p$-adic $\mathbf{Q}_p$. Với mỗi số nguyên $n > 0$, gọi $H_n$ là tập hợp

(*) Nếu $G$ là compact địa phương, điều kiện này kéo theo rằng tôpô của $G$ tương thích với cấu trúc nhóm của nó (Chương X, § 3, Bài tập 25).

các ma trận có dạng $I + p^n U$, trong đó $U$ là một ma trận $2 \times 2$ có các phần tử là các số nguyên $p$-adic. Chứng minh rằng các $H_n$ là các nhóm con của $G$ mà giao của chúng chỉ gồm phần tử đơn vị. Suy ra rằng nếu $\mathfrak{B}$ là cơ sở lọc có các $H_n$ làm cơ sở, thì các tôpô tương ứng $T_s$ và $T_d$ trên $G$ là Hausdorff. Chứng minh rằng các tôpô này là phân biệt.*