如果$a, b \in \overline{H}$则$ab^{-1} \in \overline{H}$，因为映射$(x, y) \to xy^{-1}$在$G \times G$和变换$H \times H$上连续到$H$（章I, § 2, no. 1，定理1）。同理，映射$x \to axa^{-1}$的连续性表明，如果$H$是正规的，那么$\overline{H}$也是正规的。

特别是，仅$G$的单位元素的集合、$\{ e \}$、由……组成的闭包$N$，是$G$的*正常子群*；和 $N = \{ e \}$ 当且仅当 $G$ 是 Hausdorff ($\S$ 1, no. 2, 命题 2)。

由于命题 1，我们可以将极限变为 $H$ 在 $G$ 中稠密的情况。 The continuous functions $xy$ and $yx$ are equal on $H \times H$, and are therefore equal on $G \times G$, by virtue of the principle of extension of identities (Chapter I, § 8, no. 1, Proposition 2, Corollary 1).

对于$M'$是集合$F_m (m \in M)$的交，其中$F_m$是所有$x \in G$的集合，使得$xm = mx$；并且 $F_m$ 闭合（章 I, § 8, no. 1，命题 2）。

通过翻译，$H$在其每个点处局部闭合，即$H$在$G$处局部闭合。令$V$为$G$中$e$的对称开邻域，使得$V \cap H$在$V$中闭。若$x \in \overline{H}$，则$xV$满足$H$；如果$y \in xV \cap H$，我们有$x \in yV$，并且$y(V \cap H) = (yV) \cap H$在$yV$关闭。但$x$位于$(yV) \cap H$的闭包中，因此$x \in H$。

如果子群 $H$ 有一个内部点，那么通过翻译，$H$ 的所有点都是内部的，因此 $H$ 是开的。推论的第二个断言是命题4的特例。

如果$H$是离散的，则$H$的每个点都是孤立的。相反，如果 $H$ 有一个孤立的点，则通过平移，$H$ 的每个点都是孤立的，因此 $H$ 是离散的。如果$H$是离散的并且$G$是Hausdorff，则$e$存在邻域$V$使得$V \cap H = \{e\}$； $\{e\}$ 在 $G$ 闭合，因此 更不必说 在 $V$ 闭合，因此 $H$ 在 $e$ 局部闭合。因此 $H$ 在 $G$ 中被命题 4 关闭。

这个命题的逆命题通常是假的，正如我们将在章 IV (§ 2, no. 5) 中看到的那样。如果单位元素的每一个邻域都生成一个拓扑群$G$，我们最多可以说的是$G$包含*除了$G$之外没有开放的子群*。

\* 作为非连通群$G$的例，其具有与$G$不同的开子群，我们可以引用非零实数的*乘法群* $\mathbf{R}^*$，其中子群实数 $> 0$ 的$\mathbf{R}_+^*$ 既开又闭（参见章 IV, § 3, no. 2）。 \*

如果$a \in K$，则$a^{-1}K$连通且包含$e$；因此$K^{-1}K \subset K$，这表明$K$是$G$的子群。这个子群在$G$的所有自同构下是不变的，特别是在所有内自同构下，因此$K$在$G$中是*正常*； $K$ 也已关闭（章 I、、no. 5、命题 9）。最后，左翻译$y \to xy$是$G$的同态，它将$e$发送到$x$，因此$x$的分量是$x.K$

$G$的单位元素$e$分量称为$G$的*恒等分量*。

对于映射$(z, x) \to zxz^{-1}$在$G \times G$上连续，并且映射$H \times K$进入$K$；因此（章I, § 2, no. 1，定理1）它映射$G \times \overline{K} = \overline{H} \times K$变成$\overline{K}$。

令$V$为$G$中$e$的任意对称邻域。那么$V \cap H$是$H$中$e$的邻域，因此生成$H$。由此可见 $V$ 生成子群 $H'$ 其中包含 $H$；但 $H'$ 是开闭的（no. 1，命题 4 的推论），因此包含 $\overline{H} = G$。

对于这个映射是连续的双射，其逆$x \to s^{-1}.x$也是连续的。

我们记得，对于$x$的变换$s.x$的每个$x \in X$集合$G.x$乘以$G$的元素$s$被称为$x$的*轨道*（相对于运算符$G$的群），并且所有$s \in G$的集合使得$s.x = x$是$G$的子群，称为$x$的*稳定子*。 $x"$的关系$R(x, y) : "y$属于到轨道是$X$上的等价关系，称为等价关系*由*$G$定义；相对于此关系等价类是$X$点轨道。拓扑空间$X/R$称为$X$的*轨道空间*（相对于$G$），或*$X$*与群*$G$的*空间商，并且是用$X/G$表示； 拓扑与 $X/G$ 据说是 * 拓扑与* $X$ 除以 $G$ 的商。

对于$X$的开路子集$U$相对于$R$的饱和度为集合$\bigcup_{s \in G} s.U$，并且每个$s.U$开路引理1。

现在让$S$在$X$上为等价关系，这样，对于每个$s \in G$，映射$x \to s.x$与$S$*相容的*[在其他字中，这样关系$x \equiv y \pmod{S}$意味着$s.x \equiv s.y \pmod{S}$]；为了简洁起见，我们会说关系 $S$ 与群 $G$ 相容的。如果$\psi$是$X$的典范映射到$X/S$，并且如果$s.\psi(x)$表示$s.x$的类模$S$，那么$X/S$有$G$作为运算符的群尊重外法则$(s, \psi(x)) \to s.\psi(x) = \psi(s.x)$。而且：

由于$G$上等式的关系和$X$上的关系$S$开路，因此足以证明$G \times X$到$X/S$的映射$(s, x) \to s.\psi(x) = \psi(s.x)$是连续的（章） I, § 5, no. 3，命题 8 的推论）；但这是由 $\psi$ 和映射的连续性得出的

由于等价关系$x^{-1}y \in H$开路（no. 4，引理2），这是no. 4的命题11的特例。

对于关系 $x^{-1}y \in H$，H 是等价类，因此，如果 $G/H$ 是 Hausdorff，则 H 在 G 中是闭的。相反，如果 H 是闭的，则该关系的图在 $G \times G$ 中是闭的，因为它是连续映射下 H 的逆像 $(x, y) \to x^{-1}y$。由于关系 $x^{-1}y \in H$ 是开集，因此从章 I, § 8, no. 3、命题 8 可以得出 $G/H$ 是 Hausdorff。

对于典范映射下$G/H$的点的G中的逆像来说，是陪集$xH$($x \in G$)；当且仅当 H 在 G 中开时，这些集合在 G 中开。

令X为拓扑空间，拓扑群G在其上连续且传递地运行；那么X（在代数意义上）是G的齐次空间。设x是X的点，H_x是稳定子。 G 到 X 上的连续满射 s → s.x 正则因式分解为

其中 f_x 是 G 的典范映射到齐次空间 G/H_x 上，g_x 是 G/H_x 的双射 s.H_x → s.x 到 X 上；而且(章I, § 3, no. 4,命题6)g_x是连续的映射。但 g_x 不一定是 G/H_x 在 X (习题 29) 上的同胚。如果 g_x 是每个 x ∈ X 的同态，那么我们说 X 是拓扑齐次空间（拓扑群 G）；为此，对于每个 x ∈ E，G 的映射 s → s.x 到 X 应该是开的。

对于某些 t ∈ G，每个 x ∈ X 都可以写成 x = t.x_0。如果 V 是 e 的邻域，则 V.x = (Vt).x_0 是 x 的邻域，因为我们可以写成 (Vt).x_0 = t((t^{-1}Vt).x_0)，并且断言根据以下事实得出：t^{-1}Vt 是 G 中 e 的邻域，并且 y → t.y 是 X 自身的同胚 (no. 4，引理 1)。由此可知，如果 U 是 G 的任意开子集，并且 x 是X 中的任意点，则 U.x 在 X 中开；因为如果 t ∈ U，则 t^{-1}U 是 e 的邻域，因此 (t^{-1}U).x 是 x 的邻域，并且 t.((t^{-1}U).x) = U.x 是 t.x 的邻域。因此 U.x 在 X 中是开集，因此 G 到 X 的映射 s → s.x 是开集。这样就完成了证明。

如果 x → x̂ 是 G 到 G/H 的典范映射，那么我们必须证明 (x̂, ŷ) → x̂ŷ^{-1} 是 (G/H) × (G/H) 到 G/H 的连续映射。由于等价关系 x^{-1}y ∈ H 是开集 (no. 4, 引理 2)，因此足以证明 (x, y) → x̂ŷ^{-1} 是 G × G 到 G/H 的连续映射 (章 I, § 5, no. 3，推论到命题 8，并且§ 3, no. 4、命题6)。但 (x, y) → x̂ŷ^{-1} 是连续映射 x → x̂ 和 (x, y) → xy^{-1} 的合成，因此是连续的。

Whenever in the sequel we consider a quotient group $G/H$ of a topological group $G$ as a topological group, it is always to be understood that the topology of $G/H$ is the quotient by $H$ of the topology of $G$, unless the contrary is expressly stated.

这是命题 5 of 章 I, § 5, no. 3 的特例。

对于商群，命题 13 和 14 特别给出：

如果$G$是拓扑群，$N$是$\{e\}$在$G$的闭包，那么$N$是$G$的闭法线子群（no. 1，命题1），因此$G/N$ 是豪斯多夫； $G/N$ 被称为与* $G$ 相关的 *Hausdorff 群。

令$V$为$G$中$e$的邻域，除了$e$之外，不存在包含$H$中的任何点，并令$W$为邻域的对称开邻域 $e$在$G$中，使得$W^2 \subset V$。那么限制到 $W$ 的典范映射 $\varphi$ 的 $G$ 到 $G/H$ 是*内射*；因为如果$x, y \in W$和$\varphi(x) = \varphi(y)$，则$x^{-1}y \in W^2 \subset V$和$x^{-1}y \in H$，因此$x = y$。到命题 17，$\varphi$到$W$的限制是$W$到$\varphi(W)$的同胚；此外，由于$\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$对于所有$x, y \in W$，我们结论认为$G$和$G/H$是局部同构的（§ 1, no. 3，命题3）。

这是从前面的注和命题 10 of no. 4 得出的。

$A/(A \cap H)$到$\varphi(A)$的规范双射是一个连续的同态，因为它是从$\varphi$的限制到$A$乘经过到商产生的；但一般来说，拓扑群$A/(A \cap H)$和$AH/H$不是同构的（cf.§ 4, no. 1，命题1，推论3）。

\* 对于例，取$G$为实数的加法群$\mathbf{R}$，取$H$为整数的群$\mathbf{Z}$，并取$A$为群无理数数 $\theta$ 的 $\theta \mathbf{Z}$ 整数倍数。然后$A \cap H = \{0\}$，使得$A/(A \cap H)$是一个离散的群，与$\mathbf{Z}$同构；另一方面，$A + H$在$\mathbf{R}$中是稠密的（正如我们将在章V, § 1, no. 1，命题1中看到的那样），因而$(A + H)/H$与$A + H$（no. 6，命题19）局部同构，是不是离散的群，因此与 $A/(A \cap H)$ 不同构。 \*

尽管如此，我们还是有以下命题：

从$H_0 = H \cap G_0$开始，只要证明$U_0$是$G_0$的任意开子集且相对于关系$x^{-1}y \in H_0$饱和，则$U_0$是$G_0$的交和开子集 $G$相对于关系$x^{-1}y \in H$（章I, § 3, no. 6，命题10）饱和。令$U$为$G$的开子集，使得$U_0 = U \cap G_0$。从$U_0 = U_0 H_0$开始，很容易看出$U_0 = U H_0 \cap G_0$；但是$U H_0$在$G$开放，所以我们可以假设$U = U H_0$。 集合$U H$在$G$开放，相对于关系$x^{-1}y \in H$饱和；因此，如果我们证明$U H \cap G_0 = U_0$，命题就能得到证明。现在，如果$u \in U$和$h \in H$使得$u h \in G_0$，那么在$G$中存在$e$的对称邻域$V$使得$u V \subset U$；由于$V h$是$G$中$h$的邻域，因此存在$z \in V$使得$z h \in H_0$。但是我们有 $u z^{-1} \in U$ 和 $u h = (u z^{-1})(z h)$；因此$U H \cap G_0 \subset U H_0$。但是$U H_0 = U$，因此$U H \cap G_0 \subset U \cap G_0 = U_0$。这样就完成了证明。

令$G$为在拓扑空间$X$上连续运行的拓扑群，并令$K$为$G$的正常子群，其包含在$X$的每个点的稳定子中。因此，对于每个$x \in X$，关系$s \equiv t \pmod{K}$意味着$s.x = t.x$，而经过意味着我们将$G/K$的定义映射$s \to s.x$除以$X$。立即验证，对于外法则$(s', x) \to s'.x$，X有G/K作为群的算子。而且，相对于这个律，G/K在X上持续运行；对于X上的等式的关系和G上的关系$s \equiv t \pmod{K}$都是开等价关系，因此结果由映射的连续性得出

$G \times X$ 变为X（章 I, § 5, no. 3，推论命题 8，以及§ 3, no. 4、命题 6）。

现在令 G 为在拓扑空间 X 上连续运行的拓扑群，并令 H 为 G 的任意正规子群；则H在X上连续运算。令 S 为 H 在 X 上定义的等价关系；则 S 开路（no. 4，引理 2）。 关系 S 兼容群 G (no. 4)；因为如果$y \equiv x \pmod{S}$则存在$t \in H$使得$y = t.x$；因此对于所有$s \in G$，我们有$s.y = (sts^{-1}).s.x$和$sts^{-1} \in H$，因为H在G中是正规的；因此$s.y \equiv s.x \pmod{S}$。如果$\psi$是X的典范映射到X/S，群G因此相对于外法则在X/S上连续运行

（no. 4，命题11）。另外，X/S的点各自的稳定子中含有群H。正如我们在上面看到的，G/H 相对于外法则 $(s', \psi(x)) \to \psi(s.x)$ 连续运行在 $X/S = X/H$ 上。如果R在G定义的X上表示等价关系，则关系S意味着R，X/S上的等价关系R/S是由群G/H定义的。因此（章I, § 3, no. 4，命题7）：

我们已经知道，这个双射是群的同构，而命题22（应用于在G右边运算的群K）表明它是同胚。

假设$f$在点$a \in G$连续；那么如果$V'$是$f(a)$中的任意邻域，则$V = \overline{f^{-1}}(V')$是$a$中的邻域。因此，如果 $x$ 是 $G$ 中的任意点，我们有

因此$f$在$x$连续。

拓扑群$G$到拓扑群$G'$的连续同态也称为拓扑群结构的$G$到$G'$的*态射*。

设$f$是拓扑群$G$到拓扑群$G'$的连续同态； $G'$的单位元素$e'$的逆像$H = \overline{f^{-1}}(e')$是$G$的*普通子群*，$f(G)$是$G'$的*子群*。考虑正则分解$f = \psi \circ \dot{f} \circ \varphi$，其中$\varphi$是典范映射$G \to G/H$，$\psi$是典范嵌入$f(G) \to G'$，最后$\dot{f}$是商群的*连续双射同态* $G/H$到子群$f(G)$（章I, § 3, no. 5）； $\dot{f}$ 据说是与 $f$ 关联的双射同态。一般来说，$\dot{f}$不是拓扑群的同构。

对于例，令$G'$为非离散拓扑群，$G$为通过给$G'$赋予离散拓扑而得到的拓扑群；那么$G$到$G'$的恒等映射是连续双射同态，但不是双连续的。

鉴于no. 4的引理2，a）和b）的等价紧随定义（章I, § 5, no. 3，命题5）。 b) 和 c) 的等价是 no. 5 的命题 15 的特例，如果我们观察到 $G$ 在 $f(G)$ 上连续运行外法则 $(s, f(t)) \to f(st)$。