§ 3. 子空间；商空间

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3. 子空间；商空间

1. 拓扑空间的子空间

设 $A$ 为拓扑空间 $X$ 的子集。我们将 $X$ 的拓扑在 $A$ 上的*拓扑诱导*定义为后者在典范嵌入 $A \to X$ 下的逆像（§ 2, no. 3，例1）。等效的定义如下：

定义 1 0B13

设 $A$ 为拓扑空间 $X$ 的子集。 $X$ 的拓扑在 $A$ 上诱导拓扑是其中集合的开交和 $X$ 的开集合的 $A$ 。集合 $A$ 与此拓扑称为 $X$ 的子空间。

被以下引用 1

被以下引用例

例 0B14

有理线拓扑在有理整数的集合 $\mathbf{Z}$ 上诱导拓扑是离散拓扑，对于 $\mathbf{Z}$ 的交，开区间 $]n - 1/2, n + 1/2[$ 是集合 $\{ n \}$ 。

通过§ 2, no. 3的命题 5（或直接从定义 1）我们看到，如果 $B \subset A \subset X$ ， $X$ 的子空间 $B$ 与子空间 $A$ 的子空间 $B$ 相同 $X$ （诱导拓扑的传递性）。如果 $\mathfrak{G}$ 是 $X$ ( $§ 2$ , no. 3, 例 3) 的拓扑的子底（分别为基），则 $A$ 上的踪迹 $\mathfrak{G}_A$ 是以下子底（分别为基）拓扑于 $A$ 诱发。

在所有涉及 $A$ 的元素或子集的问题中，必须仔细区分它们作为 $X$ 的点（分别为子集）的属性，以及它们作为子空间 $A$ 的点（分别为子集）的属性。我们将通过使用短语“在 $A$ 中”、“相对于 $A$ ”或“相对于 $A$ ”来表示后一类中的属性（可能与短语“在 $X$ 中”、“相对于 $X$ ”、“相对于 $X$ ”进行对比）来进行区分。

子空间 $A$ 的开集合不必在 $X$ 中开；在阶中，在 $A$ 中打开的每个集合应该在 $X$ 中打开， $A$ 在 $X$ 中打开是必要且充分的。条件是必要的，因为 $A$ 在 $A$ 中是开放的，并且凭借 $(O_{II})$ 和定义1就足够了。

在 $A$ 关闭的集合是交，以及在 $X$ 关闭的集合的 $A$ （ $§ 2$ ，no. 3，例1）；如上所述，我们看到每个在 $A$ 中闭合的集合在 $X$ 中闭合当且仅当 $A$ 在 $X$ 中闭合。

点 $x \in A$ 相对于 $A$ 的邻域相对于交，以及 $x$ 的邻域相对于 $X$ 的 $A$ 。 $x$ 相对于 $A$ 的每个邻域是 $x$ 相对于 $X$ 的邻域，当且仅当 $A$ 是 $X$ 中 $x$ 的邻域。

引用了 2

引用了命题 5, I § 2, 定义 1

命题 1 0B15

如果 $A$ 和 $B$ 是拓扑空间 $X$ 的两个子集和 $B \subset A$ ，则子空间 $A$ 中的 $B$ 闭包是交和 $A$ 闭包 $X$ 中的 $B$ $\overline{B}$ 。

被以下引用 1

被以下引用 I § 6. 过滤器

如果 $x \in A$ ，则 $A$ 中 $x$ 的每个邻域都是形式 $V \cap A$ ，其中 $V$ 是 $X$ 中 $x$ 的邻域。从 $V \cap B = (V \cap A) \cap B$ 开始，当且仅当 $x$ 位于 $B$ 关于 $X$ 的闭包时， $x$ 位于 $B$ 相对于 $A$ 的闭包。

推论 0B16

$A$ 的子集 $B$ 在 $A$ 中是稠密的当且仅当 $\overline{B} = \overline{A}$ 在 $X$ 中（即当且仅当 $A \subset \overline{B}$ ）。

由此可知，如果 $A, B, C$ 是 $X$ 的三个子集，使得 $A \supset B \supset C$ ，并且如果 $B$ 在 $A$ 中稠密，并且 $C$ 在 $B$ 中稠密，则 $C$ 在 $A$ 中稠密 (传递性 密度），因为 $X$ 中有 $\overline{A} = \overline{B} = \overline{C}$ 。

命题 2 0B17

设 $A$ 为拓扑空间 $X$ 的稠密子集；那么对于 $x$ 相对于 $A$ 的每个 $x \in A$ 和每个邻域 $V$ ， $X$ 中 $V$ 的闭包 $\overline{V}$ 是 $X$ 中 $x$ 的邻域。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 5, I § 1

被以下引用定理 4, X § 3

对于 $V$ 包含 $U \cap A$ ，其中 $U$ 是 $X$ 的开子集，其中包含 $x$ ，因此 $\overline{V}$ 包含 $U \cap \overline{A} = U$ （§ 1, no. 6，命题5)。

命题 3 0B18

令 $(A_i)_{i \in I}$ 为拓扑空间 $X$ 的子集族，使得以下性质成立之一： a) $A_i$ 盖 $X$ 的内部。 b) $(A_i)_{i \in I}$ 是 $X$ (§ 1, no. 5) 的局部有限闭覆盖。

引用了 2 · 被以下引用 6

引用了 I § 1. 营业集合、邻域、休息集合, 命题 4, I § 1

被以下引用注, 例, 命题 4, 命题 5, 命题 2, I § 5, 命题 11, I § 9

在这些条件下， $X$ 的子集 $B$ 在 $X$ 中打开（或关闭）当且仅当每个集合 $B \cap A_i$ 在 $A_i$ 中打开（或关闭）。

显然，如果 $B$ 在 $X$ 中开（或闭），则 $B \cap A_i$ 在 $A_i$ 中开（或闭）。反之，首先假设满足条件a)；由于 $(\complement B) \cap A_i = A_i - (B \cap A_i)$ ，根据对偶性，考虑每个 $B \cap A_i$ 相对于 $A_i$ 都是“开”的情况就足够了。在这种情况下，对于每个 $i \in I$ ， $B \cap \dot{A}_i$ 在 $\dot{A}_i$ 中开，因此在 $X$ 中开；从 $B = \bigcup_i (B \cap \dot{A}_i)$ 到假设， $B$ 在 $X$ 开放。

现在假设 b) 得到满足；再次通过对偶性，我们只需要考虑每个 $B \cap A_i$ 在 $A_i$ 中“闭合”，因此在 $X$ 中闭合的情况。由于族 $(B \cap A_i)$ 是局部有限的并且 $B = \bigcup_i (B \cap A_i)$ ，因此从§ 1, no. 5，命题4可以得出 $B$ 在 $X$ 中是封闭的。

注 0B19

令 $(U_i)_{i \in I}$ 为拓扑空间 $X$ 的*开放*覆盖，对于每个 $i \in I$ ，令 $\mathfrak{B}_i$ 为子空间 $U_i$ 的拓扑的*基*， $X$ ；那么很明显 $\mathfrak{B} = \bigcup_{i \in I} \mathfrak{B}_i$ 是 $X$ 的拓扑的*基*。

2. 子空间的连续性

Let $X$ and $Y$ be two topological spaces, $f$ a mapping of $X$ into $Y$ , $B$ a subset of $Y$ which contains $f(X)$ . 诱导的拓扑的定义作为初始拓扑（§ 2, no. 3，命题4）表明 $f$ 在 $x \in X$ 连续当且仅当 $X$ 的映射进入*子空间* $B$ $Y$ 与 $f$ 具有相同的图，在 $x$ 处连续。

Now let $A$ be a subset of $X$ ; if $f$ is continuous at $x \in A$ (resp. continuous on $X$ ), its restriction $f|A$ is a mapping of the subspace $A$ into $Y$ , which is continuous at $x$ (resp. continuous on $A$ ) by Proposition 2 of § 2, no. 1. We shall sometimes say that a mapping $f : X \to Y$ is continuous relative to $A$ at $x \in A$ (resp. continuous relative to $A$ ) if its restriction $f|A$ is continuous at $x$ (resp. continuous on $A$ ).

需要注意的是，在 $X$ 的任意一个点处， $f|A$ 可以连续而不需要 $f$ 连续；这种现象的例是由 $X$ 的子集 $A$ 的特征函数 $\varphi_A$ 提供的， $A$ 及其补集在 $X$ 中都是稠密的（ $§ 2$ ，习题11），将 $\varphi_A$ 视为 $X$ 的映射转化为离散的空间 $\{0, 1\}$ 。 $\varphi_A$ 在 $X$ 的任意一个点都不连续，但它的限制到 $A$ 是常数，因此是连续的。

如果 $A$ 在点 $x \in A$ 的 $X$ 中为邻域，并且如果 $f : X \to Y$ 使得 $f|A$ 在 $x$ 连续，则 $f$ 在 $x$ 连续；对于 $A$ 中 $x$ 的每个邻域是 $X$ 中 $x$ 的邻域（*局部*连续性特征标）。

命题 4 0B1A

设* $(A_i)_{i \in I}$ 是拓扑空间 $X$ 其内部覆盖 $X$ 的子集族，*或者是* $X$ 的局部有限封闭覆盖。让 $f$ *成为* $X$ *的映射*进入拓扑空间* $X'$ 。如果 $f$ *中的限制 对每个子空间 $A_i$ 是连续的，则 $f$ *是连续的。

引用了 1

引用了命题 3

因为如果 $F'$ 是 $X'$ 的闭子集并且如果 $F = \overline{f}(F')$ ，那么对于每个 $i \in I$ （ $§ 2$ ，no. 1，定理1）， $F \cap A_i$ 在 $A_i$ 中是闭的，因此 $F$ 于 $X$ 截止至命题 3 / no. 1；现在的结果来自定理 1 of $§ 2$ , no. 1。

3. 局部休息子空间

定义 2 0B1B

子集* $L$ 拓扑空间 $X$ 据说在点 $x \in L$ 如果存在邻域 $V$ of $x$ in $X$ 使得 $L \cap V$ *是子空间* $V$ 的闭子集。 L 据说在 $X$ 局部闭合 如果它在每个 $x \in L$ 局部闭合。

被以下引用 1

被以下引用命题 4, III § 2

注 0B1C

令 $F$ 为 $X$ 的子集，使得*对于每个点* $x$ of $X$ 有邻域 $V$ of $x$ 使得 $V \cap F$ 闭于子空间 $V$ ； 然后从命题 3 of no. 1 得出 $F$ 在 $X$ 结束。 另一方面，下面的命题5表明，一般情况下，存在局部封闭的集合，而在 $X$ 中并未封闭。

引用了 2

引用了命题 3, 命题 5

命题 5 0B1D

对于子集* $L$ 拓扑空间 $X$ ，*以下属性是等效的*：

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 3

被以下引用推论, 注

a) $L$ 在 $X$ 局部关闭。

b) $L$ 是开子集的交和 $X$ 的闭子集。

c) $L$ 在 $X$ 中的闭包 $\overline{L}$ 中打开。

如果 $L$ 是局部闭的，那么对于每个 $x \in L$ ， $X$ 中存在 $x$ 的开邻域 $V_x$ ，使得 $L \cap V_x$ 在 $V_x$ 中闭； $U = \bigcup_{x \in L} V_x$ 在 $X$ 打开，no. 1的命题 3表明 $L$ 在 $U$ 关闭；因此a) 意味着b)。如果 $L = U \cap F$ ，其中 $U$ 在 $X$ 打开且 $F$ 关闭，我们有 $L \subset F$ ；因此 $L \subset U \cap L \subset U \cap F = L$ ，这表明 $L = U \cap L$ 在 $L$ 中开，因此b）蕴含c）。最后，如果 $L = U \cap L$ ，其中 $U$ 在 $X$ 中开， $L$ 在 $U$ 中闭，因此是局部闭的，因此c）意味着a）。

推论 0B1E

设 $f : X \to X'$ 为连续映射， $L'$ 为 $X'$ 的局部闭子集；那么 $f^{-1}(L')$ 在 $X$ *中局部闭。

引用了 2

引用了定理 1, I § 2, 命题 5

这紧接着上面的命题 5 和§ 2, no. 1 的定理 1。

4. 商空间

定义 3 0B1F

设 $X$ 为空间， $R$ 等价关系在 $X$ 上。 $X$ 与 $R$ 的商空间是商集 $X/R$ 与拓扑的商，即 $X$ 拓扑与关系 $R$ 的商 (§ 2, no. 4, 例 1)*。

引用了 1

引用了命题 6, I § 2

除非相反，明确指出，每当我们将 $X/R$ 称为拓扑空间时，应理解我们指的是 $X$ 除以 $R$ 的商空间。我们经常说，这个拓扑空间是通过识别 $X$ 的点而获得的空间，其中属于与相同的等价类模 $R$ 。

令 $\varphi$ 为典范映射 $X \to X/R$ 。通过定义（§ 2, no. 4、命题 6 及其推论）， $X/R$ 中的开（或闭）集合为集合 $A$ ，使得 $\varphi^{-1}(A)$ 在 $X$ 中开（或闭）；在其他字中， $X/R$ 中的开路（或闭路）集合与 $X$ 的开路（或闭路）子集是一对一的对应，它们相对于 $R$ 饱和，并且是其中的典范像子集。

命题 6 0B1G

设 $X$ 为 $X$ 的 $X$ 、 $\varphi$ 典范映射到 $X/R$ 的拓扑空间、 $R$ 等价关系；那么 $X/R$ 的映射 $f$ 到拓扑空间 $Y$ 是连续的当且仅当 $f \circ \varphi$ 在 $X$ *上连续。

引用了 1 · 被以下引用 6

引用了命题 6, I § 2

被以下引用 § 3. 子空间；商空间, 例, 命题 14, III § 2, 命题 16, III § 2, 命题 21, III § 2, VII § 1. 子群和商群 $\mathbf{R}^n$

这是§ 2, no. 4、命题 6 的特例；它表达了这样一个事实：商拓扑是映射 $\varphi$ 的最终拓扑。

命题 6 显示 $X/R$ 到 $Y$ 的连续映射和 $X$ 到 $Y$ 的连续映射之间存在一对一的对应 在每个等价类模上都是恒定的 $R$ 。

例 0B1H

考虑实直线 $\mathbf{R}$ 上的等价关系 $x \equiv y \pmod{1}$ ；关系与 $\mathbf{R}$ 的商空间称为*一维环面*，并用 $T$ 表示。点 $x \in \mathbf{R}$ 的等价类由所有点 $x + n$ 组成，其中 $n$ 贯穿有理数整数的集合 $\mathbf{Z}$ 。到命题 6， $T$ 上的连续函数和 $\mathbf{R}$ 上的连续函数之间存在一对一的对应，它们是周期为1的*周期性*。我们将在章中回到这个重要的例 V, § 1.

引用了 2

引用了命题 6, V § 1. 子群和商群的 $\mathbf{R}$

推论 0B1I

设 $X, Y$ 为 $X$ （或 $Y$ ）上的两个拓扑空间、 $R$ （或 $S$ ）等价关系，并令 $f : X \to Y$ 为连续的映射，与等价关系 $R$ 和 $S$ （集合理论R，§ 5, no. 8）；那么由 $f$ （集合理论R，§ 5, no. 8）诱导的映射 $g : X/R \to Y/S$ 是连续的。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 I § 5. 开放映射关闭映射, E IV § 2. 态射和导出结构

被以下引用 VI § 3. 真实投影空间

这是商结构的一般性质的特殊情况（集合理论，章 IV, § 2, no. 6，标准 CST 20）。

命题 7（空间的商传递性） 0B1J

令 $R$ 和 $S$ 为拓扑空间 $X$ 上的两个等价关系，使得 $R$ 蕴含 $S$ ，并令 $S/R$ 为商上等价关系的商空间 $X/R$ （集合理论R，§ 5, no. 9）。那么规范的双射 $(X/R)/(S/R) \to X/S$ 是同胚。

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了 I § 5. 开放映射关闭映射, E IV § 2. 态射和导出结构, 命题 7, I § 2

被以下引用命题 21, III § 2, 推论 3, III § 4

这是最终拓扑传递性的特例（§ 2, no. 4、命题7。参见集合理论、章IV, § 2, no. 3、标准 CST 21）。

5. 连续映射的规范分解

令 $X$ 和 $Y$ 为两个拓扑空间， $f : X \to Y$ 在 $X$ 上连续的映射， $R$ 等价关系 $f(x) = f(y)$ 。考虑*规范的分解*

f : X \xrightarrow{\varphi} X/R \xrightarrow{g} f(X) \xrightarrow{\psi} Y

其中 $\varphi$ 是 $X$ 到商空间 $X/R$ 的规范（满射）映射， $\psi$ 是子空间 $f(X)$ 到 $Y$ 的典范嵌入， $g$ 是双射与 $f$ 相关（集合理论 R，§ 5, no. 3）。立即看出 $g$ 是连续的（通过no. 4的命题6）；这也是商结构的一般结果的特殊情况。（参见集合理论，章IV, § 2, no. 6）。但双射 $g$ 不一定是同胚。

命题 8 0B1K

令 $f = \psi \circ g \circ \varphi$ 为连续映射 $f : X \to Y$ 的规范分解，并令 $R$ 表示等价关系

f(x) = f(y).

那么下面三个条件是等价的： a)

g

是

X/R

到

f(X)

的同胚。 b) 相对于

R

饱和的每个开路集合的

f

下的像是子空间

f(X)

中的开路集合。 c) 每个相对于

R

饱和的闭集合在

f

下的像是子空间

f(X)

中的闭集合。

被以下引用 1

被以下引用命题 10

对于条件 b) [分别。 c)]表示 $X/R$ 中每个开（或闭）集合的 $g$ 下的像是 $f(X)$ 中的开（或闭）集合。

例 0B1L

令 $X$ 为拓扑空间， $(X_i)_{i \in I}$ 覆盖 $X$ ， $Y$ 和于子空间 $X_i$ 于 $X$ ；那么 $Y$ 有划分 $(Y_i)_{i \in I}$ 进入子空间，它们都是开闭的，并且对于每个 $i \in I$ 都有一个同胚 $f_i : Y_i \to X_i$ 。令 $f : Y \to X$ 为每个 $i \in I$ 在 $Y_i$ 上与 $f_i$ 一致的连续映射，并令 $R$ 为等价关系 $f(x) = f(y)$ ；因此，商空间 $Y/R$ 是通过“粘贴” $Y_i$ (§ 2, no. 5) 获得的。考虑双射 $g : Y/R \to X$ 与 $f$ 相关；一般来说， $g$ 不是同胚，如例所示，其中每个 $X_i$ 由单个点组成，而 $X$ 不是离散的。然而，如果 $X_i$ 的内部覆盖 $X$ ，或者如果 $(X_i)$ 是 $X$ 的局部有限闭覆盖，则 $g$ 是同胚：因为如果 $U$ 是 $Y$ 的任何开子集，且相对于饱和 $R$ ，则对于每个 $i \in I$ 集合

f(U) \cap X_i = f_i(U \cap Y_i)

X_i

开放，断言是从no. 1的命题3开始。

下面的命题给出了一个简单的足够的条件，使 $g$ 成为同胚：

引用了 2

引用了 I § 2. 连续函数, 命题 3

命题 9 0B1M

令 $f : X \to Y$ 为连续射影，令 $R$ 表示等价关系 $f(x) = f(y)$ 。如果存在与 $f$ 关联的连续截面 $s : Y \to X$ （集合理论，章II, § 3, no. 8，定义11），则与 $f$ 关联的映射 $g : X/R \to Y$ 是同胚，并且 $s$ 是 $Y$ 到 $X$ 的子空间 $s(Y)$ 的同胚。

引用了 3

引用了定义 11, E II § 3, E II § 6. 等价关系, 习题 12, § 3

因为如果 $\varphi : X \to X/R$ 是典范映射，那么 $g$ 和 $\varphi \circ s$ 是双射、连续且互逆的；同样， $f$ 到 $s(Y)$ 的 $s$ 和限制是双射、连续且互逆的。

如果在拓扑空间 $X$ 上 $R$ 是等价关系并且

\varphi : X \to X/R

是典范映射，与

\varphi

6. 子空间的商空间

令 $X$ 为 $X$ 、 $R$ 等价关系在 $X$ 、 $f$ 规范映射 $X \to X/R$ 上的拓扑空间、 $A$ 子空间， $g$ 限制共 $f$ 至 $A$ 。 $A$ 上的等价关系 $g(x) = g(y)$ 只是由 $A$ 上的 $R$ *诱发*的关系 $R_A$ （*集合理论* R，§ 5, no. 5）。令 $g = \psi \circ h \circ \varphi$ 为 $g$ 的规范分解，这样，如果 $j$ 是 $A$ 的典范嵌入到 $X$ ，我们就有一个可交换的图表 (*)

\begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\varphi} & A/R_A \xrightarrow{h} f(A) \xrightarrow{\psi} X/R. \\ & & \\ & \searrow_j & \nearrow_s \\ & & X \end{array}

命题 10 0B1N

规范双射* $h : A/R_A \to f(A)$ 是连续的。 此外，以下三个叙述是等价的：

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了命题 8

被以下引用推论 2, 命题 21, III § 2, 引理 1, VI § 3, 定义 1, VIII § 4, 习题 3, § 4

a) $h$ 是同胚。

b) * * $A$ * 的每个开路子集 * 相对于 * $R_A$ * 是交和 * $A$ * 的开路子集 * $X$ * 相对于* $R$ 饱和。

c) * * $A$ * 的每个闭子集 * 相对于 * $R_A$ * 是交和 * $A$ * 的闭子集的 * $X$ * 相对于 * $R$ 饱和。

命题的第一个部分是直接的 (no. 5)。第二个部分源自no. 5的命题8：如果 $B$ 是 $A$ 的开（或闭）子集，相对于 $R_A$ 饱和，并且 $g(B) = f(B)$ 是交且 $f(A)$ 是 $X/R$ 的开（或闭）子集 $C$ ，则 $B$ 为交，开（或闭）子集 $f^{-1}(C)$ $A$

(*) 该表达式的意思是 $f \circ j = \psi \circ h \circ \varphi$ 。

X，其相对于R是饱和的；相反，如果 B 是交，A 是开（或闭）子集 D，且相对于 R 饱和，则 $f(B)$ 是 $f(A)$ 和 $f(D)$ 的交，其在 $X/R$ 中开（或闭）。

推论 1 0B1O

如果 A 是 X 的开（或闭）子集，且相对于 R 饱和，则典范映射 $h : A/R_A \to f(A)$ 是同胚。

如果 A 在 X 中开（或闭）且相对于 R 饱和，并且如果 $B \subset A$ 在 A 中开（或闭）且相对于 $R_A$ 饱和，则 B 在 X 中开（或闭）且相对于 R 饱和。

推论 2 0B1P

如果存在连续的映射 $u : X \to A$ ，使得 $u(x)$ 对于每个 $x \in X$ 与 $x$ mod R全等，则 $f(A) = X/R$ 和典范映射 $h : A/R_A \to X/R$ 是同胚。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了定理 1, I § 2, 命题 10

被以下引用引理 2, VI § 3

由于每个等价类 mod R满足A， $X/R$ 中 $A/R_A$ 的典范像是 $X/R$ 的整体；另一方面，如果U在A中开路，并且对于 $R_A$ 是饱和的，则从假设可以得出， $\bar{u}^1(U)$ 是通过使U对于R饱和而获得的集合；由于 $u$ 是连续的， $\bar{u}^1(U)$ 在 X (§ 2, no. 1, 定理 1) 中开。根据命题 10 从这一事实得出推论。

例 0B1Q

令R表示实直线 $\mathbf{R}$ （no. 4，例）上的等价关系 $x \equiv y \pmod{1}$ ，并令A表示闭区间 $[0, 1]$ ；每个等价类 mod R 中的包含至少有一个点。 $A/R_A$ 的典范映射到环面 T 上是同胚；因为如果 F 在 A 中闭（因此在 R 中），在阶中要使 F 相对于关系 R 饱和，我们必须取闭集合 $F + n$ （对于所有 $n \in \mathbf{Z}$ ）的并，这显然是形式一个局部有限族，因此它们的并关闭（§ 1, no. 5、命题 4）；由此得出断言。我们注通过识别A中的点0和1得到 $A/R_A$ 。\

引用了 1

引用了命题 4, I § 1

习题

参见习题为 § 3。