Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。
6. 等价关系
在原理中，今后不再使用粗体斜体字母来表示未确定的组合；读者将能够从上下文中轻松辨别断言适用于未确定的字母或关系。
1. 定义等价关系
令R{x,y}为关系，x和y是不同的字母。 关系 R 被认为是*对称*（相对于字母 x 和 y）如果
R{x,y}⇒R{y,x}.
如果是这样，用两个字母x′和y′代替x和y，这两个字母彼此不同，并且与R中出现的所有字母不同，然后用y和x代替x′和y′，分别，我们看到
R{y,x}⇒R{x,y}.
因此R{x,y}和R{y,x}是等价的。
¶ 令z 为R 中未出现的字母。 关系 R 被认为是*及物*（相对于字母 x,y）如果我们有
(R{x,y} and R{y,z})⇒R{x,z}.
关系 x=y 是对称且传递的。 关系 X⊂Y 是传递性的，但不对称。 关系 X∩Y=∅ 对称但不传递。
如果 R{x,y} 既对称又传递，则称为 等价关系 （相对于字母 x 和 y）。在这种情况下，记号x≡y(modR)是有时用作R{x,y}的同义词；它被读作“x 等于 y modulo R”。如果R是等价关系，我们有R{x,y}⇒(R{x,x}和R{y,y})，因为R{x,y}隐含R{y,x}，而(R{x,y}和R{y,x})凭借定义隐含(R{x,x}和R{y,y})。
¶ 令 R{x,y} 为关系；如果关系 R{x,x} 等于 x∈E，则可以说它是*E（相对于字母x,y）的自反。如果E没有任何可能的歧义，人们可以滥用语言简单地说R是反身的。
¶ * E 上的 *等价关系被定义为等价关系，它在 E 上自反。如果R{x,y}是E上的等价关系，我们有R{x,y}⇒((x,y)∈E×E)，因而R有一个图（相对于字母x,y）。相反，假设等价关系 R{x,y} 有一个图 G。观察关系R{x,x}相当于关系(∃y)R{x,y}；因为前者意味着后者（章 I, § 4, no. 2、概形 S5），反之，由于R{x,y}意味着R{x,x}，(∃y)R{x,y}意味着(∃y)R{x,x}，因此也意味着R{x,x}。因而 R{x,x} 等价于 x∈pr1G，因而 R 在 pr1G 上是等价关系。
¶ 集合 E 上的 等价 是对应，其源和目标都等于 E，并且其图 F 使得关系 (x,y)∈F 是 E 上的等价关系。
例
引用了 1
引用了 I § 4. 量化理论
关系 x=y 是等价关系，它没有图表，因为如果有的话，该图表的第一个投影将是所有对象中的集合。
关系“x=y和x∈E”是E上的等价关系，其图形是E×E的对角线。
关系“x∈E和y∈E”是E上的等价关系，其图为E×E。
假设A⊂E；然后关系
(x∈E−A and y=x) or (x∈A and y∈A)
是 E 上的等价关系。
\* 关系“x∈Z和y∈Z和x−y能被4整除”是等价关系在Z上。\
对应* Γ 在 X 和 X 之间等价在 X 当且仅当它满足以下条件 : (a) X 是的域 Γ； (b) Γ=Γ−1； (c) Γ∘Γ=Γ。 令Γ为X和X之间的对应，并令G为其图。如果Γ在X上是等价，则(x,x)∈G对于所有x∈X；因此X是Γ的域。 关系 (x,y)∈G 相当于 (y,x)∈G，因此相当于 (x,y)∈G−1，因而 G=G−1 以及Γ=Γ−1。 关系(x,y)∈G和(y,z)∈G暗示(x,z)∈G，因而G∘G⊂G；相反，(x,y)∈G意味着(x,x)∈G，因此意味着(x,y)∈G∘G，因而G⊂G∘G；因而G=G∘G，因而Γ=Γ∘Γ。 ¶ 相反，假设满足条件 (a)、(b) 和 (c)。 关系 (x,y)∈G 是对称的（根据 (b)）且传递（根据 (c)）；因此它是等价关系，并且通过(a)它是X上的等价关系。
被以下引用 1
被以下引用 § 6. 等价关系
2. 等价类; 商集
令 f 为函数，E 为域，F 为图。 关系“x∈E和y∈E和f(x)=f(y)”是E上的等价关系，称为等价关系*与f*相关。它相当于关系(∃z)((x,z)∈F和(y,z)∈F)，即(∃z)((x,z)∈F和(z,y)∈F−1)，因此它的图是F−1∘F。
¶ 我们现在将证明集合 E 上的每个等价关系 R 都属于这个型。设G为R的图。对于每个x∈E，（非空）集合G(x)⊂E被称为x相对于*R的*等价类；因此，它是所有y∈E中的集合，使得R{x,y}。对于某些x∈E，每个可以写为G(x)的集合称为等价类（相对于R）。 等价类的元素被称为这个类的*代表元*。 等价类相对于R的集合（即，对于某些x∈E，形式G(x)的所有对象的集合）被称为E的*商集* R 并用E/R 表示。 映射 x→G(x) (x∈E)，域为E，目标为E/R，称为E到E/R的*典范映射*。
C55。 让R*成为集合*E上的等价关系，*并让p成为*E*上的典范映射*E/R。 然后
R{x,y}⇔(p(x)=p(y)).
对于上面的记号，令x和y为元素除以E，使得
(x,y)∈G.
然后x∈E和y∈E；让我们证明G(x)=G(y)。从 y∈G(x) 开始，我们有 (命题 1) G(y)⊂(G∘G)(x)=G(x)。另一方面，我们还有 (y,x)∈G、从而 G(x)⊂G(y)，因此
G(x)=G(y),
即p(x)=p(y)。相反，如果G(x)=G(y)，我们有y∈G(y)=G(x)，所以(x,y)∈G。这样就完成了证明。
¶ 典范映射 p E 到E/R (§ 3, no. 8, 定义 11) 的截面更简单地称为E 的*截面*（相对于关系 R）。
例
令R为等价关系“x∈E和y∈E和x=y”在集合E上。 x∈E的等价类则为集合{x}，E的典范映射x→{x}到E/R是双射的。
令E、F为两个集合，并令R为与E×F的映射pr1相关联的E×F到E上的等价关系。 等价类相对于R是形式{x}×F中的集合，其中x∈E； 映射 x→{x}×F 是 E 的双射到 (E×F)/R。
令集合 E 上的 R 为等价关系。 商集E/R是P(E)的子集，E/R的恒等映射是E(§ 4, no. 7)的*划分*；因为如果G是R的图，对于所有x∈E我们有x∈G(x)，如果两个等价类G(x)和G(y)有公共的元素z，那么R{x, z}和R{y, z}，所以G(x)=G(y)。此外，关系
(∃X)(X∈E/R and x∈X and y∈X)
相当于R{x, y}。
¶ 相反，令(Xι)ι∈I为集合E的划分。立即验证关系(∃ι)(ι∈I和x∈Xι和y∈Yι)为E上的等价关系R； 等价类相对于R正好是划分的集合Xι，而映射ι→Xι在E/R上是I的双射。 E 的每个子集 S，对于每个 ι∈I，集合 S∩Xι 都由单个元素组成，称为等价类相对于 R 的 系统代表（或 横向）。该名称也用于表示任何单射将集合 K代入E，使得该单射下的K的像是关于R的等价类代表的系统；对于例，E 的任何 截面 相对于 R。
引用了 1
引用了 II § 4. 集合家庭的并和交
3. 关系与等价关系兼容
令R{x, x′}为等价关系，令P{x}为关系。 关系 P{x} 据说与等价关系* R{x, x′}（相对于x）*相容的，如果我们有
(P{x} and R{x, y})⇒P{y},
其中y表示既不在P也不在R中出现的字母。
对于例，从 C43 (章 I, §5)、no. 1) 可以得出，每个关系 P{x} 都与等价关系 x=x′ 相容的。
C56。 让 R{x, x′} 在集合 E 上成为等价关系，*并让* P{x} 成为关系，它不是包含字母 x′ 并且与等价关系相容的（相对于* x*） R{x, x′}。 那么，如果t*没有出现在*P{x}，*关系“t∈E/R和*(∃x)(x∈t*和*P{x})*”相当于关系“t∈E/R和*(∀x)((x∈t)⇒P{x})*”。*
让t∈E/R。如果存在a∈t使得P{a}，那么对于每个x∈t我们有R{a, x}，因此有P{x}。因此(∃x)(x∈t和P{x})意味着(∀x)((x∈t)⇒P{x})。 逆命题是显而易见的，因为 t∈E/R 意味着 t=∅。
¶ 关系
t∈E/R and (∃x)(x∈t and P{x})
据说是由*P{x}*在经过上与R的商*（相对于x）引起。如果这个关系由P′{t}表示，并且如果f是E在E/R上的典范映射，则关系
y∈E and P′{f(y)}
（其中 y 未出现在 P{x} 中）与（y∈E 和 P{y}）“等效”，已立即验证。
4. 饱和子集
令R{x,y}为集合E上的等价关系，并令A为E的子集。如果关系x∈A与R{x,y}相容的（相对于x），则称A相对于*R是*饱和的；或者，等效地，如果*对于x的每个x∈A等价类都包含在*A中。在其他字中，集合相对于R饱和当且仅当它是等价类的集合的*并相对于*R。
¶ 令 f 为 E 到 E/R 的典范映射。如果 A 相对于 R 是饱和的，则每个 x∈A 的等价类（等于f−1⟨{f(x)}⟩）包含在 A 中，因此f−1⟨f⟨A⟩⟩⊂A；因为无论如何我们都有A⊂f−1⟨f⟨A⟩⟩，所以随之而来的是f−1⟨f⟨A⟩⟩=A。相反，如果A=f−1⟨f⟨A⟩⟩，则对于x的每个x∈A等价类K=f(x)，相对于R来说，是f⟨A⟩的元素；从 K=f−1⟨{K}⟩ 开始，我们就有了 K⊂f−1⟨f⟨A⟩⟩=A。因此，相对于 R 饱和的 E 的子集恰好是 E 的子集 A，使得 A=f−1⟨f⟨A⟩⟩。等价地，它们是形式f−1⟨B⟩的E的子集，其中B⊂E/R；对于关系A=f−1⟨B⟩意味着B=f⟨A⟩，因此A=f−1⟨f⟨A⟩⟩。
¶ 如果 (Xι)ι∈I 是 E 的饱和子集族，则集合 ⋃ι∈IXι 和 ⋂ι∈IXι 饱和（§4、命题 3 和 4）。如果 A 是 E 的饱和子集，则 ∁EA (§4，命题 6) 也是如此。
¶ 现在设 A 为 E 的任意子集。则集合 f−1⟨f⟨A⟩⟩ 包含于 A 且饱和。相反，如果 A′ 是 E 的饱和子集，其中包含 A，则我们有 f⟨A′⟩⊃f⟨A⟩，因此
A′=f−1⟨f⟨A′⟩⟩⊃f−1⟨f⟨A⟩⟩.
因此，我们可以说f−1⟨f⟨A⟩⟩是E的“最小的”饱和子集，其中包含A（cf.章III）；这个集合被称为A相对于关系R的*饱和度*。可以立即看出，A的饱和度是A的元素的等价类的并。如果(Xι)ι∈I是E的子集族，并且如果Aι是Xι相对于R，则⋃ι∈IXι的饱和度为⋃ι∈IAι（§4，命题3）。
5. 映射兼容等价关系
设 R 为集合 E 上的等价关系，并令 f 为函数，且域 E。则如果关系 y=f(x) 相容的（相对于 x），则称 f 与关系* R *兼容关系R{x, x′}。
¶ 说 f 的限制到每个等价类是一个常数映射也是同样的事情，在这种情况下，我们说 f 对于每个等价类相对于 R 来说是常数。如果 g 是 E 到 E/R 上的典范映射，则等价叙述是关系g(x)=g(x′)隐含f(x)=f(x′)；因此 (§3, 命题 9) 我们有以下标准：
C57。 令 R 为集合 E 上的等价关系，*并让g 为* E 到 E/R 上的典范映射。 则映射 f of E into F * 与* R 兼容当且仅当 f 可以放入形式 h ∘ g 中，其中 h 是映射 of E/R into F。 映射 h 由 f 唯一确定；如果 s 是 g 的任意截面，则我们有 h =f∘s。
映射 h 据说是由 f 在经过上*导出关于 R 的商*。
¶ 设 f 为集合 E 的映射到集合 F，并设 A=f⟨E⟩⊂F。令 R 为等价关系与 f (no. 2) 相关联；显然，f 与 R 相容的。此外，f 在经过上引发的映射 h 的商是 E/R 到 F 的 单射：因为如果 t、t′ 相对于 R 是等价类，使得h(t)=h(t′)，对于所有x∈t和x′∈t′，我们有f(x)=f(x′)，这意味着t=t′除以R的定义。令k为E/R的映射到A，其与h具有相同的图；那么 k 是*双射的*。如果j是A到F的典范嵌入，并且如果g是E到E/R的典范映射，那么我们可以写
f=j∘k∘g.
这个关系被称为f*的*规范分解。
¶ 令f为集合E的映射到集合F，令R为E上的等价关系，并令S为F上的等价关系。令u为E到E/R的典范映射，并令v为F 的典范映射到F/S。如果 v∘f 与 R 相容的，则映射 f 据说与等价关系* R 和 S 相容的；这意味着关系 x≡x′ (mod R) 意味着 f(x)≡f(x′) (mod S)。将E/R的映射h代入F/S，由v∘f在经过上引出，与R的商，则称为*映射，由f在经过上引出，与尊重R和S*；其特点是关系v∘f=h∘u。
6. 逆像等价关系；诱导等价关系
设φ为集合E的映射到集合F，并令S为F上的等价关系。 If u is the canonical mapping of F onto F/S, the equivalence relation associated with the mapping u∘φ of E into F/S is called the inverse image of S under φ; if R is this relation, R{x,y} is equivalent to S{φ(x),φ(y)}, and the equivalence classes with respect to R are the inverse images under φ of the equivalence classes with respect to S which meet φ⟨E⟩.
¶ 特别地，考虑集合E上的等价关系R，并令A为E的子集；那么A的单射j下的R到E的逆像被称为A上的R*诱导*等价关系，并记为RA。
¶ 等价类相对于RA 是等价类的A 上相对于R 与A 相交的*迹*。 单射的j显然与关系RA和R相容的； A/RA的映射h到E/R由j在经过上引出关于RA和R的商是A/RA的*单射的*映射到E/R：如果f（或g）是E到E/R（或A到A/RA）的典范映射，则关系h(g(x))=h(g(x′))，其中x∈A 和 x′∈A 等价于 f(x)=f(x′)，因此也等价于 g(x)=g(x′)。 像h⟨A/RA⟩等于f⟨A⟩。如果k是A/RA到f⟨A⟩的双射映射，并且与h具有相同的图，则k及其逆被称为*规范*。
7. 等价关系的商
令R、S是关于两个字母x、y的两个等价关系。如果关系 S⇒R为真，我们可以说S比R*更细*（或者R比S*粗糙*）。如果R和S是等价关系在同一个集合E上，叙述S比更细比R意味着S的图包含在R，或者再次，关于S的每个等价类都包含在关于R的等价类中；或者，等价地，关于R的每个等价类对于S都是饱和的。
例
关系“x∈E和y∈E和x=y”比E上的每个等价关系为更细。关系“x∈E和y∈E”比E上的每个等价关系更粗糙。
\* 等价关系“x∈Z和y∈Z和x−y可以被4整除”是更细比等价关系“x∈Z和y∈Z和x−y可以被2整除”。 \
令R和S为同一集合E上的两个等价关系，使得S比R更细。令f和g分别为E到E/R和E到E/S的典范映射；则函数 f 与 S 相容。令 h 为函数由 f 在经过上导出关于 S 的商；那么h是E/S到E/R的映射。 E/S 上与 h 相关的等价关系称为 *R 除 S 的商，并用 R/S 表示。 关系x≡y(modR)等价于g(x)≡g(y)(modR/S)，等价类相对于R/S是像低于等价类相对于R的g。令h=j∘h2∘h1为规范的分解（no. 5） 映射h。那么h1是E/S到(E/S)/(R/S)的典范映射，j是E/R的恒等映射，h2是(E/S)/(R/S)到E/R的一对一映射。 映射 h2 及其逆被认为是*规范*。
¶ 相反，考虑集合 E/S 上的任意等价关系 T，并令 R 为 E 上的等价关系，即关系 T (no. 6) 的g 下的逆像。由于关系x≡y(modR)等价于g(x)≡g(y)(modT)，因此T等价于R/S。
8. 乘积两个等价关系
令R{x,y}和R′{x′,y′}为两个等价关系。让 S{u,v} 表示关系
(∃x)(∃y)(∃x′)(∃y′)(u=(x,x′) and v=(y,y′) and R{x,y} and R′{x′,y′});
立即验证S{u,v}为等价关系，称为R和R'的*乘积*，记为R×R′。假设 R 是集合 E 上的等价关系，R' 是集合 E' 上的等价关系。那么关系 S{u,u} 相当于
(∃x)(∃x′)(u=(x,x′) and R{x,x} and R′{x′,x′})
即，到(∃x)(∃x′)(u=(x,x′)、x∈E和x′∈E′)，因此到u∈E×E′。由此可见，R×R′ 是E×E′ 上的等价关系。如果
u=(x,x′)
是 E×E′ 的元素，关系 S{u,v} 相当于
(∃y)(∃y′)(v=(y,y′) and R{x,y} and R′{x′,y′});
如果G和G′分别是R和R′的图，那么这个关系又相当于v∈G(x)×G(x′)。因此*每个等价类相对于*R×R′*是等价类的乘积相对于*R*和等价类相对于*R′，*反之亦然。*
¶ 令f和f′分别为E的典范映射到E/R和E′到E′/R′，并令f×f′为f和f′的规范扩张到乘积集合（§ 3, no. 9）。然后 (f×f′)(x,x′)=(f(x),f′(x′)) 代表所有 (x,x′)∈E×E′。 (E/R)×(E′/R′)的元素(u,u′)f×f′下的逆像相对于R和等价类正好是等价类u乘积u×u′ u′相对于R′。由此可见，与 f×f′ 关联的等价关系相当于 R×R′。因此映射f×f′可以写成h∘g，其中g是E×E′的典范映射到
(E×E′)/(R×R′)
并且 h 是 (E×E′)/(R×R′) 的一对一映射到
(E/R)×(E′/R′);
这个映射 h 及其逆据说是*典范的*。
9. 等价对象类
令 R{x,y} 为等价关系，无需图表。显然，如果x、x′、y是三个不同的字母，则关系R{x,x′}意味着“R{x,y}⟺R{x′,y}”，因此也意味着关系(∀y)(R{x,y}⟺R{x′,y})。由概形 S7 (章 I, § 5, no. 1)，如果我们放入 θ{x}=τy(R{x,y})，关系 R{x,x′} 意味着
θ{x}=θ{x′}.
另一方面，注，定义R{x,θ{x}}等于关系(∃y)(R{x,y})，因而（no. 1）等于R{x,x}。由此可见，关系(R{x,x}、R{x′,x′}和θ{x}=θ{x′})“等价”于R{x,x′}，因为这意味着，通过 S6 (章I, §5, no. 1)，关系
(R{x,x} and R{x′,x′} and (R{x′,θ{x}}⇔R{x′,θ{x′}})),
因此还有(R{x,θ{x}}和R{x′,θ{x}})，最后通过传递性和对称性得到R{x,x′}。相反，由于R{x,x′}蕴含R{x,x}和R{x′,x′}，因此断言得到证明。 项θ{x}称为对象的*类等价于x*（相对于关系R）。
¶ 现在假设 T 是项使得关系
(1)
(∀y)(R{y,y}⇒(∃x)(x∈T and R{x,y}))
是真的。那么关系(∃x)(R{x,x}和z=θ{x})在z*中是*集合化。因为我们可以假设x∈T意味着R{x,x}；将所有 x∈T 中的替换 T 乘以集合就足够了，从而得到 R{x,x}（R{x,y} 意味着R{x,x} 的注意到）。令Θ为x∈T（§1, no. 6）的形式θ{x}的所有对象中的集合。假设R{y,y}为真；那么存在x∈T使得R{x,y}因此存在θ{y}=θ{x}∈Θ。 集合Θ相对于R称为等价对象类*的*集合；对于每个x，使得R{x,x}，θ{x}是*唯一*元素z∈Θ，使得R{x,z}。
在相同的假设下，令A{x}为项，使得R{x,y}蕴涵A{x}=A{y}。那么关系(∃x)(R{x,x}和z={x})是z中的集合化，因为R{x,x}等价于R{x,θ{x}}，意味着A{x}=A{θ{x}}，因此如果E是对象的集合形式 A{t} 代表 t∈Θ，则 R{x,x} 意味着 A{x}∈E。如果f是函数t→A{t}(t∈Θ,A{t}∈E)，那么关系R{x,x}意味着A{x}=f(θ{x})。
特别是，如果 R 是等价关系 在集合 F 上，我们可以将 A{x} 视为 x 相对于* R (no. 2) 的 *等价类，而函数 f 则是Θ 上的 双射 商集前/后；这证明了引入术语的合理性。
\* 例。设R{x,y}为等价关系“x和y是相同有限维在C上的两个向量空间”；这个关系没有图表。当T是C(N)的所有向量子空间中的集合时，或者当T的子集T'由空间Cn(n∈N)组成且C0组成的约定时，它满足条件(1) C(N)的点 0，并且Cn(n>0)是直和C(N)的前n分量的和。有了第二个选择，我们就有了Θ=T′。\*
习题
参见习题为 § 6。