Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

4. 集合家庭的并和交

1. 并的定义和集合家庭的交

让X是一个家庭（§3, no. 4），I是指标集合。为了帮助直观地解释以下内容，我们将X称为*集合*家族。如果(X,I,G)(\mathrm{X}, \mathrm{I}, \mathfrak{G})是集合* E的子集的*族（即，目标G\mathfrak{G}使得关系Y∈G\mathrm{Y} \in \mathfrak{G}暗示Y⊂E\mathrm{Y} \subset \mathrm{E}的族），我们将用(Xι)ι∈I(Xι∈G)(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}(\mathrm{X}_\iota \in \mathfrak{G})或简单地用(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}来表示该族（§3, no. 6）；通过滥用记号，我们将用(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}来表示任何集合的家族，其中I作为其指标集合。

¶ 由于关系 (∀x)((ι∈I(\forall x)((\iota \in \mathrm{I} 和 x∈Xι)⇒(x∈Xι))x \in \mathrm{X}_\iota) \Rightarrow (x \in \mathrm{X}_\iota)) 为真，因此从 S5 (章 I, §4，无 2。) 关系

(∀ι)(∃Z)(∀x)((ι∈I and x∈Xι)⇒(x∈Z))(\forall \iota)(\exists \mathrm{Z})(\forall x)((\iota \in \mathrm{I} \text{ and } x \in \mathrm{X}_\iota) \Rightarrow (x \in \mathrm{Z}))

是真的。凭借概形 S8 (§1, no. 6) 关系 (∃ι)(ι∈I(\exists \iota)(\iota \in \mathrm{I} 和x∈Xι)x \in \mathrm{X}_\iota) 是xx* 中的*集合化。

定义 1 03I1

令(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}为集合*的家族（分别为*集合* E的子集家族）。 集合Ex((∃ι)(ι∈I\mathscr{E}_x((\exists \iota)(\iota \in \mathrm{I}和x∈Xι))x \in \mathrm{X}_\iota))，也就是说，所有xx中的集合*其中属于到家庭(Xl)l∈I(X_l)_{l\in I}中至少一个集合，被称为家庭的并，并表示为*

⋃l∈IXl,\bigcup_{l\in I}X_l,
[^1]

如果(Xl)l∈I(X_l)_{l\in I}是集合EE的子集族，那么它的并就是EE的子集；请注意，它不依赖于 EE，也不依赖于映射 l→Xll\to X_l 的目标 G\mathfrak{G}。

很明显，如果I=∅I=\varnothing，我们有⋃l∈IXl=∅\displaystyle\bigcup_{l\in I}X_l=\varnothing，因为关系(∃l)(l∈I and x∈Xl)(\exists l)(l\in I\text{ and }x\in X_l)则为假。

¶ 现在假设 I≠∅I\neq\varnothing。如果α\alpha是II中的元素，则关系

(∀l)((l∈I)⟹(x∈Xl)) (\forall l)((l\in I)\Longrightarrow(x\in X_l))
意味着x∈Xαx\in X_\alpha，因此，根据 C52 (§1, no. 6)，这个关系是xx中的*集合化。

引用了 1

引用了 II § 1. 集合化关系

定义 2 03PT

令(Xl)l∈I(X_l)_{l\in I}为集合的一个族，其指标集合II不为空。 集合 Ex((∀l)((l∈I)⟹(x∈Xl)))\mathscr{E}_x((\forall l)((l\in I)\Longrightarrow(x\in X_l)))，也就是说，所有xx中的集合，其中属于到家庭(Xl)l∈I(X_l)_{l\in I}的每个集合，称为家庭的交，并用*表示

⋂l∈IXl.\bigcap_{l\in I}X_l.

引用了 1

引用了 II § 1. 集合化关系

如果I=∅I=\varnothing，关系(∀l)((l∈I)⟹(x∈Xl))(\forall l)((l\in I)\Longrightarrow(x\in X_l))不是xx中的集合化；因为它是一个真正的关系，并且不存在集合YY使得x∈Yx\in Y是一个真正的关系，因为YY将是所有对象中的集合（cf.§1, no. 7， 注）。

如果(Xl)l∈I(X_l)_{l\in I}是集合EE的子集族，并且如果I≠∅I\neq\varnothing，关系“x∈Ex\in E和(∀l)((l∈I)⟹(x∈Xl))(\forall l)((l\in I)\Longrightarrow(x\in X_l))”相当于

(∀l)((l∈I)⟹(x∈Xl)); (\forall l)((l\in I)\Longrightarrow(x\in X_l));
因此它是xx中的集合化，以及所有xx中的集合，其中满足这个关系等于⋂l∈IXl\displaystyle\bigcap_{l\in I}X_l。如果I=∅I=\varnothing、关系“x∈Ex\in E和(∀l)((l∈I)⟹(x∈Xl))(\forall l)((l\in I)\Longrightarrow(x\in X_l))”等价于x∈Ex\in E；因而，xx中有集合化，所有xx中的集合，其中满足这个关系是EE。因此我们可以声明以下定义：

定义 3 03PU

设(Xl)l∈I(X_l)_{l\in I}是子集和集合EE的一个家庭。 集合*

Ex(x∈E and (∀l)((l∈I)⟹(x∈Xl))),\mathscr{E}_x\left(x\in E\text{ and }(\forall l)((l\in I)\Longrightarrow(x\in X_l))\right),

在所有xx中的其他字、集合，其中属于到 E 以及每个集合 XιX_\iota，*被称为家族的交，并用*⋂ι∈IXι\bigcap\limits_{\iota \in I} X_\iota表示。

因而，对于 E 的 (Xι)ι∈∅(X_\iota)_{\iota \in \emptyset} 子集族，我们有

⋂ι∈∅Xι=E.\bigcap_{\iota \in \emptyset} X_\iota = E.

但对于E的子集的(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}族，其指标集合不为空，交⋂ι∈IXι\bigcap\limits_{\iota \in I} X_\iota既不依赖于E，也不依赖于ι→Xι\iota \rightarrow X_\iota的目标；这证明了在定义 2 和 3 中使用相同的记号是合理的。

命题 1 03PV

设*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}*为集合的一个家庭，并让ff为集合*K的映射*I。 *然后

被以下引用 5

被以下引用 定义 4, 推论, 推论, II § 5, 命题 4, II § 5, Proposition 5, III § 3

⋃ϰ∈KXf(ϰ)=⋃ι∈IXι,\bigcup_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)} = \bigcup_{\iota \in I} X_\iota,

并且，如果I≠∅I \neq \emptyset，

⋂ϰ∈KXf(ϰ)=⋂ι∈IXι.\bigcap_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)} = \bigcap_{\iota \in I} X_\iota.

设xx为⋂ι∈IXι\bigcap\limits_{\iota \in I} X_\iota的元素。存在指标ι∈I\iota \in I使得x∈Xιx \in X_\iota。由于f⟨K⟩=If\langle K \rangle = I，存在指标ϰ∈K\varkappa \in K使得ι=f(ϰ)\iota = f(\varkappa)，从而x∈Xf(ϰ)x \in X_{f(\varkappa)}因而

x∈⋃ϰ∈KXf(ϰ).x \in \bigcup_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)}.

相反，如果x∈⋃ϰ∈KXf(ϰ)x \in \bigcup\limits_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)}，则存在ϰ∈K\varkappa \in K使得x∈Xf(ϰ)x \in X_{f(\varkappa)}，因而，从f(ϰ)∈If(\varkappa) \in I开始，x∈⋃ι∈IXιx \in \bigcup\limits_{\iota \in I} X_\iota。因而

⋃ϰ∈KXf(ϰ)=⋃ι∈IXι.\bigcup_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)} = \bigcup_{\iota \in I} X_\iota.

¶ 现在假设 I≠∅I \neq \emptyset，并令 xx 为 ⋂ι∈IXι\bigcap\limits_{\iota \in I} X_\iota 的元素。对于 K 的每个元素 ϰ\varkappa，我们有 f(ϰ)∈If(\varkappa) \in I，因此有 x∈Xf(ϰ)x \in X_{f(\varkappa)}，因而

x∈⋂ϰ∈KXf(ϰ).x \in \bigcap_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)}.

相反，令xx为⋂ϰ∈KXf(ϰ)\bigcap\limits_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)}的元素。如果ι\iota是I中的任意元素，则存在K的元素ϰ\varkappa，使得ι=f(ϰ)\iota = f(\varkappa)、从而x∈Xιx \in X_\iota，因而x∈⋂ι∈IXιx \in \bigcap_{\iota \in I} X_\iota。因而

⋂ϰ∈KXf(ϰ)=⋂ι∈IXι.\bigcap_{\varkappa \in K} X_{f(\varkappa)} = \bigcap_{\iota \in I} X_\iota.

对于给定集合的子集的家庭，很明显，命题 1 的第二个部分在没有限制 I≠∅I \neq \emptyset 的情况下仍然有效。

推论 03I2

让*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}*成为集合的一个家庭，使得*Xι=XϰX_\iota = X_\varkappa*对于指标*(ι,ϰ)(\iota, \varkappa)中的每个对。 然后对于每个 α∈I\alpha \in I *我们有

引用了 1

引用了 命题 1

⋃ι∈IXι=Xα,and (if I≠∅)⋂ι∈IXι=Xα.\bigcup_{\iota \in I} X_\iota = X_\alpha, \qquad \textit{and (if } I \neq \emptyset) \qquad \bigcap_{\iota \in I} X_\iota = X_\alpha.

应用命题 1 到 I 的常数映射 ι→α\iota \to \alpha 到 {α}\{\alpha\}。

定义 4 03I3

设*F\mathfrak{F}*为集合的集合，并让*Φ\Phi*为由*F\mathfrak{F}的恒等映射定义的集合族。 * Φ\Phi *的集合 并和（如果 F\mathfrak{F} 不为空） Φ\Phi *的集合 交分别称为 并 和 交 * * F\mathfrak{F}的集合，*和由*⋃X∈FX\bigcup_{X \in \mathfrak{F}} X*和*⋂X∈FX\bigcap_{X \in \mathfrak{F}} X表示。

引用了 1

引用了 命题 1

如果紧接命题 1，如果(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}是集合的族，则该族的并和（如果是I≠∅I \neq \emptyset）交分别等于集合的并和交这个家的元素集合。

2. 并和交的性质

如果(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}和(Yι)ι∈I(Y_\iota)_{\iota \in I}是集合的族，具有相同的指标集合I，并且如果每个ι∈I\iota \in I都有Yι⊂XιY_\iota \subset X_\iota，那么很明显

⋃ι∈IYι⊂⋃ι∈IXι,and (if I≠∅)⋂ι∈IYι⊂⋂ι∈IXι.\bigcup_{\iota \in I} Y_\iota \subset \bigcup_{\iota \in I} X_\iota, \qquad \text{and (if } I \neq \emptyset) \qquad \bigcap_{\iota \in I} Y_\iota \subset \bigcap_{\iota \in I} X_\iota.

¶ 令(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 成为集合的一个家庭。如果J⊂IJ \subset I，我们有

⋃ι∈JXι⊂⋃ι∈IXι,and (if J≠∅)⋂ι∈JXι⊃⋂ι∈IXι.\bigcup_{\iota \in J} X_\iota \subset \bigcup_{\iota \in I} X_\iota, \qquad \text{and (if } J \neq \emptyset) \qquad \bigcap_{\iota \in J} X_\iota \supset \bigcap_{\iota \in I} X_\iota.

命题 2 03I4

设*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}*是集合的一个家庭，其指标集合*I*是并的一个家庭*(Jλ)λ∈L(J_\lambda)_{\lambda \in L}*的集合。然后

被以下引用 1

被以下引用 Proposition 5, III § 3

⋃ι∈IXι=⋃λ∈L(⋃ι∈JλXι),\bigcup_{\iota \in I} X_\iota = \bigcup_{\lambda \in L} \left( \bigcup_{\iota \in J_\lambda} X_\iota \right),

和（*如果* L≠∅L \neq \emptyset 和 Jλ≠∅J_\lambda \neq \emptyset 对于每个 λ∈L\lambda \in L）

⋂ι∈IXι=⋂λ∈L(⋂ι∈JλXι)\bigcap_{\iota \in I} X_\iota = \bigcap_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_\iota \right)

（并和交的“结合性”）。

设xx为⋃ι∈IXι\bigcup_{\iota \in I} X_\iota的元素。存在指标ι∈I\iota \in I使得x∈Xιx \in X_\iota。由于I是(Jλ)λ∈L(J_\lambda)_{\lambda \in L}族的并，因此存在指标λ∈L\lambda \in L使得ι∈Jλ\iota \in J_\lambda，从而x∈⋃ι∈JλXιx \in \bigcup_{\iota \in J_\lambda} X_\iota，因而

x∈⋃λ∈L(⋃ι∈JλXι).x \in \bigcup_{\lambda \in L} \left( \bigcup_{\iota \in J_\lambda} X_\iota \right).

相反，令xx为这个集合的元素。存在指标λ∈L\lambda \in L使得x∈⋃ι∈JλXιx \in \bigcup_{\iota \in J_\lambda} X_\iota，因此存在指标ι∈Jλ\iota \in J_\lambda（因此存在ι∈I\iota \in I）使得x∈Xιx \in X_\iota；由此可见

x∈⋃ι∈IXι.x \in \bigcup_{\iota \in I} X_\iota.

现在假设每个λ∈L\lambda \in L都有L≠∅L \neq \emptyset和Jλ≠∅J_\lambda \neq \emptyset。然后I≠∅I \neq \emptyset。令xx为⋂ι∈IXι\bigcap_{\iota \in I} X_\iota的元素。如果λ∈L\lambda \in L，则每个ι∈Jλ\iota \in J_\lambda有x∈Xιx \in X_\iota（从Jλ⊂IJ_\lambda \subset I开始），从而x∈⋂ι∈JλXιx \in \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_\iota。由于最后一个包含对于所有 λ∈L\lambda \in L、xx 属于到 ⋂λ∈L(⋂ι∈JλXι)\bigcap_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_\iota \right) 都是正确的。相反，令xx为后者集合的元素，并令ι\iota为I的任意元素。存在λ∈L\lambda \in L使得ι∈Jλ\iota \in J_\lambda；从 x∈⋂ι∈JλXιx \in \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_\iota 开始，我们就有了 x∈Xιx \in X_\iota，这对于所有 ι∈I\iota \in I 都是如此。因而x∈⋂ι∈IXιx \in \bigcap_{\iota \in I} X_\iota。这样就完成了证明。

对于给定集合的子集家庭，命题 2 中的第二个部分仍然有效，在 L 和 JλJ_\lambda 上没有限制。

3. 并与交的像

命题 3 03I5

设*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}*是集合*A的子集的一个家庭，*并且让*Γ\Gamma*是在*A*和*B之间的对应。*然后

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了 命题 2, II § 3

被以下引用 § 4. 集合家庭的并和交, 定义 5, 命题 4, II § 6. 等价关系

Γ⟨⋃ι∈IXι⟩=⋃ι∈IΓ⟨Xι⟩,Γ⟨⋂ι∈IXι⟩⊂⋂ι∈IΓ⟨Xι⟩.\Gamma \left\langle \bigcup_{\iota \in I} X_\iota \right\rangle = \bigcup_{\iota \in I} \Gamma \langle X_\iota \rangle, \qquad \Gamma \left\langle \bigcap_{\iota \in I} X_\iota \right\rangle \subset \bigcap_{\iota \in I} \Gamma \langle X_\iota \rangle.

关系 (∃x)(x∈⋃ι∈IXι and y∈Γ(x))(\exists x)\left(x \in \bigcup_{\iota \in I} X_\iota \text{ and } y \in \Gamma(x)\right) 相当于

(∃x)(∃ι)(ι∈I and x∈Xι and y∈Γ(x)),(\exists x)(\exists \iota)(\iota \in I \text{ and } x \in X_\iota \text{ and } y \in \Gamma(x)),

因此为 (∃ι)(ι∈I(\exists \iota)(\iota \in I 和 y∈Γ⟨Xι⟩)y \in \Gamma\langle X_\iota \rangle)，因此相当于 y∈⋃ι∈IΓ⟨Xι⟩y \in \bigcup_{\iota \in I} \Gamma\langle X_\iota \rangle；这就证明了第一个公式。至于第二个公式，我们对所有ι∈I\iota \in I，从而有⋂ι∈IXι⊂Xι\bigcap_{\iota \in I} X_\iota \subset X_\iota（§3，命题2）

Γ⟨⋂ι∈IXι⟩⊂Γ⟨Xι⟩,\Gamma\left\langle \bigcap_{\iota \in I} X_\iota \right\rangle \subset \Gamma\langle X_\iota \rangle,

因而

Γ⟨⋂ι∈IXι⟩⊂⋂ι∈IΓ⟨Xι⟩.\Gamma\left\langle \bigcap_{\iota \in I} X_\iota \right\rangle \subset \bigcap_{\iota \in I} \Gamma\langle X_\iota \rangle.

¶ 如果 Γ\Gamma 是任意对应 （特别是任意函数），则公式

Γ⟨⋂ι∈IXι⟩=⋂ι∈IΓ⟨Xι⟩\Gamma\left\langle \bigcap_{\iota \in I} X_\iota \right\rangle = \bigcap_{\iota \in I} \Gamma\langle X_\iota \rangle

通常是*假*。

\* 对于例，在平面R2\mathbf{R}^2中，线y=xy = x和y=x+1y = x + 1的第一个投影等于R\mathbf{R}，但是这些线的交是空的，因此这个交的第一个投影也是空的[^2]。 \*

然而，我们有以下重要结果：

命题 4 03I6

设ff是*A*的映射*进入*B*并让*(Yι)ι∈I(Y_\iota)_{\iota \in I}*成为*B的子集的一个家庭。*然后*f−1⟨⋂ι∈IYι⟩=⋂ι∈If−1⟨Yι⟩.\overset{-1}{f}\left\langle \bigcap_{\iota \in I} Y_\iota \right\rangle = \bigcap_{\iota \in I} \overset{-1}{f}\langle Y_\iota \rangle.

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了 命题 3

被以下引用 § 4. 集合家庭的并和交, 定义 6, 推论

为了证明这一点，令 xx 为 ⋂ι∈If−1⟨Yι⟩\bigcap_{\iota \in I} \overset{-1}{f}\langle Y_\iota \rangle 的元素。我们对所有 ι∈I\iota \in I、从而 f(x)∈⋂ι∈IYιf(x) \in \bigcap_{\iota \in I} Y_\iota 有 f(x)∈Yιf(x) \in Y_\iota，因而

x∈f−1⟨⋂ι∈IYι⟩.x \in \overset{-1}{f}\left\langle \bigcap_{\iota \in I} Y_\iota \right\rangle.

因而⋂ι∈If−1(Yι)⊂f−1⟨⋂ι∈IYι⟩\bigcap_{\iota \in I} \overset{-1}{f}(Y_\iota) \subset \overset{-1}{f}\left\langle \bigcap_{\iota \in I} Y_\iota \right\rangle；这个关系与命题 3 一起给出结果。

推论 03I7

如果ff是* A 的单射进入* B 并且如果 (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 是 A 的子集的一个家庭，其指标集合 I 不为空，则 f⟨⋂ι∈IXι⟩=⋂ι∈If⟨Xι⟩f\left\langle \bigcap_{\iota \in I} X_\iota \right\rangle = \bigcap_{\iota \in I} f\langle X_\iota \rangle。

引用了 1

引用了 命题 4

因为我们可以将f=i∘gf = i \circ g，其中ii是f⟨A⟩f\langle A \rangle的典范嵌入写入B，而gg是A的双射写入f⟨A⟩f\langle A \rangle。如果 hh 表示 gg 的倒数映射，则对于 A 的每个子集 X，我们都有 f⟨X⟩=h−1⟨X⟩f\langle X \rangle = \overset{-1}{h}\langle X \rangle，因此我们又回到命题 4。

4. 并和交的补集

命题 5 03I8

对于每个家庭* (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 集合 E 子集，*我们有

被以下引用 1

被以下引用 § 4. 集合家庭的并和交

∁E(⋃ι∈IXι)=⋂ι∈I(∁EXι),∁E(⋂ι∈IXι)=⋃ι∈I(∁EXι).\complement_E\left(\bigcup_{\iota \in I} X_\iota\right) = \bigcap_{\iota \in I} (\complement_E X_\iota), \qquad \complement_E\left(\bigcap_{\iota \in I} X_\iota\right) = \bigcup_{\iota \in I} (\complement_E X_\iota).

让x∈∁E(⋃ι∈IXι)x \in \complement_E\left(\bigcup_{\iota \in I} X_\iota\right)。然后x∈Ex \in E，对于每个ι∈I\iota \in I，x∉Xιx \notin X_\iota，从而x∈∁EXιx \in \complement_E X_\iota；因而

x∈⋂ι∈I(∁EXι).x \in \bigcap_{\iota \in I} (\complement_E X_\iota).

相反，令xx为⋂ι∈I(∁EXι)\bigcap_{\iota \in I} (\complement_E X_\iota)的元素；到定义或交为止，我们有 x∈Ex \in E。此外，如果我们有x∈⋃ι∈IXιx \in \bigcup_{\iota \in I} X_\iota，就会存在指标ϰ∈I\varkappa \in I，使得x∈Xϰx \in X_\varkappa，其中与……矛盾假设x∈⋂ι∈I(∁EXι)x \in \bigcap_{\iota \in I} (\complement_E X_\iota)；因而

x∈∁E(⋃ι∈IXι).x \in \complement_E\left(\bigcup_{\iota \in I} X_\iota\right).

这就证明了第一个公式；第二个是直接的推论，考虑到E的每子集X有关系∁E(∁EX)=X\complement_E(\complement_E X) = X。

5. 两个集合中的并和交

如果 A, B 是集合，我们写

A∪B=⋃X∈{A,B}X,A∩B=⋂X∈{A,B}X.A \cup B = \bigcup_{X \in \{A, B\}} X, \qquad A \cap B = \bigcap_{X \in \{A, B\}} X.

很明显，A∪BA \cup B是所有对象中的集合，其中属于要么到AA，要么到BB（或者可能到两者），而A∩BA \cap B是所有对象中的集合，其中属于对两者AA 和 BB。特别是{x,y}={x}∪{y}\{x, y\} = \{x\} \cup \{y\}。

¶ 让{x,y,z}={x,y}∪{z}\{x, y, z\} = \{x, y\} \cup \{z\}。 集合 {x,y,z}\{x, y, z\} 是集合，其元素仅有xx、yy 和zz。同样我们写

{x,y,z,t}={x,y,z}∪{t},\{x, y, z, t\} = \{x, y, z\} \cup \{t\},

等等。

¶ 如果现在 AA、BB、CC、DD 是集合，我们写

A∪B∪C=⋃X∈{A, B, C}X,A∩B∩C=⋂X∈{A, B, C}X;A \cup B \cup C = \bigcup_{X \in \{A,\, B,\, C\}} X, \qquad A \cap B \cap C = \bigcap_{X \in \{A,\, B,\, C\}} X;
A∪B∪C∪D=⋃X∈{A, B, C, D}X,A∩B∩C∩D=⋂X∈{A, B, C, D}X;A \cup B \cup C \cup D = \bigcup_{X \in \{A,\, B,\, C,\, D\}} X, \qquad A \cap B \cap C \cap D = \bigcap_{X \in \{A,\, B,\, C,\, D\}} X;

等等。

¶ 设 A,B,CA, B, C 为集合。从命题 1 和 2 我们推导出公式

A∪B=B∪A,A∩B=B∩A,A \cup B = B \cup A, \qquad A \cap B = B \cap A,
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C,A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = A \cup B \cup C,
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C=A∩B∩C.A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C = A \cap B \cap C.

这些公式也是标准C24中规定的定理的直接的推论（章I, §3, no. 5）。同样证明公式

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C), \qquad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

（并超过交以及交超过并的“分配律”；cf.§5, no. 6）。

¶ 关系 A⊂BA \subset B 相当于 A∪B=BA \cup B = B 和 A∩B=AA \cap B = A。如果AA和BB是集合EE的子集，我们从命题5（或从标准C24）推出公式

∁E(A∪B)=(∁EA)∩(∁EB),∁E(A∩B)=(∁EA)∪(∁EB);\complement_E(A \cup B) = (\complement_E A) \cap (\complement_E B), \qquad \complement_E(A \cap B) = (\complement_E A) \cup (\complement_E B);

此外，我们还有

A∪(∁EA)=E,A∩(∁EA)=∅.A \cup (\complement_E A) = E, \qquad A \cap (\complement_E A) = \emptyset.

¶ 如果Γ\Gamma是EE和FF之间的对应，并且如果AA、BB是EE的子集，则从命题 3得出：

Γ⟨A∪B⟩=Γ⟨A⟩∪Γ⟨B⟩,Γ⟨A∩B⟩⊂Γ⟨A⟩∩Γ⟨B⟩,\Gamma\langle A \cup B \rangle = \Gamma\langle A \rangle \cup \Gamma\langle B \rangle, \qquad \Gamma\langle A \cap B \rangle \subset \Gamma\langle A \rangle \cap \Gamma\langle B \rangle,

并且，如果 ff 是 F 到 E 的映射，

f−1⟨A∩B⟩=f−1⟨A⟩∩f−1⟨B⟩\overset{-1}{f}\langle \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \rangle = \overset{-1}{f}\langle \mathrm{A} \rangle \cap \overset{-1}{f}\langle \mathrm{B} \rangle

从命题 4.

¶ 我们还在补语上记录以下命题 ：

命题 6 03PW

设ff是*A*到*B的映射。*对于*B的每个子集*Y*，*我们有

被以下引用 1

被以下引用 II § 6. 等价关系

f−1⟨B−Y⟩=f−1⟨B⟩−f−1⟨Y⟩.\overset{-1}{f}\langle \mathrm{B} - \mathrm{Y} \rangle = \overset{-1}{f}\langle \mathrm{B} \rangle - \overset{-1}{f}\langle \mathrm{Y} \rangle.

对于xx属于到f−1⟨B−Y⟩\overset{-1}{f}\langle \mathrm{B} - \mathrm{Y} \rangle当且仅当f(x)f(x)属于到B但不到Y，即当且仅当xx属于到f−1 ⟨B⟩\overset{-1}{f}\ \langle \mathrm{B} \rangle但不到f−1 ⟨Y⟩\overset{-1}{f}\ \langle \mathrm{Y} \rangle。

推论 03PX

让ff成为* A 到 B的单射。*对于* A的每个子集* X ，我们有f⟨A−X⟩=f⟨A⟩−f⟨X⟩f\langle \mathrm{A} - \mathrm{X} \rangle = f\langle \mathrm{A} \rangle - f\langle \mathrm{X} \rangle。

将 f=i∘gf = i \circ g 写入 B，其中 ii 是 f⟨A⟩f\langle \mathrm{A} \rangle 的典范嵌入，我们将约化命题 6 的推论应用到 g−1\overset{-1}{g}。

¶ 交 X∩A\mathrm{X} \cap \mathrm{A} 被有时称为 A 上 X 的*踪迹*。如果 F\mathfrak{F} 是集合的族，则集合属于到 F\mathfrak{F} A 上踪迹的集合称为 A 上的*踪迹* A 上的F\mathfrak{F}。

6. 覆盖物

定义 5 03PY

集合(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}的族据说是集合* E （或覆盖 E）*如果E⊂⋃ι∈IXι\mathrm{E} \subset \bigcup\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota的覆盖。如果 (Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}} 和 (Yϰ)ϰ∈K(\mathrm{Y}_\varkappa)_{\varkappa \in \mathrm{K}} 是* E 的覆盖，*这些覆盖中的第二个被认为比第一个覆盖更细（或者是第一个覆盖的精炼，或者精炼第一个），如果对于每个ϰ∈K\varkappa \in \mathrm{K}，存在ι∈I\iota \in \mathrm{I}使得

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 3

被以下引用 定义 6, TG I § 9

Yϰ⊂Xι.\mathrm{Y}_\varkappa \subset \mathrm{X}_\iota.

A set of sets R\mathfrak{R} is a covering of E if the family of sets defined by the identity mapping of R\mathfrak{R} is a covering of E, in other words, if E⊂⋃X∈RX\mathrm{E} \subset \bigcup\limits_{\mathrm{X} \in \mathfrak{R}} \mathrm{X}.

如果R\mathfrak{R}、R′\mathfrak{R}'、R′′\mathfrak{R}''是E的三个覆盖，使得R′\mathfrak{R}'细化R\mathfrak{R}且R′′\mathfrak{R}''细化R′\mathfrak{R}'，则显然R′′\mathfrak{R}''细化R\mathfrak{R}。

设(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}是E的覆盖。如果J是I的子集，使得(Xι)ι∈J(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{J}}仍然是E的覆盖，那么这个覆盖显然细化了(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}。

¶ 设(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}和(Yϰ)ϰ∈K(\mathrm{Y}_\varkappa)_{\varkappa \in \mathrm{K}}是集合E的覆盖。那么集合(Xι∩Yϰ)(ι,ϰ)∈I×K(\mathrm{X}_\iota \cap \mathrm{Y}_\varkappa)_{(\iota, \varkappa) \in \mathrm{I} \times \mathrm{K}}的族是E的覆盖。因为如果x∈Ex \in \mathrm{E}，则存在指标ι∈I\iota \in \mathrm{I}和ϰ∈K\varkappa \in \mathrm{K}使得x∈Xιx \in \mathrm{X}_\iota和x∈Yϰx \in \mathrm{Y}_\varkappa，因此x∈Xι∩Yϰx \in \mathrm{X}_\iota \cap \mathrm{Y}_\varkappa 此外，很明显，覆盖层(Xι∩Yϰ)(ι,ϰ)∈I×K(\mathrm{X}_\iota \cap \mathrm{Y}_\varkappa)_{(\iota, \varkappa) \in \mathrm{I} \times \mathrm{K}}细化了覆盖层(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}、(Yϰ)ϰ∈K(Y_\varkappa)_{\varkappa \in K}。相反，令 (Zλ)λ∈L(Z_\lambda)_{\lambda \in L} 为 E 的覆盖，它细化了每个覆盖(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}、(Yϰ)ϰ∈K(Y_\varkappa)_{\varkappa \in K}；如果λ∈L\lambda \in L，则存在指标、ι∈I\iota \in I和ϰ∈K\varkappa \in K，使得Zλ⊂XιZ_\lambda \subset X_\iota和Zλ⊂YϰZ_\lambda \subset Y_\varkappa，从而Zλ⊂Xι∩YϰZ_\lambda \subset X_\iota \cap Y_\varkappa；因此覆盖(Zλ)λ∈L(Z_\lambda)_{\lambda \in L}是对

(Xι∩Yϰ)(ι,ϰ)∈I×K.(X_\iota \cap Y_\varkappa)_{(\iota, \varkappa) \in I \times K}.

¶ 设 (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 为集合 A 的覆盖，并设 ff 为 A 到 集合 B 的映射。则族 (f⟨Xι⟩)ι∈I(f\langle X_\iota \rangle)_{\iota \in I} 是 B (命题 3) 的覆盖，称为 像下 ff 覆盖物(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}。如果gg是集合C的映射进入集合A，则族(g−1⟨Xι⟩)ι∈I(\overset{-1}{g}\langle X_\iota \rangle)_{\iota \in I}是C的覆盖，称为覆盖*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}下*gg*下的*逆像。 ¶ 设 E 和 F 为集合，令 (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 为 E 的覆盖，(Yϰ)ϰ∈K(Y_\varkappa)_{\varkappa \in K} 为 F 的覆盖。则族 (Xι×Yϰ)(ι,ϰ)∈I×K(X_\iota \times Y_\varkappa)_{(\iota, \varkappa) \in I \times K} 为 E×FE \times F 的覆盖，称为 E 的覆盖 (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 和 F 的(Yϰ)ϰ∈K(Y_\varkappa)_{\varkappa \in K} 覆盖的 乘积。

命题 7 03PZ

(1) 设 E 为集合和(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 覆盖E。*如果*ff*和*gg*是两个函数，其域*E*使得*ff*和*gg*同意*E∩XιE \cap X_\iota 对于每个 ι∈I\iota \in I，*然后* ff 和 gg 同意 E。

被以下引用 5

被以下引用 定理 2, AC VI § 1, 命题 8, 定义 6, III § 1, 引理 2, III § 2, 例 2, III § 2

(2) 令 (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 成为集合的族，并让(fι)ι∈I(f_\iota)_{\iota \in I} 成为映射的族，具有相同的目标 F 使得对于每个 ι∈I\iota \in I ** fιf_\iota 的域是 XιX_\iota，*并且对于每个对* (ι,ϰ)∈I×I(\iota, \varkappa) \in I \times I、fιf_\iota 和 fϰf_\varkappa 同意 Xι∩XϰX_\iota \cap X_\varkappa。 那么正好有一个函数 ff 带有域 A=⋃ι∈IXιA = \bigcup_{\iota \in I} X_\iota 和目标 F ，其中扩展函数 fιf_\iota (i∈I)(i \in I) 中的每一个。

(1) 设xx为E的任意元素，则存在ι∈I\iota \in I使得x∈Xιx \in X_\iota、从而f(x)=g(x)f(x) = g(x)乘以假设。 (2) 设GιG_\iota为fιf_\iota的图，设G=⋃ι∈IGιG = \bigcup_{\iota \in I} G_\iota；让我们证明 G 是一个函数图。如果(x,y)∈G(x, y) \in G和(x,y′)∈G(x, y') \in G，I中存在两个指标、ι\iota、ϰ\varkappa，使得(x,y)∈Gι(x, y) \in G_\iota和(x,y′)∈Gϰ(x, y') \in G_\varkappa。这意味着x∈Xιx \in X_\iota、x∈Xϰx \in X_\varkappa、y=fι(x)y = f_\iota(x)、y′=fϰ(x)y' = f_\varkappa(x)；但从x∈Xι∩Xϰx \in X_\iota \cap X_\varkappa开始，我们

fι(x)=fϰ(x),f_\iota(x) = f_\varkappa(x),

也就是说，y=y′y = y'。图 G 的域为 pr1G=⋃ι∈Ipr1Gι=A\mathrm{pr}_1 G = \bigcup_{\iota \in I} \mathrm{pr}_1 G_\iota = A；因此函数f=(G,A,F)f = (G, A, F)满足所需的条件。它的唯一性源自命题的第一个部分。

7. 划分

定义 6 03Q0

两个集合* A 和 B 据说是不相交的（*或不相交*）*如果* A∩B=∅A \cap B = \emptyset。 如果A∩B≠∅A \cap B \neq \emptyset，*我们说*A*满足*（*或相交*）B。*让*(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*成为集合的一个族。如果条件* ι∈I\iota \in \mathrm{I}、ϰ∈I\varkappa \in \mathrm{I}、ι≠ϰ\iota \neq \varkappa 暗示 Xι∩Xϰ=∅\mathrm{X}_\iota \cap \mathrm{X}_\varkappa = \emptyset，则该家族的集合据说是相互不相交的。

引用了 1

引用了 命题 4

令ff为A到B的映射，并令(Yι)ι∈I(\mathrm{Y}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}为B的不相交的子集互为族。命题4则表明A的子集族(f−1⟨Yι⟩)ι∈I(\overset{-1}{f}\langle \mathrm{Y}_\iota \rangle)_{\iota \in \mathrm{I}}互为族集合不相交的。另一方面，如果(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}是A的互不相交的子集的族，则(f⟨Xι⟩)ι∈I(f \langle \mathrm{X}_\iota \rangle)_{\iota \in \mathrm{I}}族的集合一般不互不相交的。

命题 8 03Q1

设*(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*是相互不相交的集合的一个族，并且让*(fι)ι∈I(f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*是具有相同目标*F的函数的族，使得*fιf_\iota*的域是*Xι\mathrm{X}_\iota*对于每个*ι∈I\iota \in \mathrm{I}。 那么恰好存在一个具有域 ⋃ι∈IXι\bigcup_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota 和目标 F 的函数 f，其中扩展每个函数 fιf_\iota (ι∈I)(\iota \in \mathrm{I})。

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了 命题 7

被以下引用 命题 10, 命题 7, II § 5, 引理 2, III § 2, 命题 11, III § 5, 命题 6, III § 7

这是命题 7 的推论，因为只要ι≠ϰ\iota \neq \varkappa，fιf_\iota 和fϰf_\varkappa 就明确同意Xι∩Xϰ=∅\mathrm{X}_\iota \cap \mathrm{X}_\varkappa = \emptyset。

定义 7 03Q2

集合* E 的划分是非空*互为* E 的不相交的子集，覆盖 E。

例 03I9

对于每个非空集合 A，族 ({x})x∈A(\{x\})_{x \in \mathrm{A}} 是 A 的划分。

如果(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}是集合E的划分，I的映射ι→Xι\iota \rightarrow \mathrm{X}_\iota到划分的元素Xι\mathrm{X}_\iota集合F\mathfrak{F}是双射。因此，如果给定F\mathfrak{F}，则划分将被确定为指标集合之间的一对一对应。通常当我们谈到划分时，我们关心的是划分的元素或集合。

8. 和集合家庭

命题 9 03Q3

让*(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*成为集合的一家人。那么存在集合* X 与以下性质 ： X 是一个家庭的并 (Xι′)ι∈I(\mathrm{X}'_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}} 相互不相交的集合，这样对于每个 ι∈I\iota \in \mathrm{I} 都存在一个一对一映射Xι\mathrm{X}_\iota*到*Xι′\mathrm{X}'_\iota。

让A=⋃ι∈IXι\mathrm{A} = \bigcup_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota。如果ι∈I\iota \in \mathrm{I}，映射x→(x,ι)x \rightarrow (x, \iota)(x∈Xι)(x \in \mathrm{X}_\iota)是Xι\mathrm{X}_\iota的一对一映射到A×I\mathrm{A} \times \mathrm{I}的子集Xι′\mathrm{X}'_\iota。并且，A×I\mathrm{A} \times \mathrm{I}上第二个坐标函数下的Xι′\mathrm{X}'_\iota的像包含在集合{ι}\{\iota\}中；由此可见，每当ι≠ϰ\iota \neq \varkappa时，Xι′∩Xϰ′=∅\mathrm{X}'_\iota \cap \mathrm{X}'_\varkappa = \emptyset。然后我们可以取X=⋃ι∈IXι′\mathrm{X} = \bigcup_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}'_\iota。

定义 8 03Q4

让*(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*成为集合的一家人。该家庭的和是集合*(Xι×{ι})ι∈I(\mathrm{X}_\iota \times \{\iota\})_{\iota \in \mathrm{I}}家庭的并。

被以下引用 3

被以下引用 命题 10, TG I § 2. 连续函数, 命题 7, TG I § 2

命题 10 03IA

让*(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*成为相互不相交的集合的一家人。设* A 为其并， S 其和。那么存在 A 到 S 的双射映射。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 命题 8, 定义 8

被以下引用 Proposition 4, III § 3

对于每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}，令fιf_\iota是Xι\mathrm{X}_\iota到Xι×{ι}\mathrm{X}_\iota \times \{\iota\}的双射。凭借命题 8，A到S中存在映射ff，其中扩展全部为映射fιf_\iota。立即验证ff是A到S上的双射映射。

通过滥用语言，如果在族的和上存在E的双射，则集合E被称为集合(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}族的*和*，如定义8中所定义。

注，如果(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}是集合的任意族，则命题10的论证表明存在和S onto并A的映射。

习题

参见习题为 § 4。

[^1]: 因此，概形 S8 允许我们对集合的族进行定义并，而无需*先验地*假设这些集合是相同集合的子集（这是在并的定义中制造的假设，如下所示） 结果摘要，§4, no. 2）。 [^2]: 由于应用此公式而产生的一个著名错误是 H. 勒贝格试图证明平面内波莱尔集合轴上的投影又是波莱尔集合（这个叙述随后被证明是不正确的，它引发的讨论是“苏斯林”理论集合的起源）：勒贝格断言投影集合的递减序列的交等于其投影的交 (Journal de Mathématiques, (6) 1 (1905), pp. 191-192)。

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