Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。
3. Correspondences
1. 图表和对应
如果* G * 的每个元素都是有序对，即如果关系*，则 G * 被称为图
( ∀ z ) ( z ∈ G ⇒ ( z is an ordered pair ) ) (\forall z)(z \in G \Rightarrow (z \text{ is an ordered pair})) ( ∀ z ) ( z ∈ G ⇒ ( z is an ordered pair ))
是真的。
如果G是图，关系( x , y ) ∈ G (x, y) \in G ( x , y ) ∈ G y y y x x x
令 R { x , y } \boldsymbol{R}\{x, y\} R { x , y } x x x y y y G \boldsymbol{G} G x x x y y y R \boldsymbol{R} R
( ∃ G ) ( G is a graph and ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( R ⇔ ( ( x , y ) ∈ G ) ) ) (\exists \boldsymbol{G})(\boldsymbol{G} \text{ is a graph and } (\forall x)(\forall y)(\boldsymbol{R} \Leftrightarrow ((x, y) \in \boldsymbol{G}))) ( ∃ G ) ( G is a graph and ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( R ⇔ (( x , y ) ∈ G ))) 是真的，据说关系R \boldsymbol{R} R x x x y y y G \boldsymbol{G} G R \boldsymbol{R} R x x x y y y
¶ 令 Z Z Z x x x y y y R R R
( ∃ Z ) ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( R ⇒ ( ( x , y ) ∈ Z ) ) (\exists Z)(\forall x)(\forall y)(R \Rightarrow ((x, y) \in Z)) ( ∃ Z ) ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( R ⇒ (( x , y ) ∈ Z )) 为真，则 R R R z z z z ∈ Z z \in Z z ∈ Z R { p r 1 z , p r 2 z } R \{ \mathrm{pr}_1 z,\ \mathrm{pr}_2 z \} R { pr 1 z , pr 2 z } z z z x x x y y y Z Z Z R R R T T T x x x y y y R ⇒ ( ( x , y ) ∈ T ) R \Rightarrow ((x,\ y) \in T) R ⇒ (( x , y ) ∈ T )
(1) 关系 ( ∃ y ) ( ( x , y ) ∈ G ) (\exists y)((x,\ y) \in \mathrm{G}) ( ∃ y ) (( x , y ) ∈ G ) 等价于 x ∈ A x \in \mathrm{A} x ∈ A
(2) 关系 ( ∃ x ) ( ( x , y ) ∈ G ) (\exists x)((x,\ y) \in \mathrm{G}) ( ∃ x ) (( x , y ) ∈ G ) 等价于 y ∈ B y \in \mathrm{B} y ∈ B
因为只要取 A（分别为 B）为形式 p r 1 z \mathrm{pr}_1 z pr 1 z p r 2 z \mathrm{pr}_2 z pr 2 z z ∈ G z \in \mathrm{G} z ∈ G
A = E x ( ( ∃ y ) ( ( x , y ) ∈ G ) ) ) and B = E y ( ( ∃ x ) ( ( x , y ) ∈ G ) ) ; \mathrm{A} = \mathscr{E}_x((\exists y)((x, y) \in \mathrm{G}))) \qquad \text{and} \qquad \mathrm{B} = \mathscr{E}_y((\exists x)((x,\ y) \in \mathrm{G})); A = E x (( ∃ y ) (( x , y ) ∈ G ))) and B = E y (( ∃ x ) (( x , y ) ∈ G )) ; 这些集合分别称为图G的*第一和第二投影*，或者G的*域*和*范围*；它们用 p r 1 ⟨ G ⟩ \mathrm{pr}_1 \langle \mathrm{G} \rangle pr 1 ⟨ G ⟩ p r 2 ⟨ G ⟩ \mathrm{pr}_2 \langle \mathrm{G} \rangle pr 2 ⟨ G ⟩ p r 1 G \mathrm{pr}_1 \mathrm{G} pr 1 G p r 2 G \mathrm{pr}_2 \mathrm{G} pr 2 G G ⊂ ( p r 1 G ) × ( p r 2 G ) \mathrm{G} \subset (\mathrm{pr}_1 \mathrm{G}) \times (\mathrm{pr}_2 \mathrm{G}) G ⊂ ( pr 1 G ) × ( pr 2 G ) p r 1 G \mathrm{pr}_1 \mathrm{G} pr 1 G p r 2 G \mathrm{pr}_2 \mathrm{G} pr 2 G G = ∅ \mathrm{G} = \emptyset G = ∅
Γ = ( G , A , B ) , \Gamma = (\mathrm{G},\ \mathrm{A},\ \mathrm{B}), Γ = ( G , A , B ) , 其中 G 是一个图，使得 p r 1 G ⊂ A \mathrm{pr}_1 \mathrm{G} \subset \mathrm{A} pr 1 G ⊂ A 和 p r 2 G ⊂ B \mathrm{pr}_2 \mathrm{G} \subset \mathrm{B} pr 2 G ⊂ B Γ \Gamma Γ Γ \Gamma Γ
如果( x , y ) ∈ G (x,\ y) \in \mathrm{G} ( x , y ) ∈ G y y y x x x Γ \Gamma Γ x ∈ p r 1 G x \in \mathrm{pr}_1 \mathrm{G} x ∈ pr 1 G Γ \Gamma Γ x x x p r 1 G \mathrm{pr}_1 \mathrm{G} pr 1 G Γ \Gamma Γ y ∈ p r 2 G y \in \mathrm{pr}_2 \mathrm{G} y ∈ pr 2 G Γ \Gamma Γ 值，p r 2 G \mathrm{pr}_2 \mathrm{G} pr 2 G Γ \Gamma Γ
如果R { x , y } R \{ x, y \} R { x , y } G G G x x x y y y A A A B B B p r 1 G ⊂ A \mathrm{pr}_1 G \subset A pr 1 G ⊂ A p r 2 G ⊂ B \mathrm{pr}_2 G \subset B pr 2 G ⊂ B R R R A A A B B B x x x y y y Γ = ( G , A , B ) \Gamma = (G, A, B) Γ = ( G , A , B ) A A A B B B R R R x x x y y y
设 G 为图，且 X 为集合。 关系
x ∈ X and ( x , y ) ∈ G x \in X \text{ and } (x, y) \in G x ∈ X and ( x , y ) ∈ G 意味着( x , y ) ∈ G (x, y) \in G ( x , y ) ∈ G G ′ G' G ′ G ′ G' G ′
设*G*是一个图并且*X*集合。所有对象中的集合，其中* G 下的对应到 X 的元素被称为 G 下 X 的像，并用 G ⟨ X ⟩ G\langle X \rangle G ⟨ X ⟩ 或 G ( X ) G(X) G ( X )
¶ 设 Γ = ( G , A , B ) \Gamma = (G, A, B) Γ = ( G , A , B ) 为对应并让 X 为 A 的子集 集合 G ⟨ X ⟩ G\langle X \rangle G ⟨ X ⟩ 也表示为 Γ ⟨ X ⟩ \Gamma\langle X \rangle Γ ⟨ X ⟩ 或 Γ ( X ) \Gamma(X) Γ ( X ) 并称为像共 X 低于 Γ \Gamma Γ
注
被以下引用 1 被以下引用 注
设* G 为一个图，并让 X，Y 为两个集合；那么关系 X ⊂ Y X \subset Y X ⊂ Y 意味着 G ⟨ X ⟩ ⊂ G ⟨ Y ⟩ G\langle X \rangle \subset G\langle Y \rangle G ⟨ X ⟩ ⊂ G ⟨ Y ⟩
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 II § 1. 集合化关系
被以下引用 命题 3, II § 4
这是定义和 C50 (§ 1, no. 4) 的直接的推论。
如果*A ⊃ p r 1 G A \supset \mathrm{pr}_1 G A ⊃ pr 1 G G ⟨ A ⟩ = p r 2 G G\langle A \rangle = \mathrm{pr}_2 G G ⟨ A ⟩ = pr 2 G
设*G*是一个图，并且*x x x G ⟨ { x } ⟩ G\langle \{x\} \rangle G ⟨{ x }⟩ G ( x ) G(x) G ( x ) 在 x x x
引用了 1 引用了 I § 5. 平等的理论
紧随 C43 (章 I, § 5, no. 1) 可知关系 y ∈ G ⟨ { x } ⟩ y \in G\langle \{x\} \rangle y ∈ G ⟨{ x }⟩ ( x , y ) ∈ G (x, y) \in G ( x , y ) ∈ G G ′ G' G ′ G ⊂ G ′ G \subset G' G ⊂ G ′
( ∀ x ) ( G ⟨ { x } ⟩ ⊂ G ′ ⟨ { x } ⟩ ) . (\forall x)(G\langle \{x\} \rangle \subset G'\langle \{x\} \rangle). ( ∀ x ) ( G ⟨{ x }⟩ ⊂ G ′ ⟨{ x }⟩) . 如果 A 和 B 之间的 Γ = ( G , A , B ) \Gamma = (\mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B}) Γ = ( G , A , B ) x x x x ∈ A x \in \mathrm{A} x ∈ A Γ \Gamma Γ 在 x x x Γ ⟨ { x } ⟩ \Gamma\langle\{x\}\rangle Γ ⟨{ x }⟩ Γ ( x ) \Gamma(x) Γ ( x )
2. 逆对应
设 G 是一个图，A = p r 1 G \mathrm{A} = \mathrm{pr}_1\mathrm{G} A = pr 1 G B = p r 2 G \mathrm{B} = \mathrm{pr}_2\mathrm{G} B = pr 2 G ( y , x ) ∈ G (y, x) \in \mathrm{G} ( y , x ) ∈ G ( x , y ) ∈ B × A (x, y) \in \mathrm{B} \times \mathrm{A} ( x , y ) ∈ B × A ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( y , x ) ∈ G (y, x) \in \mathrm{G} ( y , x ) ∈ G
设G是一个图。 元素为有序对( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( y , x ) ∈ G (y, x) \in \mathrm{G} ( y , x ) ∈ G G − 1 \overset{-1}{\mathrm{G}} G − 1
对于每个集合X，G − 1 ⟨ X ⟩ \overset{-1}{\mathrm{G}}\langle\mathrm{X}\rangle G − 1 ⟨ X ⟩
¶ 很明显，G − 1 \overset{-1}{\mathrm{G}} G − 1
p r 1 G − 1 = p r 2 G , p r 2 G − 1 = p r 1 G . \mathrm{pr}_1\overset{-1}{\mathrm{G}} = \mathrm{pr}_2\mathrm{G}, \qquad \mathrm{pr}_2\overset{-1}{\mathrm{G}} = \mathrm{pr}_1\mathrm{G}. pr 1 G − 1 = pr 2 G , pr 2 G − 1 = pr 1 G . 特别是，如果X，Y是两个集合，我们有
X × Y ⏞ − 1 = Y × X . \overset{-1}{\overbrace{\mathrm{X} \times \mathrm{Y}}} = \mathrm{Y} \times \mathrm{X}. X × Y − 1 = Y × X . 如果 G − 1 = G \overset{-1}{\mathrm{G}} = \mathrm{G} G − 1 = G
¶ 设 Γ = ( G , A , B ) \Gamma = (\mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B}) Γ = ( G , A , B ) p r 1 G − 1 ⊂ B \mathrm{pr}_1\overset{-1}{\mathrm{G}} \subset \mathrm{B} pr 1 G − 1 ⊂ B p r 2 G − 1 ⊂ A \mathrm{pr}_2\overset{-1}{\mathrm{G}} \subset \mathrm{A} pr 2 G − 1 ⊂ A ( G − 1 , B , A ) (\overset{-1}{\mathrm{G}}, \mathrm{B}, \mathrm{A}) ( G − 1 , B , A ) 对应，称为对应 Γ \Gamma Γ 逆*，并用 Γ − 1 \overset{-1}{\Gamma} Γ − 1 Γ − 1 \overset{-1}{\Gamma} Γ − 1 Γ − 1 ⟨ Y ⟩ \overset{-1}{\Gamma}\langle\mathrm{Y}\rangle Γ − 1 ⟨ Y ⟩ Γ \Gamma Γ Γ − 1 \overset{-1}{\Gamma} Γ − 1 Γ \Gamma Γ
3. 两个对应的合成
令G、G′为两个图。令 A 表示集合 p r 1 G \mathrm{pr}_1\mathrm{G} pr 1 G p r 2 G ′ \mathrm{pr}_2\mathrm{G}' pr 2 G ′ ( ∃ y ) ( ( x , y ) ∈ G (\exists y)((x, y) \in \mathrm{G} ( ∃ y ) (( x , y ) ∈ G ( y , z ) ∈ G ′ ) (y, z) \in \mathrm{G}') ( y , z ) ∈ G ′ ) ( x , z ) ∈ A × C (x, z) \in \mathrm{A} \times \mathrm{C} ( x , z ) ∈ A × C x x x z z z
设G、G′为两个图。 关系、( ∃ y ) ( ( x , y ) ∈ G (\exists y)((x, y) \in \mathrm{G} ( ∃ y ) (( x , y ) ∈ G ( y , z ) ∈ G ′ ) (y, z) \in \mathrm{G}') ( y , z ) ∈ G ′ ) x x x z z z G ′ ∘ G \mathrm{G}' \circ \mathrm{G} G ′ ∘ G G ′ G \mathrm{G}'\mathrm{G} G ′ G
被以下引用 1 被以下引用 例, A I § 1
设*G，G′*为两个图。 * G′ ∘ G * 的倒数是* G − 1 ∘ G ′ − 1 \overset{-1}{G} \circ \overset{-1}{G'} G − 1 ∘ G ′ − 1
被以下引用 1 被以下引用 定义 7
对于关系“( x , y ) ∈ G (x, y) \in G ( x , y ) ∈ G ( y , z ) ∈ G ′ (y, z) \in G' ( y , z ) ∈ G ′
( z , y ) ∈ G ′ − 1 and ( y , x ) ∈ G − 1 . (z, y) \in \overset{-1}{G'} \text{ and } (y, x) \in \overset{-1}{G}. ( z , y ) ∈ G ′ − 1 and ( y , x ) ∈ G − 1 .
设* G 1 G_1 G 1 G 2 G_2 G 2 G 3 G_3 G 3
引用了 1 引用了 I § 4. 量化理论
( G 3 ∘ G 2 ) ∘ G 1 = G 3 ∘ ( G 2 ∘ G 1 ) . (G_3 \circ G_2) \circ G_1 = G_3 \circ (G_2 \circ G_1). ( G 3 ∘ G 2 ) ∘ G 1 = G 3 ∘ ( G 2 ∘ G 1 ) . 关系 ( x , t ) ∈ ( G 3 ∘ G 2 ) ∘ G 1 (x, t) \in (G_3 \circ G_2) \circ G_1 ( x , t ) ∈ ( G 3 ∘ G 2 ) ∘ G 1
( ∃ y ) ( ( x , y ) ∈ G 1 and ∃ z ( ( y , z ) ∈ G 2 and ( z , t ) ∈ G 3 ) ) (\exists y)((x, y) \in G_1 \text{ and } \exists z((y, z) \in G_2 \text{ and } (z, t) \in G_3)) ( ∃ y ) (( x , y ) ∈ G 1 and ∃ z (( y , z ) ∈ G 2 and ( z , t ) ∈ G 3 )) 因此（通过 C33 (章 I, § 4, no. 3)）到关系
(1)
( ∃ y ) ( ∃ z ) ( ( x , y ) ∈ G 1 and ( y , z ) ∈ G 2 and ( z , t ) ∈ G 3 ) . (\exists y)(\exists z)((x, y) \in G_1 \text{ and } (y, z) \in G_2 \text{ and } (z, t) \in G_3). ( ∃ y ) ( ∃ z ) (( x , y ) ∈ G 1 and ( y , z ) ∈ G 2 and ( z , t ) ∈ G 3 ) . 同样，关系( x , t ) ∈ G 3 ∘ ( G 2 ∘ G 1 ) (x, t) \in G_3 \circ (G_2 \circ G_1) ( x , t ) ∈ G 3 ∘ ( G 2 ∘ G 1 )
(2)
( ∃ z ) ( ∃ y ) ( ( x , y ) ∈ G 1 and ( y , z ) ∈ G 2 and ( z , t ) ∈ G 3 ) . (\exists z)(\exists y)((x, y) \in G_1 \text{ and } (y, z) \in G_2 \text{ and } (z, t) \in G_3). ( ∃ z ) ( ∃ y ) (( x , y ) ∈ G 1 and ( y , z ) ∈ G 2 and ( z , t ) ∈ G 3 ) . 但关系 (1) 和 (2) 是等价的；因此结果。
¶ 图 G 3 ∘ ( G 2 ∘ G 1 ) G_3 \circ (G_2 \circ G_1) G 3 ∘ ( G 2 ∘ G 1 ) G 3 ∘ G 2 ∘ G 1 G_3 \circ G_2 \circ G_1 G 3 ∘ G 2 ∘ G 1 G 1 G_1 G 1 G 2 G_2 G 2 G 3 G_3 G 3 G 4 G_4 G 4
G 4 ∘ ( G 3 ∘ G 2 ∘ G 1 ) = G 4 ∘ G 3 ∘ G 2 ∘ G 1 ; G_4 \circ (G_3 \circ G_2 \circ G_1) = G_4 \circ G_3 \circ G_2 \circ G_1; G 4 ∘ ( G 3 ∘ G 2 ∘ G 1 ) = G 4 ∘ G 3 ∘ G 2 ∘ G 1 ; 等等。
( G ′ ∘ G ) ⟨ A ⟩ = G ′ ⟨ G ⟨ A ⟩ ⟩ . (G' \circ G)\langle A \rangle = G'\langle G\langle A \rangle\rangle. ( G ′ ∘ G ) ⟨ A ⟩ = G ′ ⟨ G ⟨ A ⟩⟩ . 因为凭借 C33 (章 I, § 4, no. 3) 关系 z ∈ ( G ′ ∘ G ) ⟨ A ⟩ z \in (G' \circ G)\langle A \rangle z ∈ ( G ′ ∘ G ) ⟨ A ⟩
( ∃ y ) ( ( ∃ x ) ( x ∈ A and ( x , y ) ∈ G ) and ( y , z ) ∈ G ′ ) (\exists y)((\exists x)(x \in A \text{ and } (x, y) \in G) \text{ and } (y, z) \in G') ( ∃ y ) (( ∃ x ) ( x ∈ A and ( x , y ) ∈ G ) and ( y , z ) ∈ G ′ ) 因此相当于 ( ∃ y ) ( y ∈ G ⟨ A ⟩ (\exists y)(y \in G\langle A \rangle ( ∃ y ) ( y ∈ G ⟨ A ⟩ ( y , z ) ∈ G ′ ) (y, z) \in G') ( y , z ) ∈ G ′ )
¶ 如果 G 和 G′ 是两个图，则有 p r 1 ( G ′ ∘ G ) = G − 1 ⟨ p r 1 G ′ ⟩ \mathrm{pr}_1(G' \circ G) = \overset{-1}{G}\langle \mathrm{pr}_1 G'\rangle pr 1 ( G ′ ∘ G ) = G − 1 ⟨ pr 1 G ′ ⟩ p r 2 ( G ′ ∘ G ) = G ′ ⟨ p r 2 G ⟩ \mathrm{pr}_2(G' \circ G) = G'\langle \mathrm{pr}_2 G\rangle pr 2 ( G ′ ∘ G ) = G ′ ⟨ pr 2 G ⟩ z ∈ p r 2 ( G ′ ∘ G ) z \in \mathrm{pr}_2(\mathrm{G}' \circ \mathrm{G}) z ∈ pr 2 ( G ′ ∘ G ) ( ∃ x ) ( ( x , z ) ∈ G ′ ∘ G ) (\exists x)((x, z) \in \mathrm{G}' \circ \mathrm{G}) ( ∃ x ) (( x , z ) ∈ G ′ ∘ G )
( ∃ y ) ( ( ∃ x ) ( ( x , y ) ∈ G ) and ( y , z ) ∈ G ′ ) ; (\exists y)((\exists x)((x, y) \in \mathrm{G}) \quad \text{and} \quad (y, z) \in \mathrm{G}'); ( ∃ y ) (( ∃ x ) (( x , y ) ∈ G ) and ( y , z ) ∈ G ′ ) ; 但这相当于z ∈ G ′ ⟨ p r 2 G ⟩ z \in \mathrm{G}'\langle \mathrm{pr}_2\mathrm{G}\rangle z ∈ G ′ ⟨ pr 2 G ⟩
¶ 如果 G 是一个图并且 X 集合使得 X ⊂ p r 1 G \mathrm{X} \subset \mathrm{pr}_1\mathrm{G} X ⊂ pr 1 G
X ⊂ G − 1 ⟨ G ⟨ X ⟩ ⟩ . \mathrm{X} \subset \overset{-1}{\mathrm{G}}\langle \mathrm{G}\langle \mathrm{X}\rangle\rangle. X ⊂ G − 1 ⟨ G ⟨ X ⟩⟩ . 对于关系x ∈ X x \in \mathrm{X} x ∈ X ( ∃ y ) ( ( x , y ) ∈ G ) (\exists y)((x, y) \in \mathrm{G}) ( ∃ y ) (( x , y ) ∈ G ) ( x , y ) ∈ G (x, y) \in \mathrm{G} ( x , y ) ∈ G ( y , x ) ∈ G − 1 (y, x) \in \overset{-1}{\mathrm{G}} ( y , x ) ∈ G − 1 ( x , y ) ∈ G (x, y) \in \mathrm{G} ( x , y ) ∈ G ( ∃ z ) ( z ∈ X (\exists z)(z \in \mathrm{X} ( ∃ z ) ( z ∈ X ( z , y ) ∈ G ) (z, y) \in \mathrm{G}) ( z , y ) ∈ G ) x ∈ X x \in \mathrm{X} x ∈ X
( ∃ y ) ( ( ∃ z ) ( z ∈ X and ( z , y ) ∈ G ) and ( y , x ) ∈ G − 1 ) , (\exists y)((\exists z)(z \in \mathrm{X} \quad \text{and} \quad (z, y) \in \mathrm{G}) \quad \text{and} \quad (y, x) \in \overset{-1}{\mathrm{G}}), ( ∃ y ) (( ∃ z ) ( z ∈ X and ( z , y ) ∈ G ) and ( y , x ) ∈ G − 1 ) , 也就是说，x ∈ G − 1 ⟨ G ⟨ X ⟩ ⟩ x \in \overset{-1}{\mathrm{G}}\langle \mathrm{G}\langle \mathrm{X}\rangle\rangle x ∈ G − 1 ⟨ G ⟨ X ⟩⟩
¶ 很明显，如果G 1 \mathrm{G}_1 G 1 G 2 \mathrm{G}_2 G 2 G 1 ′ \mathrm{G}'_1 G 1 ′ G 2 ′ \mathrm{G}'_2 G 2 ′ G 1 ⊂ G 2 \mathrm{G}_1 \subset \mathrm{G}_2 G 1 ⊂ G 2 G 1 ′ ⊂ G 2 ′ \mathrm{G}'_1 \subset \mathrm{G}'_2 G 1 ′ ⊂ G 2 ′ G 1 ′ ∘ G 1 ⊂ G 2 ′ ∘ G 2 \mathrm{G}'_1 \circ \mathrm{G}_1 \subset \mathrm{G}'_2 \circ \mathrm{G}_2 G 1 ′ ∘ G 1 ⊂ G 2 ′ ∘ G 2
¶ 令Γ = ( G , A , B ) \Gamma = (\mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B}) Γ = ( G , A , B ) Γ ′ = ( G ′ , B , C ) \Gamma' = (\mathrm{G}', \mathrm{B}, \mathrm{C}) Γ ′ = ( G ′ , B , C ) Γ \Gamma Γ Γ ′ \Gamma' Γ ′ p r 1 ( G ′ ∘ G ) ⊂ p r 1 G ⊂ A \mathrm{pr}_1(\mathrm{G}' \circ \mathrm{G}) \subset \mathrm{pr}_1\mathrm{G} \subset \mathrm{A} pr 1 ( G ′ ∘ G ) ⊂ pr 1 G ⊂ A p r 2 ( G ′ ∘ G ) ⊂ p r 2 G ′ ⊂ C \mathrm{pr}_2(\mathrm{G}' \circ \mathrm{G}) \subset \mathrm{pr}_2\mathrm{G}' \subset \mathrm{C} pr 2 ( G ′ ∘ G ) ⊂ pr 2 G ′ ⊂ C
设*Γ = ( G , A , B ) \Gamma = (\mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B}) Γ = ( G , A , B ) Γ ′ = ( G ′ , B , C ) \Gamma' = (\mathrm{G}', \mathrm{B}, \mathrm{C}) Γ ′ = ( G ′ , B , C ) Γ \Gamma Γ Γ ′ \Gamma' Γ ′ 则对应 ( G ′ ∘ G , A , C ) (\mathrm{G}' \circ \mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{C}) ( G ′ ∘ G , A , C ) 称为 Γ ′ \Gamma' Γ ′ 和 Γ \Gamma Γ Γ ′ ∘ Γ \Gamma' \circ \Gamma Γ ′ ∘ Γ Γ ′ Γ \Gamma'\Gamma Γ ′ Γ
引用了 2 引用了 命题 3 , 命题 5
从命题 5 可以立即得出，如果 X 是 A 的子集，我们就有 ( Γ ′ ∘ Γ ) ⟨ X ⟩ = Γ ′ ⟨ Γ ⟨ X ⟩ ⟩ (\Gamma' \circ \Gamma)\langle \mathrm{X}\rangle = \Gamma'\langle \Gamma\langle \mathrm{X}\rangle\rangle ( Γ ′ ∘ Γ ) ⟨ X ⟩ = Γ ′ ⟨ Γ ⟨ X ⟩⟩ Γ ′ − 1 \overset{-1}{\Gamma'} Γ ′ − 1 Γ − 1 \overset{-1}{\Gamma} Γ − 1 Γ ′ ∘ Γ \Gamma' \circ \Gamma Γ ′ ∘ Γ Γ − 1 ∘ Γ ′ − 1 \overset{-1}{\Gamma} \circ \overset{-1}{\Gamma'} Γ − 1 ∘ Γ ′ − 1
如果*A*是形式*( x , x ) (x, x) ( x , x ) Δ A \Delta_\mathrm{A} Δ A x ∈ A x \in \mathrm{A} x ∈ A A × A \mathrm{A} \times \mathrm{A} A × A
显然我们有p r 1 Δ A = p r 2 Δ A = A \mathrm{pr}_1\Delta_\mathrm{A} = \mathrm{pr}_2\Delta_\mathrm{A} = \mathrm{A} pr 1 Δ A = pr 2 Δ A = A
I A = ( Δ A , A , A ) \mathrm{I}_\mathrm{A} = (\Delta_\mathrm{A}, \mathrm{A}, \mathrm{A}) I A = ( Δ A , A , A ) 称为 A 上的*恒等式对应*；它是它自己的逆。
¶ 如果 A 和 B 之间的Γ \Gamma Γ I A \mathrm{I}_\mathrm{A} I A I B \mathrm{I}_\mathrm{B} I B Γ ∘ I A = I B ∘ Γ = Γ \Gamma \circ \mathrm{I}_\mathrm{A} = \mathrm{I}_\mathrm{B} \circ \Gamma = \Gamma Γ ∘ I A = I B ∘ Γ = Γ
4. Functions
如果对于每个 x 至多有一个对象在 * F (章 I, § 5, no. 3) 下对应到 x，则 graph F * 被称为函数图。 对应 f = ( F , A , B ) f = (\mathrm{F}, \mathrm{A}, \mathrm{B}) f = ( F , A , B ) 如果其图 F 是函数图并且其源 A 等于其域 p r 1 F \mathrm{pr}_1\mathrm{F} pr 1 F 在其他字中，对应 f = ( F , A , B ) f = (\mathrm{F}, \mathrm{A}, \mathrm{B}) f = ( F , A , B ) 是函数，如果对于每个 x 属于到源 A f 关系 ( x , y ) ∈ F (x, y) \in \mathrm{F} ( x , y ) ∈ F 在 y (章 I, § 5, no. 3) 中起作用； f下的对应到x的唯一对象被称为f在 A的元素x处的值，*并用*f ( x ) f(x) f ( x ) f x f_x f x F ( x ) \mathrm{F}(x) F ( x ) F x \mathrm{F}_x F x
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 I § 5. 平等的理论
被以下引用 注 2
如果f f f f f f x x x y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) ( x , y ) ∈ F (x, y) \in \mathrm{F} ( x , y ) ∈ F
空集是一个函数图。每个图为空的函数都有等于空集的定义域和值域。其中函数中，目标为空的（即函数( ∅ , ∅ , ∅ ) (\varnothing,\varnothing,\varnothing) ( ∅ , ∅ , ∅ )
被以下引用 1 被以下引用 定义 1, II § 5
设A为集合。 A (no. 3) 的恒等式对应是函数，称为A的*恒等映射*。
因此，每个集合 A 都有一个关联的家庭，由 A 的恒等映射定义，其指标集合是 A，其元素的集合是 A。滥用语言，集合是有时被称为“家庭”，在这种情况下，它是与集合有问题。
如果对于 f f f x x x x ′ x' x ′ f ( x ) = f ( x ′ ) f(x)=f(x') f ( x ) = f ( x ′ ) f f f
¶ 设 f f f f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x x x x f f f
5. 限制和扩张函数
如果 E 包含在 f f f g g g f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f ( x ) = g ( x ) x ∈ E x\in E x ∈ E f f f g g g 重合 ）。两个具有相同图的函数在其定义域上一致。说f = g f=g f = g f f f g g g
¶ 令 f = ( F , A , B ) f=(F,A,B) f = ( F , A , B ) g = ( G , C , D ) g=(G,C,D) g = ( G , C , D ) F ⊂ G F\subset G F ⊂ G f f f g g g g g g f f f B ⊂ D B\subset D B ⊂ D g g g f f f f f f g g g f f f g g g f f f g g g
¶ 令f f f f f f x ∈ A x\in A x ∈ A y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x x x y y y f f f f f f A A A f ∣ A f|A f ∣ A f f f g g g E E E E E E
6. 定义函数通过项
C54。 令T T T A A A x x x y y y x x x A A A y y y T T T A A A R R R x ∈ A x \in A x ∈ A y = T y = T y = T R R R x x x y y y F F F A A A x ∈ A x \in A x ∈ A T T T x ∈ A x \in A x ∈ A F ( x ) = T F(x) = T F ( x ) = T
对于x ∈ A x \in A x ∈ A B B B T T T
R ⟹ ( ( x , y ) ∈ A × B ) ;
R \Longrightarrow ((x,y) \in A \times B);
R ⟹ (( x , y ) ∈ A × B ) ; 由于A × B A \times B A × B x x x y y y R R R x x x y y y F F F
( x , y ) ∈ F and ( x , y ′ ) ∈ F
(x,y) \in F \quad\text{and}\quad (x,y') \in F
( x , y ) ∈ F and ( x , y ′ ) ∈ F 意味着y = y ′ y = y' y = y ′ F F F
¶ 如果 C C C T T T B B B x ∈ A x \in A x ∈ A y y y C C C ( F , A , C ) (F,A,C) ( F , A , C ) x → T x \to T x → T x ∈ A x \in A x ∈ A T ∈ C T \in C T ∈ C x x x y y y y y y x → T ( x ∈ A ) x \to T(x \in A) x → T ( x ∈ A ) ( T ) x ∈ A (T)_{x \in A} ( T ) x ∈ A x → T x \to T x → T T T T ( T ) (T) ( T ) 因此，如果上下文清楚表明我们的意思是集合复数的映射 x → x 3 x \to x^3 x → x 3 x 3 x^3 x 3
例
如果f f f A A A B B B f f f x → f ( x ) x \to f(x) x → f ( x ) x ∈ A x \in A x ∈ A f ( x ) ∈ B f(x) \in B f ( x ) ∈ B x → f ( x ) x \to f(x) x → f ( x ) ( f x ) x ∈ A (f_x)_{x \in A} ( f x ) x ∈ A
令 G 为有序对的集合。 函数
z → p r 1 z ( z ∈ G , p r 1 z ∈ p r 1 G ) z \to \mathrm{pr}_1 z \quad (z \in \mathrm{G}, \ \mathrm{pr}_1 z \in \mathrm{pr}_1 \mathrm{G}) z → pr 1 z ( z ∈ G , pr 1 z ∈ pr 1 G ) 和
z → p r 2 z ( z ∈ G , p r 2 z ∈ p r 2 G ) z \to \mathrm{pr}_2 z \quad (z \in \mathrm{G}, \ \mathrm{pr}_2 z \in \mathrm{pr}_2 \mathrm{G}) z → pr 2 z ( z ∈ G , pr 2 z ∈ pr 2 G ) 分别称为* G 上的*第一和第二坐标函数；当不存在混淆风险时，它们用 p r 1 \mathrm{pr}_1 pr 1 p r 2 \mathrm{pr}_2 pr 2
7. 合成两个函数。逆函数
如果f是*A*到*B的映射，*并且g是*B*到*C的映射，*那么*g ∘ f g \circ f g ∘ f
设F、G分别为f f f g g g G ∘ F \mathrm{G} \circ \mathrm{F} G ∘ F x x x z z z z ′ z' z ′ ( x , z ) ∈ G ∘ F (x, z) \in \mathrm{G} \circ \mathrm{F} ( x , z ) ∈ G ∘ F ( x , z ′ ) ∈ G ∘ F (x, z') \in \mathrm{G} \circ \mathrm{F} ( x , z ′ ) ∈ G ∘ F y y y y ′ y' y ′
( x , y ) ∈ F , ( x , y ′ ) ∈ F , ( y , z ) ∈ G , ( y ′ , z ′ ) ∈ G . (x, y) \in \mathrm{F}, \qquad (x, y') \in \mathrm{F}, \qquad (y, z) \in \mathrm{G}, \qquad (y', z') \in \mathrm{G}. ( x , y ) ∈ F , ( x , y ′ ) ∈ F , ( y , z ) ∈ G , ( y ′ , z ′ ) ∈ G . 由于 F 是函数图，因此我们有 y = y ′ y = y' y = y ′ ( y , z ′ ) ∈ G (y, z') \in \mathrm{G} ( y , z ′ ) ∈ G z = z ′ z = z' z = z ′ g ∘ f g \circ f g ∘ f
¶ 函数 g ∘ f g \circ f g ∘ f x → g ( f ( x ) ) x \to g(f(x)) x → g ( f ( x )) g f gf g f
令f 为* A 到 B 的映射。 映射 f 被称为单射，或单射，如果 A * 的任何两个不同的元素在 f 下具有不同的像。 映射 f 被称为满射，或满射，if* f ( A ) = B f(\mathrm{A}) = \mathrm{B} f ( A ) = B
我们有时不是说f f f f f f 到 B上的映射，或者说它是B通过A的*参数表示*（在这种情况下，A被称为参数*的*集合） A 的表示和元素称为*参数*）。如果f f f 置换 。
例
如果A到B的A ⊂ B \mathrm{A} \subset \mathrm{B} A ⊂ B
设 A 为集合。 A 的映射x → ( x , x ) x \to (x, x) x → ( x , x ) A × A \mathrm{A} \times \mathrm{A} A × A Δ A \Delta_\mathbf{A} Δ A
令 G 为集合 / 有序对。 G 的映射 p r 1 \mathrm{pr}_1 pr 1 p r 2 \mathrm{pr}_2 pr 2 p r 1 G \mathrm{pr}_1\mathrm{G} pr 1 G p r 2 G \mathrm{pr}_2\mathrm{G} pr 2 G p r 1 \mathrm{pr}_1 pr 1
令 G 为有序对的集合。 映射
z → ( p r 2 z , p r 1 z ) z \to (\mathrm{pr}_2 z,\ \mathrm{pr}_1 z) z → ( pr 2 z , pr 1 z ) G 到G − 1 \overset{-1}{\mathrm{G}} G − 1
设 A 为集合和 b b b x → ( x , b ) x \to (x,\ b) x → ( x , b ) A × { b } \mathrm{A} \times \{b\} A × { b }
设f f f f − 1 \overset{-1}{f} f − 1 f f f
如果f − 1 \overset{-1}{f} f − 1 f ( A ) f(\mathrm{A}) f ( A ) f f f f f f x x x y y y f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) f f f
( f ( x ) , x ) ∈ F − 1 and ( f ( y ) , y ) ∈ F − 1 , (f(x),\ x) \in \overset{-1}{\mathrm{F}} \qquad \text{and} \qquad (f(y),\ y) \in \overset{-1}{\mathrm{F}}, ( f ( x ) , x ) ∈ F − 1 and ( f ( y ) , y ) ∈ F − 1 , 因而
( f ( x ) , y ) ∈ F − 1 , (f(x),\ y) \in \overset{-1}{\mathrm{F}}, ( f ( x ) , y ) ∈ F − 1 , 这样x = y x = y x = y
¶ 相反，如果 f f f F − 1 \overset{-1}{\mathrm{F}} F − 1 f − 1 \overset{-1}{f} f − 1
当f f f f − 1 \overset{-1}{f} f − 1 f f f f − 1 \overset{-1}{f} f − 1 f − 1 ∘ f \overset{-1}{f} \circ f f − 1 ∘ f f ∘ f − 1 f \circ \overset{-1}{f} f ∘ f − 1
¶ 如果置换与其逆元相同，则称其为*对合*。
8. 缩回与截面
如果存在 B 的映射 r r r r ∘ f r \circ f r ∘ f f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) x ∈ A x \in A x ∈ A y ∈ A y \in A y ∈ A x = r ( f ( x ) ) = r ( f ( y ) ) = y x = r(f(x)) = r(f(y)) = y x = r ( f ( x )) = r ( f ( y )) = y f f f s s s f ∘ s f \circ s f ∘ s B = f ( s ( B ) ) ⊂ f ( A ) ⊂ B B = f(s(B)) \subset f(A) \subset B B = f ( s ( B )) ⊂ f ( A ) ⊂ B f f f f f f τ y ( y ∈ A and f ( y ) = x ) \tau_y(y \in A \text{ and } f(y) = x) τ y ( y ∈ A and f ( y ) = x ) f ( T ) = x f(T) = x f ( T ) = x x ∈ B x \in B x ∈ B s s s x → T x \to T x → T ( x ∈ B , T ∈ A ) (x \in B, T \in A) ( x ∈ B , T ∈ A ) f ∘ s f \circ s f ∘ s f f f ≠ ∅ \neq \emptyset = ∅ a a a
“ ( y ∈ A and x = f ( y ) ) or ( y = a and x ∈ B − f ( A ) ) ” \text{“}(y \in A \text{ and } x = f(y)) \text{ or } (y = a \text{ and } x \in B - f(A))\text{''} “ ( y ∈ A and x = f ( y )) or ( y = a and x ∈ B − f ( A )) ” 蕴含( x , y ) ∈ B × A (x, y) \in B \times A ( x , y ) ∈ B × A x x x y y y f f f x ∈ B − f ( A ) x \in B - f(A) x ∈ B − f ( A ) R ( x ) = a R(x) = a R ( x ) = a x ∈ f ( A ) x \in f(A) x ∈ f ( A ) f ( R ( x ) ) = x f(R(x)) = x f ( R ( x )) = x r = ( R , B , A ) r = (R, B, A) r = ( R , B , A ) r ∘ f r \circ f r ∘ f
设* A，B 为集合，设f f f A 入 B的映射，*并令g g g 入 A的映射。 如果g ∘ f g \circ f g ∘ f A 的恒等映射且如果f ∘ g f \circ g f ∘ g B 的恒等映射，*则 f f f g g g g = f − 1 g = \overset{-1}{f} g = f − 1
被以下引用 1 被以下引用 注, IV § 2
设 f f f 到 B 的单射*（或*满射*）*映射。*任意映射 r r r s s s 到 A 使得 r ∘ f r \circ f r ∘ f （或f ∘ s f \circ s f ∘ s 是 A（分别为B）的恒等映射*称为撤回*（分别为*截面*）*f f f
被以下引用 6 被以下引用 例, A I § 2 , 命题 15, A II § 1 , 推论, II § 5 , 命题 2, II § 5 , II § 6. 等价关系 , 命题 9, TG I § 3
使用有时代替撤回（或截面）短语*左逆*（或*右逆*）。
¶ 如果 f f f r r r s s s f f f f f f r r r s s s
¶ 如果f f f s s s s ′ s' s ′ f f f s ( B ) = s ′ ( B ) s(\mathrm{B}) = s'(\mathrm{B}) s ( B ) = s ′ ( B ) s = s ′ s = s' s = s ′ x ∈ B x \in \mathrm{B} x ∈ B y ∈ B y \in \mathrm{B} y ∈ B s ( x ) = s ′ ( y ) s(x) = s'(y) s ( x ) = s ′ ( y ) x = f ( s ( x ) ) = f ( s ′ ( y ) ) = y x = f(s(x)) = f(s'(y)) = y x = f ( s ( x )) = f ( s ′ ( y )) = y s ( x ) = s ′ ( x ) s(x) = s'(x) s ( x ) = s ′ ( x ) s = s ′ s = s' s = s ′ s s s s ( B ) s(\mathrm{B}) s ( B ) s ( B ) s(\mathrm{B}) s ( B ) f f f
(a) 如果f f f f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ r r r r ′ r' r ′ f f f f ′ f' f ′ r ∘ r ′ r \circ r' r ∘ r ′ f ′ ′ f'' f ′′
(b) 如果 f f f f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ s s s s ′ s' s ′ f f f f ′ f' f ′ s ∘ s ′ s \circ s' s ∘ s ′ f ′ ′ f'' f ′′
(c) 如果f ′ ′ f'' f ′′ f f f r ′ ′ r'' r ′′ f ′ ′ f'' f ′′ r ′ ′ ∘ f ′ r'' \circ f' r ′′ ∘ f ′ f f f
(d) 如果 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ f' f ′ s ′ ′ s'' s ′′ f ′ ′ f'' f ′′ f ∘ s ′ ′ f \circ s'' f ∘ s ′′ f ′ f' f ′
(e) 如果 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ f' f ′ f f f s ′ ′ s'' s ′′ f ′ ′ f'' f ′′ s ′ ′ ∘ f ′ s'' \circ f' s ′′ ∘ f ′ f f f
(f) 如果f ′ ′ f'' f ′′ f f f f ′ f' f ′ r ′ ′ r'' r ′′ f ′ ′ f'' f ′′ f ∘ r ′ ′ f \circ r'' f ∘ r ′′ f ′ f' f ′
对于每个集合 E，令 I E \mathrm{I_E} I E
(a) 我们有 r ∘ f = I A r \circ f = \mathrm{I_A} r ∘ f = I A r ′ ∘ f ′ = I B r' \circ f' = \mathrm{I_B} r ′ ∘ f ′ = I B
( r ∘ r ′ ) ∘ ( f ′ ∘ f ) = r ∘ I B ∘ f = r ∘ f = I A . (r \circ r') \circ (f' \circ f) = r \circ \mathrm{I_B} \circ f = r \circ f = \mathrm{I_A}. ( r ∘ r ′ ) ∘ ( f ′ ∘ f ) = r ∘ I B ∘ f = r ∘ f = I A . 如果 f f f f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ A ≠ ∅ \mathrm{A} \neq \emptyset A = ∅ A = ∅ \mathrm{A} = \emptyset A = ∅
(b) 我们有 f ∘ s = I B f \circ s = \mathrm{I_B} f ∘ s = I B f ′ ∘ s ′ = I C f' \circ s' = \mathrm{I_C} f ′ ∘ s ′ = I C
( f ′ ∘ f ) ( s ∘ s ′ ) = f ′ ∘ I B ∘ s ′ = f ′ ∘ s ′ = I C . (f' \circ f)(s \circ s') = f' \circ \mathrm{I_B} \circ s' = f' \circ s' = \mathrm{I_C}. ( f ′ ∘ f ) ( s ∘ s ′ ) = f ′ ∘ I B ∘ s ′ = f ′ ∘ s ′ = I C . 如果 f f f f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′
(c) 我们有r ′ ′ ∘ f ′ ′ = I A r'' \circ f'' = \mathrm{I_A} r ′′ ∘ f ′′ = I A ( r ′ ′ ∘ f ′ ) ∘ f = r ′ ′ ∘ f ′ ′ = I A (r'' \circ f') \circ f = r'' \circ f'' = \mathrm{I_A} ( r ′′ ∘ f ′ ) ∘ f = r ′′ ∘ f ′′ = I A f ′ ′ f'' f ′′ f f f A ≠ ∅ \mathrm{A} \neq \emptyset A = ∅ A = ∅ \mathrm{A} = \emptyset A = ∅
(d) 我们有f ′ ′ ∘ s ′ ′ = I C f'' \circ s'' = \mathrm{I_C} f ′′ ∘ s ′′ = I C f ′ ∘ ( f ∘ s ′ ′ ) = f ′ ′ ∘ s ′ ′ = I C f' \circ (f \circ s'') = f'' \circ s'' = \mathrm{I_C} f ′ ∘ ( f ∘ s ′′ ) = f ′′ ∘ s ′′ = I C f ′ ′ f'' f ′′ f ′ f' f ′
(e) 我们有f ′ ′ ∘ s ′ ′ = I C f'' \circ s'' = \mathrm{I_C} f ′′ ∘ s ′′ = I C f ′ f' f ′
f ∘ ( s ′ ′ ∘ f ′ ) = ( f − 1 ′ ∘ f ′ ) ∘ f ∘ ( s ′ ′ ∘ f ′ ) = f − 1 ′ ∘ ( f ′ ′ ∘ s ′ ′ ) ∘ f ′ f \circ (s'' \circ f') \;=\; (\overset{-1}{f}{}' \circ f') \circ f \circ (s'' \circ f') \;=\; \overset{-1}{f}{}' \circ (f'' \circ s'') \circ f' f ∘ ( s ′′ ∘ f ′ ) = ( f − 1 ′ ∘ f ′ ) ∘ f ∘ ( s ′′ ∘ f ′ ) = f − 1 ′ ∘ ( f ′′ ∘ s ′′ ) ∘ f ′ = f − 1 ′ ∘ I C ∘ f ′ = f − 1 ′ ∘ f ′ = I B . = \overset{-1}{f}{}' \circ \mathrm{I_C} \circ f' = \overset{-1}{f}{}' \circ f' = \mathrm{I_B}. = f − 1 ′ ∘ I C ∘ f ′ = f − 1 ′ ∘ f ′ = I B . 如果 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ f' f ′ f f f
(f) 我们有 r ′ ′ ∘ f ′ ′ = I A r'' \circ f'' = \mathrm{I_A} r ′′ ∘ f ′′ = I A f f f
( f ∘ r ′ ′ ) ∘ f ′ = ( f ∘ r ′ ′ ) ∘ f ′ ∘ ( f ∘ f − 1 ) = f ∘ ( r ′ ′ ∘ f ′ ′ ) ∘ f − 1 = f ∘ I A ∘ f − 1 (f \circ r'') \circ f' = (f \circ r'') \circ f' \circ (f \circ \overset{-1}{f}) = f \circ (r'' \circ f'') \circ \overset{-1}{f} = f \circ \mathrm{I_A} \circ \overset{-1}{f} ( f ∘ r ′′ ) ∘ f ′ = ( f ∘ r ′′ ) ∘ f ′ ∘ ( f ∘ f − 1 ) = f ∘ ( r ′′ ∘ f ′′ ) ∘ f − 1 = f ∘ I A ∘ f − 1 = f ∘ f − 1 = I B . = f \circ \overset{-1}{f} = \mathrm{I_B}. = f ∘ f − 1 = I B . 如果f ′ ′ f'' f ′′ f f f f ′ f' f ′ A ≠ ∅ \mathrm{A} \neq \emptyset A = ∅ A = ∅ \mathrm{A} = \emptyset A = ∅ B = f ⟨ A ⟩ = ∅ \mathrm{B} = f\langle \mathrm{A}\rangle = \emptyset B = f ⟨ A ⟩ = ∅
(a) 设 E，F，G 为集合，让 g g g 为 E 的映射 到* F 和 f f f 到 G。*则存在* F 到 G 的映射 h h h 这样 f = h ∘ g f = h \circ g f = h ∘ g 当且仅当关系 g ( x ) = g ( y ) g(x) = g(y) g ( x ) = g ( y ) （其中 x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E y ∈ E y \in \mathrm{E} y ∈ E f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) 映射 h h h 则由 f f f 如果 s s s g g g h = f ∘ s h = f \circ s h = f ∘ s
E ↘ f g ↓ ↑ s F ⟶ h G ↗ f E r ↓ ↑ g G ⟶ h F \begin{array}{ccc}
\mathrm{E} & \overset{f}{\searrow} & \\
{\scriptstyle g}\big\downarrow\big\uparrow{\scriptstyle s} & & \\
\mathrm{F} & \underset{h}{\longrightarrow} & \mathrm{G}
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{ccc}
& \overset{f}{\nearrow} & \mathrm{E} \\
& & {\scriptstyle r}\big\downarrow\big\uparrow{\scriptstyle g} \\
\mathrm{G} & \underset{h}{\longrightarrow} & \mathrm{F}
\end{array} E g ↓ ⏐ ⏐ ↑ s F ↘ f h ⟶ G G ↗ f h ⟶ E r ↓ ⏐ ⏐ ↑ g F (a) (b) \text{(a)} \qquad\qquad\qquad \text{(b)} (a) (b) 被以下引用 1 被以下引用 II § 6. 等价关系
(b) 设 E、F、G 为集合，让 g g g 为 F *的单射 入 E，*且令* f f f 为 G 入 E 的映射。 则存在映射 h h h of G 进入 F*使得*f = g ∘ h f = g \circ h f = g ∘ h f ( G ) ⊂ f ( F ) f(\mathrm{G}) \subset f(\mathrm{F}) f ( G ) ⊂ f ( F ) 映射 h h h 由 f f f 如果 r r r g g g h = r ∘ f h = r \circ f h = r ∘ f
(a) 如果f = h ∘ g f = h \circ g f = h ∘ g g ( x ) = g ( y ) g(x) = g(y) g ( x ) = g ( y ) x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E y ∈ E y \in \mathrm{E} y ∈ E f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) g g g s s s
h = h ∘ ( g ∘ s ) = f ∘ s , h = h \circ (g \circ s) = f \circ s, h = h ∘ ( g ∘ s ) = f ∘ s , 这表明h h h f f f g ( x ) = g ( y ) g(x) = g(y) g ( x ) = g ( y ) f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y ) s s s g g g h = f ∘ s h = f \circ s h = f ∘ s x ∈ E x \in E x ∈ E g ( s ( g ( x ) ) ) = g ( x ) g(s(g(x))) = g(x) g ( s ( g ( x ))) = g ( x ) f ( s ( g ( x ) ) ) = f ( x ) f(s(g(x))) = f(x) f ( s ( g ( x ))) = f ( x ) h ( g ( x ) ) = f ( x ) h(g(x)) = f(x) h ( g ( x )) = f ( x ) f = h ∘ g f = h \circ g f = h ∘ g
(b) 如果f = g ∘ h f = g \circ h f = g ∘ h f ( G ) ⊂ f ( F ) f(G) \subset f(F) f ( G ) ⊂ f ( F ) g g g r r r h = ( r ∘ g ) ∘ h = r ∘ f h = (r \circ g) \circ h = r \circ f h = ( r ∘ g ) ∘ h = r ∘ f h h h f f f f ( G ) ⊂ f ( F ) f(G) \subset f(F) f ( G ) ⊂ f ( F ) r r r g g g h = r ∘ f h = r \circ f h = r ∘ f x ∈ G x \in G x ∈ G y ∈ F y \in F y ∈ F f ( x ) = g ( y ) f(x) = g(y) f ( x ) = g ( y )
g ( h ( x ) ) = g ( r ( f ( x ) ) ) = g ( r ( g ( y ) ) ) = g ( y ) = f ( x ) g(h(x)) = g(r(f(x))) = g(r(g(y))) = g(y) = f(x) g ( h ( x )) = g ( r ( f ( x ))) = g ( r ( g ( y ))) = g ( y ) = f ( x ) 因此f = g ∘ h f = g \circ h f = g ∘ h
9. 函数两个参数
两个参数*的*函数是函数，其域是有序对的集合（或者等效地，乘积的子集）。令f f f ( x , y ) (x, y) ( x , y ) f f f ( x , y ) (x, y) ( x , y ) f f f f ( ( x , y ) ) f((x, y)) f (( x , y )) f ( x , y ) f(x, y) f ( x , y )
¶ 令 f f f y y y A y A_y A y x x x ( x , y ) ∈ D (x, y) \in D ( x , y ) ∈ D D − 1 \overset{-1}{D} D − 1 y y y
x → f ( x , y ) ( x ∈ A y , f ( x , y ) ∈ C ) x \to f(x, y) \quad (x \in A_y, f(x, y) \in C) x → f ( x , y ) ( x ∈ A y , f ( x , y ) ∈ C ) 被称为*由f f f y y y f ( ∙ , y ) f(\bullet, y) f ( ∙ , y ) f ( , y ) f(\ , y) f ( , y ) f y f_y f y ( x , y ) ∈ D (x, y) \in D ( x , y ) ∈ D f ( ∙ , y ) ( x ) = f ( x , y ) f(\bullet, y)(x) = f(x, y) f ( ∙ , y ) ( x ) = f ( x , y ) x x x B x B_x B x y y y ( x , y ) ∈ D (x, y) \in D ( x , y ) ∈ D
y → f ( x , y ) ( y ∈ B x , f ( x , y ) ∈ C ) y \to f(x, y) \quad (y \in B_x, f(x, y) \in C) y → f ( x , y ) ( y ∈ B x , f ( x , y ) ∈ C ) 被称为*由f f f x x x f ( x , ∙ ) f(x, \bullet) f ( x , ∙ ) f ( x , ) f(x, \ ) f ( x , ) f x f_x f x ( x , y ) ∈ D (x, y) \in D ( x , y ) ∈ D f ( x , ∙ ) ( y ) = f ( x , y ) f(x, \bullet)(y) = f(x, y) f ( x , ∙ ) ( y ) = f ( x , y )
¶ 如果对于每个 y y y x x x f ( ∙ , y ) f(\bullet, y) f ( ∙ , y ) f ( x , ∙ ) f(x, \bullet) f ( x , ∙ ) f f f 不依赖于 它的第一个（或第二个）参数；因此，这意味着每当 ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( x ′ , y ) (x', y) ( x ′ , y ) f ( x , y ) = f ( x ′ , y ) f(x, y) = f(x', y) f ( x , y ) = f ( x ′ , y ) ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( x , y ′ ) (x, y') ( x , y ′ ) f ( x , y ) = f ( x , y ′ ) f(x, y) = f(x, y') f ( x , y ) = f ( x , y ′ ) y y y g ( y ) g(y) g ( y ) x ∈ A y x \in A_y x ∈ A y f ( x , y ) f(x, y) f ( x , y ) y → g ( y ) y \to g(y) y → g ( y ) p r 2 D \mathrm{pr}_2 D pr 2 D
g ( y ) = f ( x , y ) for all ( x , y ) ∈ D . g(y) = f(x, y) \qquad \text{for all } (x, y) \in D. g ( y ) = f ( x , y ) for all ( x , y ) ∈ D . ¶ 相反，令 g g g A × B A \times B A × B ( x , y ) → g ( y ) (x, y) \to g(y) ( x , y ) → g ( y )
¶ 令 u u u v v v A × B A \times B A × B C × D C \times D C × D z → ( u ( p r 1 z ) , v ( p r 2 z ) ) z \to (u(\mathrm{pr}_1 z), v(\mathrm{pr}_2 z)) z → ( u ( pr 1 z ) , v ( pr 2 z )) 规范 ) 扩张 u u u v v v , or simply 乘积 of u u u v v v (if there is no risk of confusion);它的范围是u ⟨ A ⟩ × v ⟨ B ⟩ u\langle A\rangle \times v\langle B\rangle u ⟨ A ⟩ × v ⟨ B ⟩ u × v u \times v u × v u u u v v v u × v u \times v u × v u u u v v v u × v u \times v u × v u − 1 × v − 1 \overset{-1}{u} \times \overset{-1}{v} u − 1 × v − 1 u ′ u' u ′ v ′ v' v ′
( u ′ × v ′ ) ∘ ( u × v ) = ( u ′ ∘ u ) × ( v ′ ∘ v ) . (u' \times v') \circ (u \times v) = (u' \circ u) \times (v' \circ v). ( u ′ × v ′ ) ∘ ( u × v ) = ( u ′ ∘ u ) × ( v ′ ∘ v ) . 如果U、V分别是u u u v v v u × v u \times v u × v ( A × B ) × ( C × D ) (A \times B) \times (C \times D) ( A × B ) × ( C × D ) ( ( x , y ) , ( z , t ) ) ((x,y), (z, t)) (( x , y ) , ( z , t )) ( x , z ) ∈ U (x, z) \in U ( x , z ) ∈ U ( y , t ) ∈ V (y, t) \in V ( y , t ) ∈ V ( ( x , y ) , ( z , t ) ) → ( ( x , z ) , ( y , t ) ) ((x, y), (z, t)) \to ((x, z), (y, t)) (( x , y ) , ( z , t )) → (( x , z ) , ( y , t )) U × V U \times V U × V ( A × C ) × ( B × D ) (A \times C) \times (B \times D) ( A × C ) × ( B × D )
习题
参见习题为 § 3 。