由$n \geqslant$上的归纳，映射$f_n : M_n(X) \to M$定义如下：对于 n \geq 2，映射 f_n 由 $p = 1, 2, \ldots, n-1$ 中的 $f_n(w.w') = f_p(w).f_{n-p}(w')$ 和 $M_p(X) \times M_{n-p}(X)$ 中的 $(w, w')$ 定义。让$g$是$M(X)$的映射进入$M$，其中诱导$f_n$在$M_n(X)$上，对于每个整数$n \geq 1$。显然，$g$ 是$M(X)$ 的唯一态射到$M$，其中扩展 $f$。

设$u$为$X$的映射到集合$Y$。到命题 1，$M(X)$ 到$M(Y)$ 中存在且仅有一个同态，其中重合和$X$ 上的$u$。它将用$M(u)$表示。如果$v$是$Y$的映射变成集合$Z$，$M(X)$的同态$M(v) \circ M(u)$变成$M(Z)$重合，$v \circ u$在$X$， 从而

假设 $u$ 是单射的。当 $X$ 为空时，$M(X)$ 为空，因此 $M(u)$ 是单射的。如果$X$非空，$X$中存在$Y$的映射$v$，使得$v \circ u$是$X$的恒等映射（*集合理论*，II, § 3, no. 8， 命题8); 映射 $M(v) \circ M(u) = M(v \circ u)$ 是 $M(X)$ 的恒等映射，因此 $M(u)$ 是单射的。

当$u$是满射时，$X$中存在$Y$的映射$w$，使得$u \circ w$是$Y$的恒等映射（*集合理论*，II, § 3, no. 8， 命题8)。那么 $M(u) \circ M(w) = M(u \circ w)$ 是 $M(Y)$ 的恒等映射，因此 $M(u)$ 是满射。

最后，如果 $u$ 是双射的，那么它是单射和满射的，因此 $M(u)$ 具有相同的性质。

令 $S$ 为 $X$ 中的子集。通过 $S$ 的命题 2 单射进入$X$，可以扩展到$M(S)$ 的同构到$M(X)$ 的子岩浆$M'(S)$。岩浆$M(S)$和$M'(S)$是通过这个同构来识别的。那么$M(S)$就是$S$生成的$M(X)$的次岩浆。

设$X$为集合，$(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$为$M(X)$的元素的有序对的族。令$R$为$M(X)$上的等价关系，与$M(X)$的律兼容，并由$(u_\alpha, v_\alpha)$（§ 1, no. 6）生成。岩浆$M(X)/R$称为*由$X$和相关子*$(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$定义的岩浆。令$h$为$M(X)$到$M(X)/R$的规范态射。然后$M(X)/R$由$h(X)$生成。

令$N$为岩浆，$(n_x)_{x \in X}$为元素和$N$的族。令 $k$ 为从 $M(X)$ 到 $N$ 的态射，使得 $k(x) = n_x$ 对于所有 $x \in X$ (命题 1)。如果$k(u_\alpha) = k(v_\alpha)$对于所有$\alpha \in I$，则存在且仅有一个态射$f : M(X)/R \to N$，使得$f(h(x)) = n_x$对于所有$x \in X$（§ 1, no. 6，命题9）。

设$g$是$\mathrm{Mo}(\mathbf{X})$的同态延伸到$M$延伸$f$。如果$w = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$是字，那么$w = \prod_{i=1}^n x_i$在幺半群$\mathrm{Mo}(\mathbf{X})$、从而中

在幺半群 $M$ (§ 1, no. 2, 公式 (2)) 中。这就证明了 $g$ 的唯一性。

让$h(w) = \prod_{i=1}^n f(x_i)$对应于每个字$w = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$。 $\mathrm{Mo}(\mathbf{X})$中乘积的结合性定理（§ 1, no. 3，定理1）和定义意味着$h(ww') = h(w)h(w')$。按照惯例，空的乘积$h(e)$是$M$的单位元素，$h(x) = f(x)$是$x \in \mathbf{X}$。因此，$h$是$\mathrm{Mo}(x)$的同态延伸到$M$延伸$f$。

令$u : \mathbf{X} \to \mathbf{Y}$为映射。到命题 3 时，Mo(Y) 中存在且仅有一个同态的 Mo(X)，其中重合且 u 在X；用Mo(u)表示。它映射字$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$到字$(u(x_i))_{1 \leq i \leq n}$。与岩浆 (no. 1) 的情况一样，对于每个映射 $v : Y \to Z$，方程 Mo(v \circ u) = Mo(v) \circ Mo(u) 成立，并且可以证明，如果 u 是，则 Mo(u) 是单射（或满射、双射的）。对于X的每个子集 S，Mo(S) 可以用 S 生成的 Mo(X) 的子幺半群来标识。

设X为集合，$(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$为Mo(X)的元素的有序对族。令 R 为 Mo(X) 上的等价关系，与 Mo(X) 上的律兼容，并由 $(u_\alpha, v_\alpha)$ (§ 1, no. 6) 生成。幺半群 Mo(X)/R 被称为*由 X 和关系子* $(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$ 定义的幺半群。令 h 为 Mo(X) 在 Mo(X)/R 上的规范态射。然后Mo(X)由h(X)生成。

令 N 为幺半群，$(n_x)_{x \in X}$ N 的元素族。令 k 为 N 中 Mo(X) 的态射，使得 $k(x) = n_x$ 对于所有 $x \in X$ (命题 3)。如果$k(u_\alpha) = k(v_\alpha)$对于所有$\alpha \in I$，则存在且仅存在一种岩浆态射$f : Mo(X)/R \to N$，使得$f(h(x)) = n_x$对于所有$x \in X$（§ 1, no. 6，命题9）；由于 k 是单位，因此 f 是幺半群态射。

(b) 令$M'$为幺半群，$f' : M_i \to M'$（对于$i \in I$）同态，使得$f_i \circ h_i$独立于$i \in I$。存在且仅有一个同态 $f : M \to M'$，使得 $f_i = f \circ \phi_i$ 对于所有 $i \in I$。

接下来我们将进行以下假设：

(A) 对于所有$i \in I$，存在$M_i$包含$e_i$的子集$P_i$，使得$A \times P_i$到$M_i$的映射$(a, p) \mapsto h_i(a).p$是双射的。

这意味着同态 $h_i$ 是单射的。让$x \in M$；每有限序列 $\sigma = (a; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$，其中 $a \in A, i_\alpha \in I$ 和 $p_\alpha \in P_{i_\alpha}$ 为 $1 \leq \alpha \leq n$、满足

称为 $x$ 的分解。 整数$n \geq 0$称为分解$\sigma$的长度，记为$l(\sigma)$； 序列$(e)$是$M$单位元素长度分解0。如果$i_\alpha \neq i_{\alpha+1}$代表$1 \leq \alpha < n$，$p_\alpha \neq e_{i_\alpha}$代表$1 \leq \alpha \leq n$，则分解$\sigma$被称为缩减。

(A) 减少的分解的唯一性：

让$\Sigma$表示序列$\sigma = (a; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$的集合，其中$n \geq 0$、$a \in A, i_\alpha \in I$和$p_\alpha \in P_{i_\alpha} - \{e_{i_\alpha}\}$代表$1 \leq \alpha \leq n$，这样$i_\alpha \neq i_{\alpha+1}$代表$1 \leq \alpha < n$。让 $\Phi$ 表示 $\Sigma$ 的映射到 $M$ 定义为

$x \in M$的减少分解是$\Sigma$的元素$\sigma$，这样$\Phi(\sigma) = x$。

对于所有$i \in I$，令$\Sigma_i$为序列$(e; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$的$\Sigma$由……组成的子集，当$n > 0$时为$i \neq i_1$。让

位于$\Sigma_i$且$\xi$位于$M_i$；让 $\xi = h_i(a) \cdot p$ 与 $a \in A$ 和 $p \in P_i$，以及

$\Psi_i$是$M_i \times \Sigma_i$的双射到$\Sigma$，就是直接的。

设$i \in I$和$x \in M_i$；由于 $\Psi_i$ 是双射，$\Sigma$ 的映射 $f_{i,x}$ 自身定义为

此外，对于 $a \in A, f_a$ 表示 $\Sigma$ 的映射自身定义为

显然，$f_{i,e_i}$ 是$\Sigma$ 的恒等映射，$M_i$ 中$x, x'$ 是$f_{i,xx'} = f_{i,x} \circ f_{i,x'}$，$a \in A$ 和$i \in I$ 中$f_{i,h_i(a)} = f_a$。

那么命题 4 可以应用于以下情况：$M'$是$\Sigma$的映射的幺半群，律是合成$(f,f') \mapsto f \circ f'$，并且f_i是$M_i$的同态$x \mapsto f_{i,x}$ $M'$；那么$M$到$M'$存在同态$f$，使得$f_{i,x} = f(\phi_i(x))$对应于$i \in I$和$x \in M_i$。让

处于$\Sigma$。 公式 (5) 至 (7) 由 $n$ 关系上的归纳暗示 即$\sigma = f(\Phi(\sigma))(e)$。这证明$\Phi$是单射的。

(B) 分解的存在：

令$D$为承认分解的$M$元素集合。然后$e \in D$和$M$由$\bigcup_{i \in I} \phi_i(M_i)$生成，因此由$h(A) \cup \bigcup_{i \in I} \phi_i(P_i)$生成。那么$D.\phi_i(P_i) \subset D$对于所有$i \in I$；要证明$D = M$，只需证明关系$D.h(A) \subset D$即可。这是从以下更精确的引理得出的：

(C) 证明结束:

令$x \in M$且令$n$为$x$的分解中的长度中的最小值。我们将证明长度$n$的$x$中的每一个分解$\sigma$都会减少。这将确定分解减少为 $x$ 的存在；减少的分解的唯一性则意味着对于$x$的每个分解$\sigma' \neq \sigma$有$l(\sigma') > l(\sigma)$。

案例$n = 0$很简单，假设$n > 0$。让

为长度$n$$x$分解。如果存在整数$\alpha$与$1 \leq \alpha \leq n$和$p_\alpha = e_{i_\alpha}$，序列

将是分解 / $x$ / 长度 $n - 1$，已排除。假设存在整数 $\alpha$ 以及 $1 \leq \alpha < n$ 和 $i_{\alpha} = i_{\alpha + 1}$ 并让

$a' \in \mathbf{A}$ 和 $p'_{\alpha} \in P_{i_{\alpha}}$；到引理 1 存在元素 $a'' \in \mathbf{A}$， 这样 和序列 是长度$n - 1$的分解$x$，这是一个矛盾。

由此我们证明了$\sigma$被减少了。

首先$h$是单射的：如果$h(a) = h(a')$，则$(a)$和$(a')$是$M$、从而$a = a'$的相同元素的两个约化分解。让$i \in I$；然后$h(\mathbf{A}) = \phi_{i}(h_{i}(\mathbf{A})) \subset \phi_{i}(M_{i})$；减少分解的唯一性意味着

从而$\phi_{i}(M_{i} - h_{i}(\mathbf{A})) = \phi_{i}(M_{i}) - h(\mathbf{A})$。

同态 $\phi_{i}$ 和关系的单射性

对于$i \neq j$，则推论属于以下事实：对于$I$中的$i, j$、$M_{i} - h_{i}(\mathbf{A})$中的$x$和$M_{j} - h_{j}(\mathbf{A})$中的$y$，关系$\phi_{i}(x) = \phi_{j}(y)$意味着$i = j$并且$x = y$。让$x = h_{i}(a) \cdot p$和$y = h_{j}(b) \cdot q$与$\mathbf{A}$中的$a, b$，$P_{i} - \{e_{i}\}$中的$p$以及$P_{j} - \{e_{j}\}$中的$y$。那么$\phi_{i}(x) = h(a)\phi_{i}(p)$和$\phi_{j}(y) = h(b)\phi_{j}(q)$，因此$(a; i; p)$和$(b; j; q)$是$M$的相同元素的两个减少的分解。由此可见$i = j, a = b$和$p = q$、从而$x = h_{i}(a)p = h_{j}(b)q = y$。

当满足假设(A)时，我们可以通过$\phi_{i}$来认同每个幺半群$M_{i}$，其中子幺半群为$M$；同样，我们将认同$\mathbf{A}$与子幺半群乘以$M$乘以$h$。然后$M$由$\bigcup_{i \in I} M_{i}$和$M_{i} \cap M_{j} = \mathbf{A}$生成$i \neq j$。

$M$的每个元素都可以唯一地写成形式$a \prod_{\alpha = 1}^{n} p_{\alpha}$，其中$a \in \mathbf{A}, p_{1} \in P_{i_{1}} - \{e\}, \ldots, p_{n} \in P_{i_{n}} - \{e\}$和$i_{\alpha} \neq i_{\alpha + 1}$代表$1 \leq \alpha < n$。最后，如果$M'$是幺半群，并且$(f_{i}: M_{i} \to M')$（对于$i \in I$）同态的族，其限制到$\mathbf{A}$与$\mathbf{A}$到$M'$的同态相同，则存在一个且仅有一个同态$f: M \to M'$在$M_{i}$上为所有$i \in I$诱导$f_{i}$。

假设 (A) 在两个重要情况下得到满足：

（一）$A = \{e\}$。在这种情况下，有一个幺半群族$(M_i)_{i \in I}$，$M$称为该族的*幺半群和*。每个$M_i$由$M$的子幺半群标识，$M$由$\bigcup_{i \in I} M_i$生成；此外，$M_i \cap M_j = \{e\}$换成$i \neq j$。 $M$ 中的每个元素都可以唯一地写成形式 $x_1 \ldots x_n$

$i_\alpha \neq i_{\alpha+1}$ 代表 $1 \leq \alpha \leq n$。最后，对于同态$(f_i : M_i \to M')$的每个家庭，都存在唯一同态$f : M \to M'$，其限制到$M_i$对于所有$i \in I$来说都是$f_i$。

(b) 有一个群$(G_i)_{i \in I}$包含与子群相同的群$A$，$h_i$是$A$到$G_i$的单射。 $(G_i)_{i \in I}$族的和与$A$合并，则为*群* $G$：幺半群$G$由$\bigcup_{i \in I} \phi_i(G_i)$生成，$\bigcup_{i \in I} \phi_i(G_i)$的每个元素都承认有一个逆元$G$（cf.§ 2, no. 3，推论1至命题4）；当$I = \{1, 2\}$时，用$*_A G_i$或$G_1 *_A G_2$表示。当$A$由单位元素组成时，也可以说$G$是群的*家庭*乘积*$(G_i)_{i \in I}$，并用$* G_i$表示（如果$I = \{1, 2\}$则为$G_1 * G_2$）。†