习题 26, § 7

令 X 为集合，并且免费群 $F(X)$ 的 g 元素。设$g = \prod_{\alpha=1}^n x_\alpha^{m(\alpha)}$为g的标准分解为X的元素幂乘积(cf.no. 5，命题7)。 整数 $l(g) = \sum_\alpha |m(\alpha)|$ 称为 g 的长度。 (a) 如果 $x_1 \neq x_n$ 或 $x_1 = x_n$ 和 $m(1)m(n) > 0$，则 g 称为循环约简。证明$F(X)$包含中的每一个共轭类都有且只有一个循环减少元素；它是所讨论的类中的最小长度中的元素。 (b) 如果不存在整数 $n \geq 2$ 和元素 $g \in F(X)$ 使得 $x = g^n$ ，元素 $x \in F(X)$ 被称为原语。证明$F(X)$的每个元素$z \neq e$都可以用$n \geq 1$和x基元唯一地写成形式$x^n$。 （约化它是z循环减少的情况，并观察到，如果$z = x^n$，元素x也循环减少。） 证明z的中心化器与x的中心化器相同；它是由x生成的循环子群。