† 如果存在与集合论（*集合理论*、II, § 5, no. 3）中定义的乘积或集合$x_\alpha$混淆的风险，则必须避免使用此术语和记号$\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$。然而，如果$x_\alpha$是基数，加法（或乘法）是基数和（或乘积），则上面记号中$\sum_{\alpha \in A} x_\alpha$（或$\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$）表示的基数是基数$(x_\alpha)_{\alpha \in A}$家族的和（分别为红衣主教乘积）（*集合理论*，III, § 3, no. 3）。

§ 1.3

我们通过归纳在$A$的基数$n$上证明定理。设$p$为$I$的基数，$h$是其最小的元素；让$J = I - \{h\}$。如果$n = 1$，由于$B_i$非空，必然$p = 1$和定理是明显的。否则，假设定理对于最多 $n - 1$ 元素的索引集合成立，我们区分两种情况：

(a) $B_h$ 有一个元素 $\beta$。让$C = \bigcup_{i \in J} B_i$。 (3) 的左侧等于定义，等于$x_\beta \top \left( \prod_{\alpha \in C} x_\alpha \right)$；右边等于定义，

结果源自假设 $C$ 和 $(B_i)_{i \in J}$ 定理为真。

(b) 否则，令 $\beta$ 为 $A$ 中最小的元素（因此也是 $B_h$）；让 $A' = A - \{\beta\}$ 并让 $B'_i = A' \cap B_i$ 得到 $i \in I$；然后$B'_i = B_i$换$i \in J$。 集合 $A'$ $n - 1$ 元素和条件定理持有$A'$ 及其子集 $B'_i$；因此通过假设：

用每条边形成$x_\beta$的合成，我们在左侧使用定义、$\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$，在右侧使用结合性， 它等于定义 3，等于公式 (3) 的右侧。

对于序列 $(x_i)_{i \in [p, q]}$ 的 $\top$ 合成 $\prod_{p \leq i \leq q} x_i$ 表示的结合词律也表示（因为不会产生混淆）

定理 1 的一个特例是公式 考虑$n$项的有序序列，其所有项都等于相同的元素$x \in E$。该序列中的合成用$\prod^n x$表示，对于律用$\top$表示，$\prod^n x$对律用$\perp$表示。对于律乘法书写，合成表示为$x^n$，称为$x$的第$n$*幂*。对于律加法写成合成通常用 $nx$ 表示。将结合性定理应用于有序序列，其所有项都相等，给出等式

特别是，如果$p = 2$，

如果$n_1 = n_2 = \cdots = n_p = m$，

如果$X$是$E$的子集，我们用有时表示，与上面的记号一致，用$\frac{p}{T} X$集合$X_1 T X_2 T \cdots T X_p$，其中

因此，它是所有合成 $x_1 T x_2 T \cdots T x_p$ 和 $x_1 \in X, x_2 \in X, \ldots, x_p \in X$ 中的集合。

重要的是不要将此集合与 $\frac{p}{T} x$ 的集合混淆，其中 $x$ 穿过 $X$。

断言 (i)、(ii) 和 (iv) 是显而易见的；我们证明(iii)。令$\overline{X}$为X生成的E的稳定子集，$\overline{f(X)}$为$f(X)$生成的F的稳定子集。由 (i) $\overline{f(X)} \subset f(\overline{X})$ 和 (ii) $\overline{X} \subset f^{-1}(\overline{f(X)})$、从而 $f(\overline{X}) \subset \overline{f(X)}$。

紧接着n上的归纳，n项属于到X属于的有序序列的合成到X生成的稳定子集；因此足以验证 X' 是稳定的。 现在，如果 u 和 v 为 X' 的元素，则它们为形式 $u = x_0 \top x_1 \top \cdots \top x_{n-1}$、$v = x_n \top x_{n+1} \top \cdots \top x_{n+p}$，$x_i \in X$ 为 $0 \leq i \leq n + p$；然后 (定理 1) $u \top v = x_0 \top x_1 \top \cdots \top x_{n+p}$ 属于到 X'。

对于

设$X'$和$X''$为$X$的中心化器和双中心化器。它们稳定子集或 $E$。现在$X \subset X''$和$Y \subset X'$，因此$X''$（分别为$X'$）包含是由$X$（分别为$Y$）生成的$E$的稳定子集。由于$X''$的每元素与$X'$的每元素通勤，因此命题紧随其后。

由于如果 A 有一个元素，则定理为真，因此我们通过归纳对 A 中元素的数 $p$ 进行论证。令 $p$ 为整数 > 1，并假设当卡片 A < $p$ 时，定理为真。我们证明卡 A = $p$。可以假设A是$\mathbf{N}$中的区间$[0, p - 1]$； A 上的自然序关系定​​义的有序序列 $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ 的合成是$\prod_{i=0}^{p-1} x_i$。

令 A 具有另一个全排序，并令 h 为该排序下 A 的最小元素以及 A 的其他元素的 A' 集合（通过诱导排序全排序）。假设首先 $0 < h < p - 1$ 并令 P = $\{0, 1, \ldots, h - 1\}$ 且 Q = $\{h + 1, \ldots, p - 1\}$；假设定理对于A'为真，应用结合性定理，我们得到（自$A' = P \cup Q$）

从而，与T的两边重复组成$x_h$，并重复应用交换律和结合性：

这证明了这种情况下的定理。如果$h = 0$或$h = p - 1$，则结果相同，但更简单，项由P产生，或项由Q未出现在公式中产生。

Under a commutative associative law on a set E the composition of a finite family $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ of elements of E is by definition the common value of the composition of all the ordered sequences obtained by totally ordering A in all possible ways. 这个合成在T表示的律下仍然会用$\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$表示；对于其他记号也是如此。

如果 $A$ 和 $I$ 完全有序，则定理 2 可以得出定理 1 的 $B_i$ 满足条件。

我们挑出这个定理的两个重要的特殊情况：

1. 如果$(x_{\alpha \beta})_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$是关联岩浆的可置换元素的有限族，其索引集合是两个非空有限集合$A, B$的乘积（“双族”），则

通过一方面将$A \times B$视为集合$\{\alpha\} \times B$的并，另一方面将集合$A \times \{\beta\}$的并，从定理3如下：

对于例，如果$B$有$n$元素，并且对于每个$\alpha \in A$，所有$x_{\alpha \beta}$有相同的值$x_\alpha$，那么

如果$B$有两个元素，我们得到以下结果：令$(x_\alpha)_{\alpha \in A}, (y_\alpha)_{\alpha \in A}$是$E$的元素的两个非空族。如果 $x_\alpha$ 和 $y_\beta$ 是成对可置换的，那么

由于双序列 $(x_{ij})$ 的公式 (7) 合成其下标集合是 $\mathbf{N}$ 中两个区间 $\{p, q\}$ 和 $\{r, s\}$ 的乘积，通常表示为交换结合词律附加编写

类似地，对于用其他符号表示的律。

2. 令$n$为整数$> 0$，并令$A$为整数$(i, j)$的有序对中的集合，使得$0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq n$和$i < j$； $(x_{ij})_{(i, j) \in A}$族的合成（在交换结合词律下）也用$\prod_{0 \leq i < j \leq n} x_{ij}$表示（或者简单地用$\prod_{i < j} x_{ij}$表示，如果不引起混淆的话）； 定理 3 这里给出公式

对于索引集合是超过两个集合的乘积的族，有与(7)类似的公式，对于索引集合是*严格递增的的集合$S_p$的族，有与(10)类似的公式。 $p$ 整数的序列* $(i_k)_{1 \leq k \leq p}$，使得 $0 \leq i_k \leq n$ ($p \leq n + 1$)：在后一种情况下，$(x_{i_1 i_2 \ldots i_p})_{(i_1, \ldots, i_p) \in S_p}$ 族的合成表示为

对于 E 的所有元素 x 和 y：

理论上，II, , no. 5) 是稳定的子集。 $R$在$A$和$B$分别诱导的等价关系$R_A$和$R_B$与从$A$的典范嵌入导出的律和映射兼容$B$除以经过的商是$A / R_A$的岩浆同构到$B / R_B$

让$\top$表示$E$上的律。如果$x$和$y$是$B$的两个元素，则存在$A$的两个元素、$x'$和$y'$，使得$x \equiv x' \pmod{R}$和$y \equiv y' \pmod{R}$；然后$x \top y \equiv x' \top y' \pmod{R}$和$x' \top y' \in A$，从而$x \top y \in B$。因此$B$是$E$的稳定子集，其他断言是明显的。

令$M$为岩浆，$((u_\alpha, v_\alpha))_{\alpha \in I}$为$M \times M$的元素族。考虑$M$上的所有等价关系$S$与$M$上的律兼容，并且$u_\alpha \equiv v_\alpha \pmod{S}$适用于所有$\alpha \in I$。这些关系的图的交是等价关系$R$的图，它与$M$上的律兼容，并且$u_\alpha \equiv v_\alpha \pmod{R}$。因此$R$是具有这两个属性的最好的（集合理论，III, § 1，第3和7）等价关系。它被称为等价关系，与$(u_\alpha, v_\alpha)$生成的$M$上的律兼容。

让$T$是与$f$相关联的等价关系。那么所有$\alpha \in I$和$T$的$u_\alpha \equiv v_\alpha \pmod{T}$与$M$上的律兼容，因此$T$比$R$更粗糙；这就证明了命题。