Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

5. 集族的积

1. 子集集合公理

A4。 (∀X) CollY(Y⊂X).(\forall \mathrm{X}) \ \mathrm{Coll}_{\mathrm{Y}}(\mathrm{Y} \subset \mathrm{X}).

该公理意味着对于每一个集合X，都存在集合，其元素都是X的子集，即集合EY(Y⊂X)\mathscr{E}_{\mathrm{Y}}(\mathrm{Y} \subset \mathrm{X})（§1, no. 4）；这个集合记为P(X)\mathfrak{P}(\mathrm{X})，称为*X的子集*集合。显然，如果X⊂X′\mathrm{X} \subset \mathrm{X}'，我们有P(X)⊂P(X′)\mathfrak{P}(\mathrm{X}) \subset \mathfrak{P}(\mathrm{X}')。

¶ 设 A、B 为两个集合，并令 Γ\Gamma 为 A 和 B 之间的对应。*函数* X→Γ⟨X⟩\mathrm{X} \to \Gamma \langle \mathrm{X} \rangle (X⊂P(A), Γ⟨X⟩∈P(B))(\mathrm{X} \subset \mathfrak{P}(\mathrm{A}), \ \Gamma \langle \mathrm{X} \rangle \in \mathfrak{P}(\mathrm{B})) 被称为*扩张*（或简称为*扩张*）*的*Γ\Gamma * 子集*中的集合，用Γ^\hat{\Gamma}表示； P(A)\mathfrak{P}(\mathrm{A}) 的映射变成P(B)\mathfrak{P}(\mathrm{B})。如果B与集合C之间Γ′\Gamma'为对应，公式(Γ′∘Γ)⟨X⟩=Γ′⟨Γ⟨X⟩⟩(\Gamma' \circ \Gamma) \langle \mathrm{X} \rangle = \Gamma' \langle \Gamma \langle \mathrm{X} \rangle \rangle则表示Γ′∘Γ\Gamma' \circ \Gamma的扩张至子集的集合为映射 Γ^′∘Γ^\hat{\Gamma}' \circ \hat{\Gamma}。

命题 1 03IJ

(1) 如果 ff 是集合 E 到集合 F 的满射，*规范的扩张* f^\hat{f} of ff 是 P(E)\mathfrak{P}(\mathrm{E}) 到 P(F)\mathfrak{P}(\mathrm{F}) 的满射。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 II § 3. Correspondences

被以下引用 IV § 1. 结构和同构

(2) 如果 ff 是 E 的单射进入* F，*规范的扩张* f^\hat{f} 属于 ff 是 P(E)\mathfrak{P}(\mathrm{E}) 进入 P(F)\mathfrak{P}(\mathrm{F})的单射。

(1) 如果ss是ff的截面，则f∘sf \circ s是F的恒等映射，因此f^∘s^\hat{f} \circ \hat{s}是P(F)\mathfrak{P}(\mathrm{F})的恒等映射；因此 f^\hat{f} 是满射，s^\hat{s} 是 f^\hat{f} (§3, no. 8) 的截面。

(2) 如果E=∅E = \varnothing，命题是明显的，因为那么P(E)={∅}\mathfrak{P}(E) = \{\varnothing\}。如果E≠∅E \ne \varnothing且rr是ff的缩回，则r∘fr \circ f是EE的恒等映射，因此r^∘f^\hat{r} \circ \hat{f}是P(E)\mathfrak{P}(E)的恒等映射；因此 f^\hat{f} 是单射的，r^\hat{r} 是 f^\hat{f} (§3, no. 8) 的缩回。

2. 集合映射 1 集合进入另一个

设EE，FF为集合。 EE的映射到FF的图是E×FE \times F的子集。 P(E×F)\mathfrak{P}(E \times F)的元素的集合，其中性质是EE的映射到FF的图，因此是P(E×F)\mathfrak{P}(E \times F)的子集，用FEF^E表示。三元组f=(G,E,F)f = (G, E, F)的集合，其中G∈FEG \in F^E，因此是EE的映射到FF的集合；用F(E,F)\mathfrak{F}(E, F)表示。显然，G↦(G,E,F)G \mapsto (G, E, F) 是FEF^E 到F(E,F)\mathfrak{F}(E, F) 的双射（称为规范的双射）。这个双射的存在使我们能够立即将与集合FEF^E相关的每个命题翻译为与F(E,F)\mathfrak{F}(E, F)相关的命题，反之亦然。

¶ 设 EE、E′E'、FF、F′F' 为集合。令uu为EE中E′E'的映射，并令vv为F′F'中FF的映射。那么函数f↦v∘f∘uf \mapsto v \circ f \circ u就是F(E,F)\mathfrak{F}(E, F)的映射变成F(E′,F′)\mathfrak{F}(E', F')。

命题 2 03Q5

(1) *如果 uu 是 E′E' 到 EE 的满射，并且 FF 的 vv 单射到 F′F'，则映射 f↦v∘f∘uf \mapsto v \circ f \circ u 是单射的。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 定义 11, II § 3

被以下引用 命题 4, Proposition 9, III § 3

(2) 如果uu是E′E'到EE的单射，并且vv是FF到F′F'的满射，则映射f↦v∘f∘uf \mapsto v \circ f \circ u是满射。

我们假设集合 EE、E′E'、FF、F′F' 都是非空的，因为否则命题就可以被简单地验证。

(1) 设ss为uu的截面，并令rr为vv的缩进（§3，定义11）。那么r∘(v∘f∘u)∘s=IF∘f∘IE=fr \circ (v \circ f \circ u) \circ s = I_F \circ f \circ I_E = f，这样

f↦v∘f∘u f \mapsto v \circ f \circ u

是单射的。

(2) 令r′r'为uu的缩进，令s′s'为vv的截面。对于每个映射 f′:E′→F′f' : E' \to F'，我们都有 v∘(s′∘f′∘r′)∘u=f′v \circ (s' \circ f' \circ r') \circ u = f'，这表明映射 f↦v∘f∘uf \mapsto v \circ f \circ u 是满射的。

推论 03Q6

如果uu是E′E'的双射到EE并且vv是FF的双射到F′F'，那么f↦v∘f∘uf \mapsto v \circ f \circ u是双射的。

引用了 1

引用了 II § 3. Correspondences

令AA、BB、CC为三个集合，并令ff为B×CB \times C的映射到AA。对于每个y∈Cy \in C，令f(⋅,y)f(\mathord{\cdot}, y)为BB的部分映射x↦f(x,y)x \mapsto f(x,y)到AA（§ 3, no. 9）； 函数 y↦f(⋅,y)y \mapsto f(\mathord{\cdot}, y) 是 CC 中的映射变成 F(B,A)\mathfrak{F}(B, A)。相反，对于CC的每个映射gg进入F(B,A)\mathfrak{F}(B, A)，都存在B×C\mathrm{B} \times \mathrm{C}的唯一映射ff进入A，这样对于每个y∈Cy \in \mathrm{C}有g(y)=f(∙,y)g(y) = f(\bullet, y)，即映射 (x,y)→(g(y))(x)(x, y) \to (g(y))(x)。因此：

命题 3 03Q7

如果对于* B×C\mathrm{B} \times \mathrm{C} 进入 A *中的每个映射 ff 我们用 C 进入 F(B,A)\mathfrak{F}(\mathrm{B}, \mathrm{A})的f~\tilde{f} 映射 y→f(∙,y)y \to f(\bullet, y)表示，*则函数 f→f~f \to \tilde{f}是双射*（称为*规范双射*）*的*F(B×C,A)\mathfrak{F}(\mathrm{B} \times \mathrm{C}, \mathrm{A})*到*F(C,F(B,A))\mathfrak{F}(\mathrm{C}, \mathfrak{F}(\mathrm{B}, \mathrm{A}))。

被以下引用 1

被以下引用 定义 1, A I § 3

类似地，我们将定义 F(B×C,A)\mathfrak{F}(\mathrm{B} \times \mathrm{C}, \mathrm{A}) 的*规范双射* 放到F(B,F(C,A))\mathfrak{F}(\mathrm{B}, \mathfrak{F}(\mathrm{C}, \mathrm{A})) 上。由于映射和函数图之间的一对一对应，这些双射产生了AB×C\mathrm{A}^{\mathrm{B} \times \mathrm{C}}的*规范双射*到(AB)C(\mathrm{A}^{\mathrm{B}})^{\mathrm{C}}（或(AC)B(\mathrm{A}^{\mathrm{C}})^{\mathrm{B}}）。

3. 定义集族的积

令(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}为集合族，并令F为具有域I的函数图，使得每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}都有F(ι)∈Xι\mathrm{F}(\iota) \in \mathrm{X}_\iota。那么对于每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}，我们有F(ι)∈A=⋃ι∈IXι\mathrm{F}(\iota) \in \mathrm{A} = \bigcup_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota，因此F是P(I×A)\mathfrak{P}(\mathrm{I} \times \mathrm{A})的元素。具有上述性质的函数图因此形式子集为P(I×A)\mathfrak{P}(\mathrm{I} \times \mathrm{A})。

定义 1 03Q8

设(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}是集合的一个家庭。函数图* F 的集合，其定义域 I 使得 F(ι)∈Xι\mathrm{F}(\iota) \in \mathrm{X}_\iota 对于每个 ι∈I\iota \in \mathrm{I} 被称为集合 (Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}族的乘积，并用 ∏ι∈IXι\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota表示。 对于每个 ι∈I\iota \in \mathrm{I}、Xι\mathrm{X}_\iota 在乘积 ∏ι∈IXι\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota 中称为指标 ι\iota 的因子。 映射 F→F(ι)\mathrm{F} \to \mathrm{F}(\iota) (F∈∏ι∈IXι, F(ι)∈Xι)\left( \mathrm{F} \in \prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota,\ \mathrm{F}(\iota) \in \mathrm{X}_\iota \right) 称为指标 ι\iota的坐标函数（或*投影*）*，并用* prι\mathrm{pr}_\iota表示。

引用了 2

引用了 II § 3. Correspondences, 例 1, II § 3

F(ι)\mathrm{F}(\iota)称为F的指标*ι\iota的*坐标（或指标*ι\iota的*投影）； 指标ι\iota的坐标函数下∏ι∈IXι\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota的子集A的像prι⟨A⟩\mathrm{pr}_\iota\langle \mathrm{A} \rangle称为A的指标*ι\iota的*投影。容易验证A⊂∏ι∈Iprι⟨A⟩\mathrm{A} \subset \prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{pr}_\iota \langle \mathrm{A} \rangle。

我们经常使用记号(xι)ι∈I(x_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}来表示∏ι∈IXι\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota（§3, no. 6）中的元素。

若I=∅\mathrm{I} = \emptyset、集合∏ι∈IXι\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota只有一个元素，即空集（§3, no. 4、例 1）。

¶ 如果乘积 ∏ι∈IXι\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota 中的所有因子 Xι\mathrm{X}_\iota 都等于相同的集合 E，则有 ∏ι∈IXι=EI\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota = \mathrm{E}^{\mathrm{I}}；这紧随定义而来。

¶ 如果 (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 是集合的任意族并且如果 E 是集合使得

⋃ι∈IXι⊂E,\bigcup_{\iota \in I} X_\iota \subset E,

那么定义 1 表明∏ι∈IXι⊂EI\prod_{\iota \in I} X_\iota \subset E^I；因此，在 ∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota 和集合之间存在一对一的对应，I 的映射进入 E（即 F(I,E)\mathfrak{F}(I, E) 的子集）。

¶ 如果 I={α}I = \{\alpha\} 是单个元素的集合由……组成，我们有

∏ι∈IXι=Xα{α};\prod_{\iota \in I} X_\iota = X_\alpha^{\{\alpha\}};

映射 F→F(α)F \to F(\alpha) 就是∏ι∈{α}Xι\prod_{\iota \in \{\alpha\}} X_\iota 的双射（称为*规范*）到XαX_\alpha。

¶ 设 A、B 为集合，并令 α\alpha、β\beta 与对象不同（存在两个不同的对象，分别为例 ∅\emptyset 和 {∅}\{\emptyset\}）。考虑图 {(α,A),(β,B)}\{(\alpha, A), (\beta, B)\}，它显然是函数式的，并且正是(Xι)ι∈{α,β}(X_\iota)_{\iota \in \{\alpha, \beta\}}族，使得Xα=AX_\alpha = A和Xβ=BX_\beta = B。对于每个对 (x,y)∈A×B(x, y) \in A \times B，令 fx,yf_{x,y} 为函数图 {(α,x),(β,y)}\{(\alpha, x), (\beta, y)\}。显然函数(x,y)→fx,y(x, y) \to f_{x,y}是A×BA \times B到∏ι∈{α,β}Xι\prod_{\iota \in \{\alpha, \beta\}} X_\iota的双射映射；这个双射的倒数是g→(g(α),g(β))g \to (g(\alpha), g(\beta))。这两个双射被称为*规范*。接下来我们将使用这个一对一的对应从集族的积的属性推导出两个集合的积的属性。

¶ 设 (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 为集合的族，每个族由一个元素组成，比如 Xι={aι}X_\iota = \{a_\iota\}；那么乘积∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota就是单个元素(aι)ι∈I(a_\iota)_{\iota \in I}的集合由……组成。

¶ 令 E 为集合。将 I 的*常数* 映射 ι→x\iota \to x 转换为乘积 EIE^I 的 E 形式子集 Δ\Delta 的图形，称为*对角的*。如果xˉ\bar{x}表示映射ι→x\iota \to x（其中x∈Ex \in E）的图，则映射x→xˉx \to \bar{x}是E在Δ\Delta上的双射，称为*对角线映射*。

命题 4 03IK

让*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}*成为集合的一个家庭，让你成为集合*K的双射*到指标集合*I。 如果 U 是 u 的图，则映射 F→F∘UF \to F \circ U of ∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota 进入 ∏x∈KXu(x)\prod_{x \in K} X_{u(x)} *是双射的。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 命题 1, II § 4, 命题 2

被以下引用 注 2, Proposition 5, III § 3

让

A=⋃ι∈IXι=⋃x∈KXu(x)A = \bigcup_{\iota \in I} X_\iota = \bigcup_{x \in K} X_{u(x)}

（§4，命题1）。 映射 F→F∘UF\to F\circ U (F∈AIF\in A^I) 是AIA^I 的双射到AKA^K (命题 2)。显然，条件“对于每个ι∈I\iota\in I，F(ι)∈XιF(\iota)\in X_\iota”相当于“对于每个x∈Kx\in K，(F∘U)(x)∈Xu(x)(F\circ U)(x)\in X_{u(x)}”，结果如下。

4. 部分积

令(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota\in I}为集合的家族，令JJ为II的子集。 乘积 ∏ι∈JXι\displaystyle\prod_{\iota\in J}X_\iota 被称为∏ι∈IXι\displaystyle\prod_{\iota\in I}X_\iota的*部分乘积*。如果ff是函数，其图FF是∏ι∈IXι\displaystyle\prod_{\iota\in I}X_\iota的成员，则F∘ΔJF\circ\Delta_J（其中ΔJ\Delta_J是J×JJ\times J的对角线）是ff到JJ的*限制*的图。显然F∘ΔJ∈∏ι∈JXιF\circ\Delta_J\in\displaystyle\prod_{\iota\in J}X_\iota； ∏ι∈IXι\displaystyle\prod_{\iota\in I}X_\iota的映射F→F∘ΔJF\to F\circ\Delta_J到∏ι∈JXι\displaystyle\prod_{\iota\in J}X_\iota称为指标*JJ的*投影，记为pr⁡J\operatorname{pr}_J。

命题 5 03Q9

令(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota\in I}为集合的家族，令JJ为II的子集。如果对于每个ι∈I\iota\in I，我们有Xι≠∅X_\iota\ne\varnothing，投影pr⁡J\operatorname{pr}_J是∏ι∈IXι\displaystyle\prod_{\iota\in I}X_\iota的映射到∏ι∈JXι\displaystyle\prod_{\iota\in J}X_\iota。

被以下引用 1

被以下引用 推论 1

鉴于上面的注，足以证明以下命题：

命题 6 03QA

Let (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota\in I} be a family of sets such that Xι≠∅X_\iota\ne\varnothing for all ι∈I\iota\in I. 如果gg是J⊂IJ\subset I的映射到A=⋃ι∈IXιA=\displaystyle\bigcup_{\iota\in I}X_\iota，使得g(ι)∈Xιg(\iota)\in X_\iota对于所有ι∈J\iota\in J，则存在gg到II的扩张ff，使得对于所有f(ι)∈Xιf(\iota)\in X_\iota ι∈I\iota\in I.

引用了 1 · 被以下引用 6

引用了 I § 4. 量化理论

被以下引用 推论 3, 命题 8, 推论 1, Proposition 14, III § 3, Proposition 7, III § 3, 命题 6, III § 6

对于每个ι∈I−J\iota\in I-J，让TιT_\iota表示项τι(y∈Xι)\tau_\iota(y\in X_\iota)。从Xι≠∅X_\iota\ne\varnothing到假设，我们为所有ι∈I−J\iota\in I-J（章I, §4, no. 1）提供了Tι∈XιT_\iota\in X_\iota。如果GG是gg的图，则图G∪(⋃ι∈I−J{(ι,Tι)})G\cup\left(\displaystyle\bigcup_{\iota\in I-J}\{(\iota,T_\iota)\}\right)是函数的图，它具有所需的属性，正如立即验证的那样。

推论 1 03QB

让(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota\in I}成为集合的一个族，这样对于每个ι∈I\iota\in I我们都有Xι≠∅X_\iota\ne\varnothing。那么对于每个 α∈I\alpha\in I 投影 pr⁡α\operatorname{pr}_\alpha 都是 ∏ι∈IXι\displaystyle\prod_{\iota\in I}X_\iota 的映射到 XαX_\alpha。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 5

被以下引用 推论 2, 推论 3

pr⁡α\operatorname{pr}_\alpha是Xα{α}X_\alpha^{\{\alpha\}}典范映射合成到XαX_\alpha和映射pr⁡{α}\operatorname{pr}_{\{\alpha\}}的应用命题5到II和注子集J={α}J=\{\alpha\}。

推论 2 03QC

设(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}是集合的一个家庭。那么∏ι∈IXι=∅\prod\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota = \emptyset当且仅当存在ι∈I\iota \in \mathrm{I}使得Xι=∅\mathrm{X}_\iota = \emptyset。

引用了 2 · 被以下引用 4

引用了 推论 1, ER § 4. 并、交、集族的积

被以下引用 命题 8, 命题 9, 推论 1, Proposition 7, III § 3

如果每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}都有Xι≠∅\mathrm{X}_\iota \neq \emptyset，那么从推论1可以得出∏ι∈IXι≠∅\prod\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota \neq \emptyset；相反，如果 ∏ι∈IXι≠∅\prod\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota \neq \emptyset、关系 prα(∏ι∈IXι)⊂Xα\mathrm{pr}_\alpha\Big(\prod\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota\Big) \subset \mathrm{X}_\alpha 则表明每个 α∈I\alpha \in \mathrm{I} 都有 Xα≠∅\mathrm{X}_\alpha \neq \emptyset。

因此，如果我们有一个非空集族(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}，我们可以引入（作为辅助常数）函数ff，其域I使得f(ι)∈Xιf(\iota) \in \mathrm{X}_\iota适用于所有ι∈I\iota \in \mathrm{I}。在实践中，有人说：“在每个Xι\mathrm{X}_\iota中取元素xιx_\iota”。直观上，我们在每个集合Xι\mathrm{X}_\iota中“选择”了元素xιx_\iota；控制其使用的逻辑符号τ\tau和判据的引入使我们无需制定“选择公理”来使运算合法化（cf.结果摘要，§4, no. 10）。

推论 3 03QD

令(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}和(Yι)ι∈I(\mathrm{Y}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}为集合的两个族，具有相同的指标集合I。如果每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}都有Xι⊂Yι\mathrm{X}_\iota \subset \mathrm{Y}_\iota，那么

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 命题 6, 推论 1

被以下引用 Proposition 14, III § 3

∏ι∈IXι⊂∏ι∈IYι.\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota \subset \prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{Y}_\iota.

相反，如果∏ι∈IXι⊂∏ι∈IYι\prod\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota \subset \prod\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{Y}_\iota，并且如果每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}有Xι≠∅\mathrm{X}_\iota \neq \emptyset，则每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}有Xι⊂Yι\mathrm{X}_\iota \subset \mathrm{Y}_\iota。

第一个断言是显而易见的，第二个命题1，推论5，因为我们有，对于每个α∈I\alpha \in \mathrm{I}，

Xα=prα(∏ι∈IXι)⊂prα(∏ι∈IYι)=Yα.\mathrm{X}_\alpha = \mathrm{pr}_\alpha\Big(\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota\Big) \subset \mathrm{pr}_\alpha\Big(\prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{Y}_\iota\Big) = \mathrm{Y}_\alpha.

5. 结合性乘积集合

命题 7 03IN

设(Xι)ι∈I(\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}是集合的一个家庭，其指标集合I不是空集。设(Jλ)λ∈L(\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}为I的划分。然后映射

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 8, II § 4

被以下引用 Proposition 5, III § 3, III § 7. 逆极限和直极限

f→(prJλf)λ∈Lf \to (\mathrm{pr}_{\mathrm{J}_\lambda} f)_{\lambda \in \mathrm{L}}

* ∏ι∈IXι\prod\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota 到乘积集合 ∏λ∈L(∏ι∈JλXι)\prod\limits_{\lambda \in \mathrm{L}} \Big(\prod\limits_{\iota \in \mathrm{J}_\lambda} \mathrm{X}_\iota\Big) 是双射（集合乘积的“结合性”）。*

将prJλf\mathrm{pr}_{\mathrm{J}_\lambda} f解释为函数的限制的图，其图为ff(no. 4)，得出叙述映射f→(prJλf)λ∈Lf \to (\mathrm{pr}_{\mathrm{J}_\lambda} f)_{\lambda \in \mathrm{L}}是双射意味着，对于每个族(vλ)λ∈L(v_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}，其中vλv_\lambda是Jλ\mathrm{J}_\lambda的映射到⋃ι∈IXι\bigcup\limits_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{X}_\iota，存在I到⋃ι∈IXι\bigcup_{\iota \in I} X_\iota的唯一映射uu，使得对于每个λ∈L\lambda \in L，vλv_\lambda是uu到JλJ_\lambda的限制。但这是(Jλ)λ∈L(J_\lambda)_{\lambda \in L}是I划分（§4，命题8）的假设推论。

¶ 双射在命题 7 中定义，并且它的逆双射被认为是*规范*。

注

注 1 03SA

令α\alpha、β\beta为两个不同的对象，并令(Jλ)λ∈{α,β}(J_\lambda)_{\lambda \in \{\alpha, \beta\}}为I的划分分成两个集合JαJ_\alpha、JβJ_\beta。因此，我们通过将∏λ∈{α,β}(∏ι∈JλXι)\prod_{\lambda \in \{\alpha, \beta\}} \left( \prod_{\iota \in J_\lambda} X_\iota \right)的典范映射的合成形成到(∏ι∈JαXι)×(∏ι∈JβXι)\left( \prod_{\iota \in J_\alpha} X_\iota \right) \times \left( \prod_{\iota \in J_\beta} X_\iota \right)上并将∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota的典范映射形成到(∏ι∈JαXι)×(∏ι∈JβXι)\left( \prod_{\iota \in J_\alpha} X_\iota \right) \times \left( \prod_{\iota \in J_\beta} X_\iota \right)上，获得乘积∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota的一对一映射（再次称为*规范*） ∏λ∈{α,β}(∏ι∈JλXι)\prod_{\lambda \in \{\alpha, \beta\}} \left( \prod_{\iota \in J_\lambda} X_\iota \right)。如果对于每个ι∈Jβ\iota \in J_\beta，XιX_\iota 是*单个元素* 的集合由……组成，则prJα\mathrm{pr}_{J_\alpha} 是∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota 到∏ι∈JαXι\prod_{\iota \in J_\alpha} X_\iota 的双射映射。

被以下引用 1

被以下引用 Proposition 6, III § 3

注 2 03SB

令α\alpha、β\beta、γ\gamma为三个对象，其中没有两个相等（存在三个这样的对象；对于例、∅\emptyset、{∅}\{\emptyset\}、{{∅}}\{\{\emptyset\}\}），并令A、B、C为集合。考虑函数图{(α,A),(β,B),(γ,C)}\{(\alpha, A), (\beta, B), (\gamma, C)\}，即集合(Xι)ι∈{α,β,γ}(X_\iota)_{\iota \in \{\alpha, \beta, \gamma\}}族，使得Xα=AX_\alpha = A、Xβ=BX_\beta = B、Xγ=CX_\gamma = C。对于由两个集合、{α,β}\{\alpha, \beta\}和{γ}\{\gamma\}形成的{α,β,γ}\{\alpha, \beta, \gamma\}的划分，存在对应一个∏ι∈{α,β,γ}Xι\prod_{\iota \in \{\alpha, \beta, \gamma\}} X_\iota的规范双射到乘积

(∏ι∈{α,β}Xι)×Xγ{γ},\left( \prod_{\iota \in \{\alpha, \beta\}} X_\iota \right) \times X_\gamma^{\{\gamma\}},

因而，∏ι∈{α,β,γ}Xι\prod_{\iota \in \{\alpha, \beta, \gamma\}} X_\iota的双射（再次称为*规范*）到A×B×CA \times B \times C（§ 2, no. 2），其中变换每个图f∈∏ι∈{α,β,γ}Xιf \in \prod_{\iota \in \{\alpha, \beta, \gamma\}} X_\iota到A×B×CA \times B \times C的元素(f(α),f(β),f(γ))(f(\alpha), f(\beta), f(\gamma))。因而，到命题 4，我们可以将六个集合、A×B×CA \times B \times C、B×C×AB \times C \times A、C×A×BC \times A \times B、B×A×CB \times A \times C、A×C×BA \times C \times B、C×B×AC \times B \times A中的任意两个一对一地放在对应中。

引用了 2

引用了 II § 2. 有序对, 命题 4

6. 分配律公式

命题 8 03IO

让*((Xλ,ι)ι∈Jλ)λ∈L((X_{\lambda,\iota})_{\iota \in J_\lambda})_{\lambda \in L}*成为集合家庭的一个家庭（与指标集合*L*）。假设* L≠∅L \neq \emptyset 和 Jλ≠∅J_\lambda \neq \emptyset 对于每个 λ∈L\lambda \in L。 *让

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 命题 6, 推论 2

被以下引用 推论, Proposition 5, III § 3

I=∏λ∈LJλ≠∅.I = \prod_{\lambda \in L} J_\lambda \neq \emptyset.

然后我们有

⋃λ∈L(⋂ι∈JλXλ,ι)=⋂f∈I(⋃λ∈LXλ,f(λ)),\bigcup_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota} \right) = \bigcap_{f \in I} \left( \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)} \right),
⋂λ∈L(⋂ι∈JλXλ,ι)=⋃f∈I(⋂λ∈LXλ,f(λ))\bigcap_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota} \right) = \bigcup_{f \in I} \left( \bigcap_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)} \right)

（并超过交的“分配律”，以及交超过并的“分配律”）。

令xx为⋃λ∈L(⋂ι∈JλXλ,ι)\bigcup_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota} \right)中的元素，并令ff为I中的任意元素。存在指标λ\lambda使得x∈⋂ι∈JλXλ,ιx \in \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota}；因而 x∈Xλ,f(λ)x \in X_{\lambda, f(\lambda)} 因而

x∈⋃λ∈LXλ,f(λ).x \in \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)}.

由于这对于每个 f∈If \in I 都是正确的，所以我们有

x∈⋂f∈I(⋃λ∈LXλ,f(λ)).x \in \bigcap_{f \in I} \left( \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)} \right).

相反，令 xx 为不属于到集合的对象

⋃λ∈L(⋂ι∈JλXλ,ι).\bigcup_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota} \right).

那么对于每个λ∈L\lambda \in L，我们有x∉⋂ι∈JλXλ,ιx \notin \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota}，这意味着指标ι∈Jλ\iota \in J_\lambda的集合Jλ′J'_\lambda，使得x∉Xλ,ιx \notin X_{\lambda, \iota}对于每个λ∈L\lambda \in L不为空。到命题 5，推论 2，存在一个函数图 ff，域为 L，这样对于每个 λ∈L\lambda \in L，我们都有 f(λ)∈Jλ′f(\lambda) \in J'_\lambda。因而，每个λ∈L\lambda \in L对应f∈If \in I和x∉Xλ,f(λ)x \notin X_{\lambda, f(\lambda)}；因而

x∉⋃λ∈LXλ,f(λ)x \notin \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)}

因而

x∉⋂f∈I(⋃λ∈LXλ,f(λ)).x \notin \bigcap_{f \in I} \left( \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)} \right).

这样就完成了第一个公式的证明。第二个公式之后是应用，第一个((∁AXλ,ι)ι∈Jλ)λ∈L((\complement_A X_{\lambda, \iota})_{\iota \in J_\lambda})_{\lambda \in L}，其中 A 表示并 ⋂λ∈L(⋂ι∈JλXλ)\bigcap_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_\lambda \right)。

推论 03IP

设* (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I} 和 (Yϰ)ϰ∈K(Y_\varkappa)_{\varkappa \in K} 为集合的两个族，其中非空指标集合 I，K。*然后

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 命题 1, II § 4, 命题 8

被以下引用 推论 2

(⋂ι∈IXι)∪(⋂ϰ∈KYϰ)=⋂(ι, ϰ)∈I×K(Xι∪Yϰ),\left( \bigcap_{\iota \in I} X_\iota \right) \cup \left( \bigcap_{\varkappa \in K} Y_\varkappa \right) = \bigcap_{(\iota,\, \varkappa) \in I \times K} (X_\iota \cup Y_\varkappa),
(⋃ι∈IXι)∩(⋃ϰ∈KYϰ)=⋃(ι, ϰ)∈I×K(Xι∩Yϰ).\left( \bigcup_{\iota \in I} X_\iota \right) \cap \left( \bigcup_{\varkappa \in K} Y_\varkappa \right) = \bigcup_{(\iota,\, \varkappa) \in I \times K} (X_\iota \cap Y_\varkappa).

令α\alpha、β\beta为两个不同的对象；将命题 8 中的公式（以及 L={α, β}L = \{\alpha,\ \beta\}、Jα=IJ_\alpha = I、Jβ=KJ_\beta = K）应用于家庭 ((Zλ, μ)μ∈Jλ)λ∈L((Z_{\lambda,\, \mu})_{\mu \in J_\lambda})_{\lambda \in L}，其中 Zα, ι=XιZ_{\alpha,\, \iota} = X_\iota 应用于所有 ι∈I\iota \in I，Zβ, ϰ=YϰZ_{\beta,\, \varkappa} = Y_\varkappa 应用于每个 ϰ∈K\varkappa \in K。通过∐λ∈LJλ\coprod_{\lambda \in L} J_\lambda的规范双射到I×KI \times K（no. 3）的存在以及通过§ 4的命题1，我们得到了公式。

命题 9 03IQ

让*((Xλ, ι)ι∈Jλ)λ∈L((X_{\lambda,\, \iota})_{\iota \in J_\lambda})_{\lambda \in L}*成为一个家庭（与指标集合*L）*集合的家庭。让*I=∏λ∈LJλI = \prod_{\lambda \in L} J_\lambda。 *然后

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 推论 2

被以下引用 推论 1, Proposition 5, III § 3

∏λ∈L(⋃ι∈JλXλ, ι)=⋃f∈I(∏λ∈LXλ, f(λ))\prod_{\lambda \in L} \left( \bigcup_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda,\, \iota} \right) = \bigcup_{f \in I} \left( \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda,\, f(\lambda)} \right)

和（如果 L≠∅L \neq \emptyset 和 Jλ≠∅J_\lambda \neq \emptyset 对于每个 λ∈L\lambda \in L）

∏λ∈L(⋂ι∈JλXλ, ι)=⋂f∈I(∏λ∈LXλ, f(λ))\prod_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda,\, \iota} \right) = \bigcap_{f \in I} \left( \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda,\, f(\lambda)} \right)

（乘积的“分配律”超过并和超过交）。 如果 L=∅L = \emptyset 或对于某些 λ∈L\lambda \in L Jλ=∅J_\lambda = \emptyset，则第一个公式平凡为真。如果不是，则令gg为∏λ∈L(⋂ι∈JλXλ, ι)\prod_{\lambda \in L} \left( \bigcap_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda,\, \iota} \right)的元素。对于每个λ∈L\lambda \in L，存在指标ι∈Jλ\iota \in J_\lambda，使得g(λ)∈Xλ, ιg(\lambda) \in X_{\lambda,\, \iota}；在指标 ι∈Jλ\iota \in J_\lambda 的其他字、集合 HλH_\lambda 中，g(λ)∈Xλ, ιg(\lambda) \in X_{\lambda,\, \iota} 不为空。根据推论 2 到命题 5，因此存在一个具有域 L 的函数图 ff，使得

f(λ)∈Hλf(\lambda) \in H_\lambda

对于每个λ∈L\lambda \in L，即g(λ)∈Xλ, f(λ)g(\lambda) \in X_{\lambda,\, f(\lambda)}。因此我们有g∈∏λ∈LXλ, f(λ)g \in \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda,\, f(\lambda)}，因此有g∈⋃f∈I(∏λ∈LXλ, f(λ))g \in \bigcup_{f \in I} \left( \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda,\, f(\lambda)} \right)。相反，如果

g∈⋃f∈I(∏λ∈LXλ, f(λ)),g \in \bigcup_{f \in I} \left( \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda,\, f(\lambda)} \right),

有一个函数图f∈If \in I，对于每个λ∈L\lambda \in L，我们有

g(λ)∈Xλ, f(λ)g(\lambda) \in X_{\lambda,\, f(\lambda)}

以及，*更不必说*，g(λ)∈⋃ι∈JλXλ,ιg(\lambda) \in \bigcup_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota}。这样就完成了第一个公式的证明。第二个公式的证明类似，但更简单，我们把它留给读者。

推论 1 03QE

假设*L≠∅L \neq \emptyset*和*Jλ≠∅J_\lambda \neq \emptyset*对于每个*λ∈L\lambda \in L。 如果对于每个索引 λ∈L\lambda \in L 族 (Xλ,ι)ι∈Jλ(X_{\lambda, \iota})_{\iota \in J_\lambda} 是 Xλ=⋃ι∈JλXλ,ιX_\lambda = \bigcup_{\iota \in J_\lambda} X_{\lambda, \iota}的划分，*那么家庭* (∏λ∈LXλ,f(λ))f∈I\left( \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)} \right)_{f \in I} 是 ∏λ∈LXλ\prod_{\lambda \in L} X_\lambda的划分。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了 命题 6, 推论 2, 命题 9

被以下引用 Proposition 5, III § 3

如果我们集合

Pf=∏λ∈LXλ,f(λ),\mathrm{P}_f = \prod_{\lambda \in L} X_{\lambda, f(\lambda)},

那么，凭借命题 9 的第一个公式，足以证明对于所有f∈If \in I，Pf≠∅\mathrm{P}_f \neq \emptyset 以及当ff 和gg 与I 不同的元素时，Pf∩Pg=∅\mathrm{P}_f \cap \mathrm{P}_g = \emptyset 就足够了。第一个点由命题5推论2。至于第二个，如果f≠gf \neq g，则存在λ∈L\lambda \in L使得

f(λ)≠g(λ)f(\lambda) \neq g(\lambda)

因此，凭借假设，Xλ,f(λ)∩Xλ,g(λ)=∅X_{\lambda, f(\lambda)} \cap X_{\lambda, g(\lambda)} = \emptyset。由此可见，不存在属于到Pf∩Pg\mathrm{P}_f \cap \mathrm{P}_g的图；因为如果 G 是这样一个图，我们就会有 G(λ)∈Xλ,f(λ)∩Xλ,g(λ)=∅\mathrm{G}(\lambda) \in X_{\lambda, f(\lambda)} \cap X_{\lambda, g(\lambda)} = \emptyset，这是荒谬的。

推论 2 03QF

设*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}*和*(Yϰ)ϰ∈K(Y_\varkappa)_{\varkappa \in K}*为集合的两个族。然后

引用了 1

引用了 推论

(⋃ι∈IXι)×(⋃ϰ∈KYϰ)=⋃(ι,ϰ)∈I×K(Xι×Yϰ)\left( \bigcup_{\iota \in I} X_\iota \right) \times \left( \bigcup_{\varkappa \in K} Y_\varkappa \right) = \bigcup_{(\iota, \varkappa) \in I \times K} (X_\iota \times Y_\varkappa)

并且，如果 I 和 K 非空，

(⋂ι∈IXι)×(⋂ϰ∈KYϰ)=⋂(ι,ϰ)∈I×K(Xι×Yϰ).\left( \bigcap_{\iota \in I} X_\iota \right) \times \left( \bigcap_{\varkappa \in K} Y_\varkappa \right) = \bigcap_{(\iota, \varkappa) \in I \times K} (X_\iota \times Y_\varkappa).

证明遵循命题 8 推论的证明模式。

命题 10 03QG

设*(Xι,ϰ)(ι,ϰ)∈I×K(X_{\iota, \varkappa})_{(\iota, \varkappa) \in I \times K}*是集合的一个家庭，其指标集合是两个集合的积*I*和*K。*如果*K≠∅K \neq \emptyset，*我们有

被以下引用 1

被以下引用 推论

⋂ϰ∈K(∏ι∈IXι,ϰ)=∏ι∈I(⋂K∈ϰXι,ϰ).\bigcap_{\varkappa \in K} \left( \prod_{\iota \in I} X_{\iota, \varkappa} \right) = \prod_{\iota \in I} \left( \bigcap_{K \in \varkappa} X_{\iota, \varkappa} \right).

待证明的等式两边都是函数图。图ff属于位于左侧当且仅当对于每个ϰ∈K\varkappa \in K，f∈∏ι∈IXι,ϰf \in \prod_{\iota \in I} X_{\iota, \varkappa}；也就是说，当且仅当 f(ι)∈Xι,ϰf(\iota) \in X_{\iota, \varkappa} 对于所有(ι,ϰ)∈I×K(\iota, \varkappa) \in I \times K。对于右侧的ff到属于，每个ι∈I\iota \in I有f(ι)∈⋂ϰ∈KXι,ϰf(\iota) \in \bigcap_{\varkappa \in K} X_{\iota, \varkappa}是必要且充分的，即每个对(ι,ϰ)∈I×K(\iota, \varkappa) \in I \times K有f(ι)∈Xι,ϰf(\iota) \in X_{\iota, \varkappa}。这样就完成了证明。

推论 03IR

设*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}*和*(Yι)ι∈I(Y_\iota)_{\iota \in I}*为集合的两个族，具有相同的指标集合*I≠∅I \neq \emptyset。 *然后

引用了 1

引用了 命题 10

(∏ι∈IXι)∩(∏ι∈IYι)=∏ι∈I(Xι∩Yι),\Big(\prod_{\iota \in I} X_\iota\Big) \cap \Big(\prod_{\iota \in I} Y_\iota\Big) = \prod_{\iota \in I} (X_\iota \cap Y_\iota),
(⋂ι∈IXι)×(⋂ι∈IYι)=⋂ι∈I(Xι×Yι).\Big(\bigcap_{\iota \in I} X_\iota\Big) \times \Big(\bigcap_{\iota \in I} Y_\iota\Big) = \bigcap_{\iota \in I} (X_\iota \times Y_\iota).

应用命题 10 到 K（分别为 I）是两个不同元素的集合由……组成的情况。

7. 扩张映射至乘积

定义 2 03IS

设* (Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}，(Yι)ι∈I(Y_\iota)_{\iota \in I} 为集合的两个族，并让(gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I} 为函数的族，且具有相同的指标集合I*使得*gιg_\iota*为映射* XιX_\iota 进入 YιY_\iota 每个 ι∈I\iota \in I。 对于每个 f∈∏ι∈IXιf \in \prod_{\iota \in I} X_\iota 让 ufu_f 成为函数 ι=gι(f(ι))\iota = g_\iota(f(\iota)) (ι∈I)(\iota \in I)的图，*这是* ∏ι∈IYι\prod_{\iota \in I} Y_\iota的元素。 映射 f→uff \to u_f of ∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota 进入 ∏ι∈IYι\prod_{\iota \in I} Y_\iota 被称为映射 (gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I}家族的规范扩张*（或简称*扩张*）*至乘积； it is also sometimes called the product of the family of mappings (gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I}.

被以下引用 2

被以下引用 命题 11, 推论 2, III § 7

当使用指标记号时，(gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I}族的乘积为函数(xι)ι∈I→(gι(xι))ι∈I(x_\iota)_{\iota \in I} \to (g_\iota(x_\iota))_{\iota \in I}；它是有时，用(gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I}表示。

如果I={α,β}I = \{\alpha, \beta\}，其中α\alpha和β\beta不同，映射(gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I}族的扩张到乘积就是ψ∘(gα×gβ)∘φ\psi \circ (g_\alpha \times g_\beta) \circ \varphi，其中φ\varphi表示∏ι∈IXι\prod_{\iota \in I} X_\iota的典范映射到Xα×XβX_\alpha \times X_\beta (no. 3) 和 ψ\psi 典范映射的 Yα×YβY_\alpha \times Y_\beta 到 ∏ι∈IYι\prod_{\iota \in I} Y_\iota。

命题 11 03IT

设*(Xι)ι∈I(X_\iota)_{\iota \in I}、(Yι)ι∈I(Y_\iota)_{\iota \in I}、(Zι)ι∈I(Z_\iota)_{\iota \in I}*为集合的三个族，让*(gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I}、(gι′)ι∈I(g'_\iota)_{\iota \in I}*为函数的两个族，都具有相同的指标集合，使得*gιg_\iota*为映射*XιX_\iota*进入*YιY_\iota*和*gι′g'_\iota*映射*YιY_\iota*进入*ZιZ_\iota，*对于每个*ι∈I\iota \in I。 让gg*和*g′g'*成为家庭中的扩张*(gι)ι∈I(g_\iota)_{\iota \in I}*和*(gι′)ι∈I(g'_\iota)_{\iota \in I}*到乘积。那么家庭的扩张*(gι′∘gι)ι∈I(g'_\iota \circ g_\iota)_{\iota \in I}*到乘积就等于*g′∘gg' \circ g。

引用了 1

引用了 定义 2

这紧随定义 2。

推论 03IU

令(Xi)i∈I(X_i)_{i\in I}、(Yi)i∈I(Y_i)_{i\in I}为集合的两个族，并令(gi)i∈I(g_i)_{i\in I}为函数的族。如果gig_i是XiX_i到YiY_i的单射（或满射），对于每个i∈Ii\in I，则(gi)i∈I(g_i)_{i\in I}到乘积的扩张gg是单射（或单射）。 ∏i∈IXi\displaystyle\prod_{i\in I}X_i到∏i∈IYi\displaystyle\prod_{i\in I}Y_i的满射）。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了 定义 11, II § 3, 命题 8, II § 3, II § 3. Correspondences

被以下引用 Proposition 4, III § 3

(1) 假设每个i∈Ii\in I有Xi≠∅X_i\ne\varnothing；否则结果是微不足道的。假设gig_i对于每个i∈Ii\in I都是单射的，并让rir_i是gig_i的缩进（§ 3, no. 8，定义11），因此ri∘gir_i\circ g_i是XiX_i的恒等映射。设rr为家庭(ri)i∈I(r_i)_{i\in I}的扩张到乘积；由于r∘gr\circ g是恒等映射IXiI_{X_i}族的扩张到乘积，r∘gr\circ g是∏i∈IXi\displaystyle\prod_{i\in I}X_i的恒等映射，因此gg是单射的（§ 3，命题） 8).

(2) 假设gig_i是每个i∈Ii\in I的XiX_i到YiY_i的满射，并令sis_i为gig_i的截面 (§ 3, no. 8, 定义 11)，因此gi∘sig_i\circ s_i 是 YiY_i 中的恒等映射。如果ss是(si)i∈I(s_i)_{i\in I}族的扩张到乘积，则g∘sg\circ s是恒等映射IYiI_{Y_i}族的扩张到乘积，因此是恒等映射 ∏i∈IYi\displaystyle\prod_{i\in I}Y_i；因此 gg 是满射 (§ 3, 命题 8)。

令(Xi)i∈I(X_i)_{i\in I}为集合的家族，令EE为集合。对于EE的每个映射ff到∏i∈IXi\displaystyle\prod_{i\in I}X_i，pr⁡i∘f\operatorname{pr}_i\circ f是EE的映射到XiX_i。如果fˉ\bar f是映射族的扩张到乘积，并且如果dd是EE到EIE^I的对角线映射，那么f=fˉ∘df=\bar f\circ d就是直接的。相反，令(fi)i∈I(f_i)_{i\in I}为函数的族，使得对于每个i∈Ii\in I，fif_i为EE到XiX_i的映射，并令fˉ\bar f为该族的扩张至乘积；那么每个i∈Ii\in I就有pr⁡i∘(fˉ∘d)=fi\operatorname{pr}_i\circ(\bar f\circ d)=f_i。由于语言滥用，映射fˉ∘d\bar f\circ d也写成(fi)i∈I(f_i)_{i\in I}。这样我们就将定义一对一的映射的集合 ∏i∈IXiE\displaystyle\prod_{i\in I}X_i^E 映射到集合 (∏i∈IXi)E\displaystyle\left(\prod_{i\in I}X_i\right)^E；这个映射及其逆被认为是规范的。

习题

参见习题为 § 5。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。