Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 3。 作用

1. 作用

定义 1 057T

令Ω\Omega和E为两个集合。将Ω\Omega的映射放入集合，将E的映射EEE^E放入自身，称为E上的Ω\Omega作用。

引用了 1

引用了 命题 3, E II § 5

令 α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha 为 E 上 Ω\Omega 的作用。映射 (α,x)↦fα(x)(\alpha, x) \mapsto f_\alpha(x)（分别为 (x,α)↦fα(x)(x, \alpha) \mapsto f_\alpha(x)）被称为左*（分别为*右*）的 *律 作用为 E† 上的 Ω\Omega 与给定关联E 上的作用共 Ω\Omega。给定 E 中 Ω×E\Omega \times E（或 E×ΩE \times \Omega）的映射 gg，E 上存在且仅有一个 Ω\Omega 的作用 α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha，使得左（或右）作用的关联律为gg（*集合理论*、II, § 5, no. 2、命题3）。

在这个章中，为了缩写，我们应该说“作用的律”

† 或 E 上有时合成* 的 *外法则，其中 Ω\Omega 作为操作集合。

而不是“左侧律作用”。 E 的元素fα(x)f_\alpha(x)（对于α∈Ω\alpha \in \Omega和x∈Ex \in E）有时称为α\alpha下xx的*变换*或α\alpha和xx的*合成*。通常用左（或右）乘法记号α.x\alpha . x（或x.αx . \alpha）表示，点可以省略； α\alpha和xx的合成则称为α\alpha和xx的*乘积*（分别为xx和α\alpha）。还使用指数记号 xαx^\alpha。在下面各段的论证中，我们一般使用记号α⊥x\alpha \perp x。 元素或 Ω\Omega 通常被称为*运算符*。

例 057U

(1) 令 E 为乘法写成的结合岩浆。与 E 的严格正整数 nn 映射 x↦xnx \mapsto x^n 关联到自身的映射是 E 上 N∗\mathbf{N}^* 的作用。 如果 E 是群，则与有理数关联的映射 E 的整数 aa 映射 x↦xax \mapsto x^a 到 E 上等于 E 上的 Z\mathbf{Z} 作用。

(2) 令E为律的岩浆，用⊤\top表示。与 E 的子集集合的 x∈Ex \in E 映射 A↦x⊤AA \mapsto x \top A 关联到自身的映射是 P(E)\mathscr{P}(E) 上的 E 的作用。

(3) 设E为集合。 E 上EEE^E 的恒等映射是EEE^E 的作用，称为*规范的作用*。 作用的相应的律等于EE×EE^E \times E的映射(f,x)↦f(x)(f, x) \mapsto f(x)进入E。

(4) 设(Ωi)i∈I(\Omega_i)_{i \in I}为集合的一个家庭。对于所有i∈Ii \in I，令fi:Ωi→EEf_i : \Omega_i \to E^E为E上Ωi\Omega_i的作用。令Ω\Omega为Ωi\Omega_i的和（*集合理论*，II, § 4, no. 8）。将Ω\Omega的映射ff延伸到EEE^E，扩展fif_i，就是E上Ω\Omega的作用。这使我们能够将约化对作用的家庭的研究转化为对单个家庭的研究作用。

(5) 给定E上Ω\Omega的作用，⊥\perp表示律，Ω\Omega的子集Ξ\Xi和E的子集X，Ξ⊥X\Xi \perp X表示E的集合 α⊥x\alpha \perp x 与 α∈Ξ\alpha \in \Xi 和 x∈Xx \in X；当Ξ\Xi由单个元素α\alpha组成时，我们通常写α⊥X\alpha \perp X而不是{α}⊥X\{\alpha\} \perp X。与 α∈Ω\alpha \in \Omega 映射 X↦α⊥XX \mapsto \alpha \perp X 关联的映射是P(E)\mathscr{P}(E)上Ω\Omega的作用，据说它是从给定的作用通过扩张到集合*导出的子集。

(6) 设α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha为E上Ω\Omega的作用。设g为Ω\Omega中Ω′\Omega'的映射。那么映射β↦fg(β)\beta \mapsto f_{g(\beta)}就是E上Ω′\Omega'的作用。

(7) 设f:E×E→Ef : E \times E \to E为集合E上合成的律。映射γ:x↦γx\gamma : x \mapsto \gamma_x（分别δ:x↦δx\delta : x \mapsto \delta_x）（§ 2, no. 2），与元素x∈Ex \in E左（右）翻译相关联xx 是 E 对自身的作用；它被称为 E 的*左*（或*右*）*作用*，它本身*源自*给定的律。当ff可交换时，这两个作用重合。

左（右）作用与γ\gamma相关的律是ff（分别是律与ff相反）。右（或左）作用与δ\delta相关的律是ff（分别是律与ff相反）。

设E上的Ω,E,F\Omega, E, F为集合，α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha作用为Ω\Omega，F上的Ω\Omega为α↦gα\alpha \mapsto g_\alpha作用。 E 到 F* 的 Ω\Omega-*态射，或 E 到 F 的 映射与 Ω\Omega 的作用兼容，是 E 到 F 的映射 hh，使得

gα(h(x))=h(fα(x)) g_\alpha(h(x)) = h(f_\alpha(x))

对于所有α∈Ω\alpha \in \Omega和x∈Ex \in E。两个Ω\Omega态射中的合成是一个Ω\Omega态射。

设Ω,Ξ,E,F\Omega, \Xi, E, F为集合，EE上Ω\Omega的α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha作用，FF上Ξ\Xi的β↦gβ\beta \mapsto g_\beta作用和ϕ\phi映射 Ω\Omega 变成Ω′\Omega'。 EE到FF的ϕ\phi态射是EE到FF的映射hh，使得

gϕ(α)(h(x))=h(fα(x)) g_{\phi(\alpha)}(h(x)) = h(f_\alpha(x))
对于所有 α∈Ω\alpha \in \Omega 和 x∈Ex \in E。

引用了 2

引用了 E II § 4. 集合家庭的并和交, I § 2. 。 单位元素；可取消元素； 可逆元

2. 子集在作用下稳定。诱导作用

定义 2 057V

如果fα(A)⊂Af_\alpha(A) \subset A对于所有α∈Ω\alpha \in \Omega来说，集合EE的子集AA在EE上Ω\Omega的作用α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha下被称为稳定。如果fα(x)=xf_\alpha(x) = x，则EE的元素xx在Ω\Omega的元素α\alpha下称为不变式。

EE的稳定子集族的交在给定作用下是稳定的。因此，对于给定的子集 XX EE，存在EE 包含的最小的稳定子集；据说它是由XX“生成”的；它由元素 (fα1∘fα2∘⋯∘fαn)(x)(f_{\alpha_1} \circ f_{\alpha_2} \circ \cdots \circ f_{\alpha_n})(x) 组成，其中 x∈X,n≥0,αi∈Ωx \in X, n \geq 0, \alpha_i \in \Omega 代表所有 ii。

注 057W

令EE为岩浆，律记为τ\tau。需要注意的是，EE的子集AA在EE的左侧作用下稳定，在EE的右作用下不一定稳定； EE的子集AA在左（或右）下稳定，EE的作用本身在EE上的律下稳定，但逆命题一般情况下并不正确。更准确地说，当且仅当AτA⊂AA \tau A \subset A时，AA在EE上的律下稳定，而当且仅当EτA⊂AE \tau A \subset A（或AτE⊂AA \tau E \subset A）时，AA在左（或右）作用在EE上稳定。

例 057X

取岩浆EE为集合N\mathbf{N}和乘法。 集合{1}\{1\}在N\mathbf{N}的内部律下是稳定的，而{1}\{1\}自身生成的N\mathbf{N}的作用下稳定的子集是N\mathbf{N}的整体。

定义 3 057Y

令α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha为EE上Ω\Omega的作用，并且AA为EE的稳定子集。与 fαf_\alpha 至 AA 的元素 α∈Ω\alpha \in \Omega 限制相关联的映射（视为 AA 的映射自身）是 AA 上的 Ω\Omega 的作用，据说是由给定的作用.

3. 商作用

定义 4 057Z

令α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha为集合EE上集合Ω\Omega的作用。 EE上的等价关系RR据说与给定的作用兼容，如果对于EE的所有元素xx和yy，使得x≡y(modR)x \equiv y \pmod{R}和所有α∈Ω,fα(x)≡fα(y)(modR)\alpha \in \Omega, f_\alpha(x) \equiv f_\alpha(y) \pmod{R}。 映射与 E/RE/R 的元素 α∈Ω\alpha \in \Omega 映射相关联，由 fαf_\alpha 通过经过得到的商是 Ω\Omega 在 E/RE/R 上的作用，称为 的商EE Ω\Omega 作用。

引用了 1

引用了 I § 1. 。 律合成； 结合性； 交换律

Let EE be a magma and RR an equivalence relation on EE. RR is said to be left (resp. right) compatible with the law on EE if it is compatible with the left (resp.

右）E 本身的作用源自E上的律。为了使R与E上的律兼容，它与E上的律左右兼容是必要且充分的。

我们将§ 1, no. 6的命题 6、7和8的类似物留给读者叙述和证明。

4. Distributivity

定义 5 0580

设 E1,…,EnE_1, \ldots, E_n 和 F 为集合，并将 E1×⋯×EnE_1 \times \cdots \times E_n 的 u 映射代入 F。设 i∈{1,n}i \in \{1, n\}。假设 EiE_i 和 F 被赋予结构岩浆。如果部分映射则表示 u 相对于指标变量 i 具有分布性

xi↦u(a1,…,ai−1,xi,ai+1,…,an) x_i \mapsto u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)
被以下引用 1

被以下引用 注

对于EjE_j和j≠ij \neq i中所有固定的aja_j，EiE_i的同态进入F。

如果 ⊤\top 表示 EiE_i 和 F 上的内部律，则 u 的分配律由以下方程给出

(1)

u(a1,…,ai−1,xi⊤xi′,ai+1,an)=u(a1,…,ai−1,xi,ai+1,…,an)⊤u(a1,…,ai−1,xi′,ai+1,…,an) u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i \top x'_i, a_{i+1}, a_n) \\ = u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n) \top u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x'_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)

对于i=1,2,…,n,a1∈E1,…,ai−1∈Ei−1,xi∈Ei,xi′∈Ei,ai+1∈Ei+1,…,an∈Eni = 1, 2, \ldots, n, a_1 \in E_1, \ldots, a_{i-1} \in E_{i-1}, x_i \in E_i, x'_i \in E_i, a_{i+1} \in E_{i+1}, \ldots, a_n \in E_n。

例 0581

令 E 为乘法写成的幺半群（分别为群）。 N×E\mathbf{N} \times E（或 Z×E\mathbf{Z} \times E）的映射 (n,x)↦xn(n, x) \mapsto x^n 进入 E，可通过方程 xm+n=xmxnx^{m+n} = x^m x^n 相对于第一个变量进行分配（加法与 N\mathbf{N} 上的律）。如果 E 是可交换的，则该映射对于第二个变量可通过方程 (xy)n=xnyn(xy)^n = x^n y^n 进行分配。

命题 1 0582

令 E1,E2,…,EnE_1, E_2, \ldots, E_n 和 F 为可加写的交换幺半群，并令 u 为 F 中 E1×⋯×EnE_1 \times \cdots \times E_n 的映射，它对所有变量都是可分配的。对于i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n，令LiL_i为非空有限集合，且(xi,λ)λ∈Li(x_{i,\lambda})_{\lambda \in L_i}为EiE_i的元素族。让 yi=∑λ∈Lixi,λy_i = \sum_{\lambda \in L_i} x_{i,\lambda} 代表 i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n。然后

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 I § 1. 。 律合成； 结合性； 交换律

被以下引用 命题 2, I § 4, I § 8. 。 环

(2)

u(y1,…,yn)=∑αu(x1,α1,…,xn,αn) u(y_1, \ldots, y_n) = \sum_\alpha u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_n, \alpha_n)

和被接管所有序列 α=(α1,…,αn)\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) 属于至 L1×⋯×LnL_1 \times \cdots \times L_n。

我们通过归纳对n进行论证，案例n=1n = 1源自§ 1, no. 2的公式(2)。来自同一参考文献

(3)

u(y1,…,yn−1,yn)=∑αn∈Lnu(y1,…,yn−1,xn,αn) u(y_1, \ldots, y_{n-1}, y_n) = \sum_{\alpha_n \in L_n} u(y_1, \ldots, y_{n-1}, x_n, \alpha_n)

对于yn=∑αn∈Lnxn,αny_n = \sum_{\alpha_n \in L_n} x_{n,\alpha_n}和映射z↦u(y1,…,yn−1,z)z \mapsto u(y_1, \ldots, y_{n-1}, z)的EnE_n进入FF是岩浆同态。将归纳假设应用于从 E1×⋯×En−1E_1 \times \cdots \times E_{n-1} 到 FF 的分配律映射 (z1,…,zn−1)↦u(z1,…,zn−1,xn,αn)(z_1, \ldots, z_{n-1}) \mapsto u(z_1, \ldots, z_{n-1}, x_n, \alpha_n)，

(4)

u(y1,…,yn−1,xn,αn)=∑α1,…,αn−1u(x1,α1,…,xn−1,αn−1,xn,αn), u(y_1, \ldots, y_{n-1}, x_n, \alpha_n) = \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}} u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_{n-1}, \alpha_{n-1}, x_n, \alpha_n),
和被接管序列 (α1,…,αn−1)(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}) 属于至M=L1×⋯×Ln−1M = L_1 \times \cdots \times L_{n-1}。现在L1×⋯×Ln=M×LnL_1 \times \cdots \times L_n = M \times L_n；写作
tα1,…,αn=u(x1,α1,…,xn,αn), t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} = u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_n, \alpha_n),
我们有 (5)
∑α1,…,αntα1,…,αn=∑αn(∑α1,…,αn−1tα1,…,αn−1,αn) \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} = \sum_{\alpha_n} \left( \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}} t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, \alpha_n} \right)
由公式 (7) 共 § 1, no. 5。 (2) 紧接着(3)、(4) 和(5)。

注 0583

如果u(a1,…,ai−1,0,ai+1,…,an)=0u(a_1, \ldots, a_{i-1}, 0, a_{i+1}, \ldots, a_n) = 0适用于i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n和aj∈Eja_j \in E_j（j≠ij \neq i），则公式（2）对于有限支撑的家庭(xi,λ)λ∈Li(x_i, \lambda)_{\lambda \in L_i}仍然成立。

定义 5 的一个特例是，uu 是作用的律，与岩浆 EE 上的集合 Ω\Omega 的作用相关联。如果uu相对于第二个变量是可分配的，则也可以说Ω\Omega在岩浆EE上的作用是可分配的。其他字：

引用了 1

引用了 定义 5

定义 6 0584

作用* α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha 属于集合 Ω\Omega 在岩浆上 EE 如果对于所有 α∈Ω\alpha \in \Omega，*映射* fαf_\alpha *是岩浆的自同态，则称其具有分配性EE。

引用了 1

引用了 I § 1. 。 律合成； 结合性； 交换律

如果⊤\top表示岩浆EE的律，并且作用的⊥\perp律与EE上Ω\Omega的作用相关，则后者的分配律表示为公式 (6)

α⊥(x⊤y)=(α⊥x)⊤(α⊥y)(for α∈Ω and x,y∈E). \alpha \perp (x \top y) = (\alpha \perp x) \top (\alpha \perp y) \quad \text{(for } \alpha \in \Omega \text{ and } x, y \in E\text{)}.

通过滥用语言，还可以说律 ⊥\perp 相对于律 ⊤\top 是可分配的（或右分配的）。

§ 1, no. 2的公式(2)表明，对于EE的元素的每一个有序的序列(xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L}和每一个α∈Ω\alpha \in \Omega， (7)

α⊥(⋀λ∈Lxλ)=⋀λ∈L(α⊥xλ). \alpha \perp \left( \bigwedge_{\lambda \in L} x_\lambda \right) = \bigwedge_{\lambda \in L} (\alpha \perp x_\lambda).

如果作用 α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha 具有分配性，并且 EE 上的等价关系 RR 与 EE 的合成的律和作用 α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha 相容的，则 E/RE/R 上的商作用是分布式的。

当EE上的律写成乘法时，我们经常使用作用的律的指数记号xαx^\alpha，它相对于这个乘法是可分配的，因此分配律可以用恒等式(xy)α=xαyα(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha来表示。如果E上的律是相加的，我们经常使用左（或右）乘法记号α.x\alpha . x（或x.αx . \alpha）来表示作用的律，这是相对于由恒等式表示的加法，分配律的分配

α(x+y)=αx+αy(resp. (x+y)α=xα+yα). \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \quad (\text{resp. } (x + y)\alpha = x\alpha + y\alpha).

我们还可以考虑Ω\Omega有一个内部律，用T‾\overline{T}表示，作用的律相对于第一个变量是可分配的，这意味着

(8)

(αT‾β)⊥x=(α⊥x)T(β⊥x) (\alpha \overline{T} \beta) \perp x = (\alpha \perp x) T (\beta \perp x)
对于所有α,β∈Ω\alpha, \beta \in \Omega和x∈Ex \in E。然后，通过§ 1, no. 2的公式(2)

(9)

(T‾λ∈Lαλ)⊥x=T‾λ∈L(αλ⊥x) \left( \overline{T}_{\lambda \in L} \alpha_{\lambda} \right) \perp x = \overline{T}_{\lambda \in L} (\alpha_{\lambda} \perp x)
对于每个订购的序列 (αλ)λ∈L(\alpha_{\lambda})_{\lambda \in L} 元素 Ω\Omega 以及所有 x∈Ex \in E。

5. 一个内部律的分配律相对于另一个

定义 7 0585

令 TT 和 ⊥\perp 为集合 E 上的两个内部律。 律 ⊥\perp 被认为对于律 TT 是可分配的，如果

(10)

x⊥(yTz)=(x⊥y)T(x⊥z) x \perp (y T z) = (x \perp y) T (x \perp z)
(11)
(xTy)⊥z=(x⊥z)T(y⊥z) (x T y) \perp z = (x \perp z) T (y \perp z)
对于 E 中的所有 x,y,zx, y, z。

注如果律 ⊥\perp 是可交换的，则 (10) 和 (11) 是等价的。一般来说，律之一写为加法，另一个写为乘法；如果乘法对于加法是可分配的，那么：

(12)

x.(y+z)=x.y+x.z x . (y + z) = x . y + x . z
(13)
(x+y).z=x.z+y.z (x + y) . z = x . z + y . z

例 0586

(1) 在集合E的子集的集合P(E)\mathscr{P}(E)中，内部律∩\cap和∪\cup各自相对于自身和对方具有分配性。这是从形式的公式得出的

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).

(2) 在Z\mathbf{Z}中（更一般地，在任何全序集中），律sup和inf中的每一个相对于另一个和相对于自身都是可分配的。

(3) 在Z\mathbf{Z}（*更一般地在任何环*）中，乘法相对于加法是可分配的。

(4) 在N\mathbf{N}中，加法和乘法对于律sup和inf是可分配的。

习题

参见习题为 § 3。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。