Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 2。 单位元素；可取消元素； 可逆元

1. Identity element

定义 1 056M

Under a law of composition ⊤\top on a set EE an element ee of EE is called an identity element if, for all x∈Ex \in E, e⊤x=x⊤e=xe \top x = x \top e = x.

被以下引用 1

被以下引用 定义 1, I § 4

给定律⊤\top下最多存在一个单位元素，因为如果ee和e′e'是单位元素，则e=e⊤e′=e′e = e \top e' = e'。 单位元素对于每个元素都是可置换的：它是中心元素。

定义 2 056N

单位元素的岩浆称为单一岩浆。如果E,E′E, E'是单一岩浆，则将岩浆EE的同态转化为岩浆E′E'，其中EE的映射单位元素到E′E'的单位元素称为单一同态（或态射）的EE转化为E′E'。联合单位岩浆称为幺半群。

如果E,E′E, E'是幺半群，则EE到E′E'的单位态射称为幺半群同态或EE到E′E'的幺半群态射。

例 056O

(1) 在自然数的集合N\mathbf{N}中，0是加法下的单位元素，1是乘法下的单位元素。这两个律中的每一个都给出N\mathbf{N}一个可交换幺半群结构（集合理论，III, § 3, no. 3）。

(2) 在集合EE子集集合中，∅\varnothing是律∪\cup下的单位元素和律∩\cap下的EE。更一般地，在格子中，最小元素（如果存在）是单位元素在律之下；反之，如果在该律下存在单位元素，则它是集合中最小的元素。对于最大元素和律 inf 也是如此。

(3) 集合 N\mathbf{N} 在律 (x,y)↦xy(x, y) \mapsto x^y 下没有单位元素。在律(X,Y)↦X∘Y(X, Y) \mapsto X \circ Y下E×EE \times E子集之间，对角的Δ\Delta为单位元素。在律(f,g)↦f∘g(f, g) \mapsto f \circ g下，EE的映射到EE恒等映射的EE到EE之间是单位元素。

（4）设EE为岩浆，EE上的RR等价关系与EE（§ 1, no. 6）上的律兼容。 如果E/RE/R中ee是EE的单位元素，ee的典范像就是岩浆E/RE/R的单位元素。

单位岩浆的单位元素是单位同态；两个单位同态的合成也是一。对于映射是单位岩浆同构来说，它是双射单位同态是必要且充分的，并且逆映射是单位同态。令EE和E′E'为单一岩浆，e′e'单位元素为E′E'； EE到E′E'映射EE到e′e'的常数映射是单位同态，称为平凡同态。

单一岩浆族（或幺半群）的乘积是单一岩浆（或幺半群）。

单位岩浆（或幺半群）的每个商岩浆都是单位岩浆（或幺半群）。

令EE为单一岩浆，ee为单位元素。 EE的子岩浆AA使得e∈Ae \in A被称为EE的单一子岩浆。显然 ee 是岩浆 AA 的单位元素。每交 EE 的单位子岩浆都是 EE 的单位子岩浆。如果XX是EE的子集，则存在EE包含XX的最小的单一子岩浆；称为XX生成的EE单一次岩浆；如果 XX 为空，则它等于 {e}\{e\}。如果EE是幺半群，则EE的单位次岩浆称为EE的子幺半群。

如果FF是没有单位元素的岩浆，则FF的子岩浆可能拥有单位元素。对于例，如果 FF 是结合律且 hh 是 FF (I, § 1, no. 4) 的幂等元素，则 h↑x↑hh \uparrow x \uparrow h 的集合（其中 xx 穿过 FF）是FF的次岩浆，hh为单位元素。

如果 EE 是具有单位元素 ee 的岩浆，则 EE 的子岩浆 AA 使得 e∉Ae \notin A 可能仍拥有单位元素。

引用了 2

引用了 E III § 3. Equipotent sets. Cardinals, I § 1. 。 律合成； 结合性； 交换律

定义 3 056P

令 EE 为单一岩浆。 EE的单位元素称为EE元素空族的合成。

引用了 2

引用了 定理 1 (结合性定理), I § 1, 定理 3, I § 1

如果(xα)α∈∅(x_\alpha)_{\alpha \in \varnothing}是E的元素的空族，则其合成ee也用∏α∈∅xα\prod_{\alpha \in \varnothing} x_\alpha表示。对于例，我们写

∏q≤i≤pxi=e \prod_{q \leq i \leq p} x_i = e
当p<qp < q（p,q∈Np, q \in \mathbf{N}）时。类似地，我们将任意 xx 写为 ∏0x=e\prod^0 x = e。 使用这些定义定理 1 和 3 § 1 保持为真，如果假设集合 A 和 Bi 非空被抑制。* 类似地，公式 ∏m+nx=(∏mx)∏n(∏nx)\prod^{m+n} x = \left( \prod^m x \right) \prod^n \left( \prod^n x \right) 和 ∏mnx=∏m(∏nx)\prod^{mn} x = \prod^m \left( \prod^n x \right) 对于 m≥0,n≥0m \geq 0, n \geq 0 也为真。

令 E 为单一岩浆，其律表示为 ⊤\top，ee 表示为单位元素。 E 的元素家​​庭(xi)i∈I(x_i)_{i \in I} 的*支持*是指标 i∈Ii \in I 的集合，使得xi≠ex_i \neq e。令(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}是E*与有限支撑*的元素的族。以下两种情况我们应定义合成∏i∈Ixi\prod_{i \in I} x_i：

(a) 集合 I 全序； (b) E 是结合律，并且 xix_i 是成对可置换的。

在这两种情况下，令 S 为家庭的支持(xi)(x_i)。如果 J 是 I 包含 S 的有限子集，则 ∏i∈Jxi=∏i∈Sxi\prod_{i \in J} x_i = \prod_{i \in S} x_i，如 J 中元素的数上的归纳所示，在情况 (a) 中，应用定理 1 为 § 1，并且在情况 (b) 中，定理 3 / § 1。令∏i∈Ixi\prod_{i \in I} x_i表示合成∏i∈Jxi\prod_{i \in J} x_i的公共的值，对于I包含S的所有有限子集。当I是N\mathbf{N}的区间[p,→][p, \to]时，我们也写∏i=p∞xi\prod_{i = p}^\infty x_i。

有了这些定义和记号，§ 1和注中的定理 1和3，继定理 3 扩展之后，送给有限支撑的家庭。

加法书写的律的单位元素通常用0表示，称为*零*或*空元素*（或有时*原点*）。在律写作*乘法*时，通常用1表示并称为*单位元*（或*单位*）。

2. 可取消元素

定义 4 056Q

给定集合 E 上合成 ⊤\top 的律，E 的映射 x↦a⊤xx \mapsto a \top x（或 x↦x⊤ax \mapsto x \top a）自身被称为元素 a∈Ea \in E 的左翻译（或右翻译）。

在经过与相反的律上，左翻译变成右翻译，反之亦然。

令γa,δa\gamma_a, \delta_a（或γ(a),δ(a)\gamma(a), \delta(a)）表示a∈Ea \in E的左右平移；那么

γa(x)=a⊤x,δa(x)=x⊤a. \gamma_a(x) = a \top x, \qquad \delta_a(x) = x \top a.

命题 1 056R

如果律* T\mathsf{T} 是结合律，则对于所有 x∈Ex \in E 和 y∈Ey \in E

被以下引用 2

被以下引用 命题 2, 命题 3

γxTy=γx∘γy,δxTy=δy∘δx. \gamma_{x \mathsf{T} y} = \gamma_x \circ \gamma_y, \qquad \delta_{x \mathsf{T} y} = \delta_y \circ \delta_x.

对于所有z∈Ez \in E：

γxTy(z)=(xTy)Tz=xT(yTz)=γx(γy(z)) \gamma_{x \mathsf{T} y}(z) = (x \mathsf{T} y) \mathsf{T} z = x \mathsf{T} (y \mathsf{T} z) = \gamma_x(\gamma_y(z))
δxTy(z)=zT(xTy)=(zTx)Ty=δy(δx(z)) \delta_{x \mathsf{T} y}(z) = z \mathsf{T} (x \mathsf{T} y) = (z \mathsf{T} x) \mathsf{T} y = \delta_y(\delta_x(z))

其他字、映射x↦γxx \mapsto \gamma_x是同态从EE到EE的映射的集合EEE^E与律自身结合(f,g)↦f∘g(f, g) \mapsto f \circ g； 映射 x↦δxx \mapsto \delta_x 是 EE 的同态变成集合 EEE^E 与相反的律。如果 EE 是幺半群，则这些同态是单位的。

定义 5 056S

元素* aa 岩浆 EE 如果左（或右）平移 aa *是单射的，则称为左（或右）可取消（或常规）。左右可取消元素称为可取消（或常规）元素。

被以下引用 1

被以下引用 命题 1 (« 加法 of inequalities »), VI § 1

在其他字中，为了使aa在律T\mathsf{T}下可取消，关系aTx=aTy,xTa=yTaa \mathsf{T} x = a \mathsf{T} y, x \mathsf{T} a = y \mathsf{T} a中的每一个都暗示x=yx = y是必要且充分的（据说这些等式中的每一个都“可以取消a”）。如果律T\mathsf{T}下存在单位元素ee，则在该律下可以取消：γe\gamma_e和δe\delta_e的翻译就是EE的恒等映射自身。

例 056T

(1) 每自然数可在加法下取消；每个自然数≠0\neq 0都可以在乘法下取消。

(2) 在一个格子中，除了单位元素（至少元素）之外，律sup下不能有可取消的元素（如果存在的话）；同样对于 inf。特别是集合EE子集集合，∅\varnothing是律∪\cup下唯一可取消的元素，EE是元素下唯一可取消的元素律∩\cap。

命题 2 056U

可取消的集合（左可取消，右可取消）元素关联岩浆是子岩浆。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 1

被以下引用 命题 6, 命题 1 (« 加法 of inequalities »), VI § 1

如果 γx\gamma_x 和 γy\gamma_y 是单射的，那么 γxTy=γx∘γy\gamma_{x \mathsf{T} y} = \gamma_x \circ \gamma_y (命题 1) 也是单射的。对于 δxTy\delta_{x \mathsf{T} y} 也是如此。

3. 可逆元

定义 6 056V

设*EE*为单一岩浆，T\mathsf{T}其合成的律，e其单位元素和*xx*和*x′x'**EE的两个元素。 x′x' 被称为 xx if x′Tx=ex' \mathsf{T} x = e *（或xTx′=ex \mathsf{T} x' = e，或x′Tx=xTx′=ex' \mathsf{T} x = x \mathsf{T} x' = e）的左逆（或右逆，或逆）。

被以下引用 1

被以下引用 I § 4. 。 群和群与操作员

元素 xx of EE 如果它有左逆（或右逆、或逆），则称为左可逆（或右可逆、或可逆）。

所有元素可逆的幺半群称为群。

对称和可对称使用有时代替逆和可逆。当E上的律写成加法时，我们通常说负数而不是逆数。

例 056W

(1) 单位元素是它自己的逆元。

(2) 在 E 的映射的集合到 E 元素中，如果 f 是满射（或单射），则 f 是左可逆的（或右可逆的）。左逆（或右逆）则为与 f（集合理论、II, § 3, no. 8、定义 11）关联的退化（或截面）。为了使 f 可逆，f 为双射是充分必要的。那么它的唯一逆元就是 f 的逆双射。

设 E 和 F 是两个单位岩浆，f 是 E 到 F 中的单位同态。如果 x' 是 E 中 x 的逆，f(x') 是 F 中 f(x) 的逆。因此，如果 x 是 E 的可逆元，则 f(x) 是 F 的可逆元。

In particular, if R is an equivalence relation compatible with the law on a unital magma E, the canonical image of an invertible element of E is invertible in E/R.

引用了 1

引用了 定义 11, E II § 3

命题 3 056X

设 E 为幺半群，且 x 元素为 E。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 1

被以下引用 习题 6, § 2, 定理 1（雅各布森）, VIII § 9

(i) 为了使 x 左（或右）可逆，x 的右（或左）平移是满射的是必要且充分的。

(ii) 对于 x 可逆，它是左可逆和右可逆的充分必要条件。在这种情况下，x 有一个唯一的逆元，这也是其唯一的左（或右）逆元。

如果 x' 是 x 的左逆，则 (命题 1)

δx∘δx′=δx′⊤x=δe=IdE \delta_x \circ \delta_{x'} = \delta_{x' \top x} = \delta_e = \mathrm{Id}_E

且 δx\delta_x 是满射。相反，如果δx\delta_x是满射，则存在E的元素x′x'，使得δx(x′)=e\delta_x(x') = e和x′x'是xx的左逆元。 (i) 的其他断言类似。

如果x′x'（或x′′x''）是xx的左（或右）逆，则

x′=x′⊤e=x′⊤(x⊤x′′)=(x′⊤x)⊤x′′=e⊤x′′=x′′, x' = x' \top e = x' \top (x \top x'') = (x' \top x) \top x'' = e \top x'' = x'',

从而（二）。

注 056Y

设 E 为幺半群，x 元素为 E。如果 x 是可逆的，则它是可取消的；因为，如果 x′x' 是 xx 的左逆，那么

γx′∘γx=γx′⊤x=γe=IdE \gamma_{x'} \circ \gamma_x = \gamma_{x' \top x} = \gamma_e = \mathrm{Id}_E

且 γx\gamma_x 是单射的。特别是，如果 x 是左可逆的，则 x 的左右平移是双射的。相反，假设 γx\gamma_x 是双射；存在x′∈Ex' \in E使得xx′=γx(x′)=exx' = \gamma_x(x') = e；那么 γx(x′x)=(xx′)x=x=γx(e)\gamma_x(x'x) = (xx')x = x = \gamma_x(e) 进而x′x=ex'x = e，因此 x 是可逆的。我们类似地看到，如果 δx\delta_x 是双射的，则 x 是可逆的。

命题 4 056Z

设 E 为幺半群，E 的 x 和 y 可逆元分别具有逆 x' 和 y'。那么 y' ⊤\top x' 是 x ⊤\top y 的倒数。

被以下引用 7

被以下引用 § 2. 。 单位元素；可取消元素； 可逆元, 引理 2, 注, 推出 1, 命题 6, 定理 1, 例, I § 4

这是从关系得出的

(y′⊤x′)⊤(x⊤y)=y′⊤(x′⊤x)⊤y=y′⊤y=e (y' \top x') \top (x \top y) = y' \top (x' \top x) \top y = y' \top y = e
以及 (x ⊤\top y) ⊤\top (y' ⊤\top x') 的类似计算。

推出 1 0570

设 E 为幺半群；如果 E 的元素的有序序列 (xα)α∈A(x_\alpha)_{\alpha \in A} 的每个元素 xαx_\alpha 都有一个逆 xα′x'_\alpha，合成 ∏α∈Axα\prod_{\alpha \in A} x_\alpha 都有逆 ∏α∈A′xα′\prod_{\alpha \in A'} x'_\alpha，其中 A' 是通过替换从 A 导出的全序集阶在 A 上，与对面的阶相接。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 4

被以下引用 推论, I § 7

该推论由 A 中元素的数上的命题 4 通过归纳得出。

特别是，如果 x 和 x' 是倒数，则对于每个整数 n≥0n \geq 0，∏nx\prod^n x 和 ∏nx′\prod^n x' 都是倒数。

推出 2 0571

在幺半群中，集合可逆元是稳定的。

命题 5 0572

如果在幺半群中 x 和 x' 互逆并且 x 与 y 交换，那么 x' 也是如此。

被以下引用 3

被以下引用 定理 1, 推论 2, I § 4, 命题 1, I § 9

从x⊤y=y⊤xx \top y = y \top x，我们推导出x′⊤(x⊤y)⊤x′=x′⊤(y⊤x)⊤x′x' \top (x \top y) \top x' = x' \top (y \top x) \top x'，从而推导出(x′⊤x)⊤(y⊤x′)=(x′⊤y)⊤(x⊤x′)(x' \top x) \top (y \top x') = (x' \top y) \top (x \top x')，即y⊤x′=x′⊤yy \top x' = x' \top y。

推出 1 0573

令 E 为幺半群，E 的 X 子集以及 X' X 的中心化器。 X' 属于到 X' 的每个可逆元的逆。

被以下引用 1

被以下引用 命题 2, I § 4

推出 2 0574

在幺半群中，中心可逆元的逆是中心元素。

4. 交换幺半群的分数幺群

在这个数中，e 表示幺半群的单位元素，x* 表示 E 的可逆元 x 的逆。

令 E 为可​​交换幺半群，E 的 S 子集和由 S 生成的 E 的 S' 子幺半群。

引理 1 0575

在 E ×\times S' 关系 RR\mathscr{R}x, yR\mathscr{R} 中定义为：

被以下引用 1

被以下引用 定义 7

“存在a,b∈Ea, b \in E和p,q,s∈S′p, q, s \in S'使得x=(a,p),y=(b,q)x = (a, p), y = (b, q)和aqs=bpsaqs = bps”

等价关系与乘积幺半群 E ×\times S' 上的律兼容。

R 是自反且对称的，即直接的。令x=(a,p),y=(b,q)x = (a, p), y = (b, q)和z=(c,r)z = (c, r)为E×\timesS'的元素，使得RR\mathscr{R}x，yR\mathscr{R}和RR\mathscr{R}y，zR\mathscr{R}成立。那么存在 S' 的两个元素 s 和 t 使得

aqs=bps,brt=cqt, aq s = bps, \quad br t = cqt,
从而由此可见
ar(stq)=bpsrt=cp(stq) ar(stq) = bpsrt = cp(stq)

因此，对于 stqstq 属于到 S′S'，R{x,z}R \{ x, z \} 成立。因此关系 RR 是及物性的。

此外，令x=(a,p),y=(b,q),x′=(a′,p′),x = (a, p), y = (b, q), x' = (a', p'),和y′=(b′,q′)y' = (b', q')为E×S′E \times S'的元素，使得R{x,y}R \{ x, y \}和R{x′,y′}R \{ x', y' \}成立。 S′S'中存在ss和s′s'使得

aqs=bps,a′q′s′=b′p′s′, aqs = bps, \qquad a'q's' = b'p's',
从而由此得出(aa′)(qq′)(ss′)=(bb′)(pp′)(ss′)(aa')(qq')(ss') = (bb')(pp')(ss')，因此R{xx′,yy′}R \{ xx', yy' \} 代表ss′∈S′ss' \in S'。因此，等价关系 RR 与E×S′E \times S' 上的合成的律兼容。

商 magma (E×S′)/R(E \times S')/R 是一个交换幺半群。

定义 7 0576

令EE为可交换幺半群，EE的SS子集和由SS生成的EE的S′S'子幺半群。商幺半群(E×S′)/R(E \times S')/R，其中等价关系RR如引理1中所述，用ESE_S表示，称为EE的分数†的幺半群，与SS相关（或与SS).

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 引理 1

被以下引用 命题 6

对于(a,p)(a, p)模RR的a∈Ea \in E和p∈S′p \in S'类，一般用a/pa/p表示，称为分子aa分母pp的分数。然后到定义(a/p).(a′/∣p′)=aa′/∣pp′(a/p).(a'/|p') = aa'/|pp'。 分数a/pa/p和a′/∣p′a'/|p'相等当且仅当S′S'和spa′=sp′aspa' = sp'a中存在ss；如果是，则S′S'中存在σ\sigma和σ′\sigma'，以及aσ=a′σ′a\sigma = a'\sigma'和pσ=p′σ′p\sigma = p'\sigma'。特别是，a∈Ea \in E对应a/p=sa/spa/p = sa/sp，S′S'对应s,ps, p。 ESE_S的单位元素是分数e/ee/e。

让a/e=ε(a)a/e = \varepsilon(a)代表所有a∈Ea \in E。上式表明，ε\varepsilon是EE到ESE_S的同态，称为规范。对于所有p∈S′p \in S'、(p/e).(e/p)=e/e(p/e).(e/p) = e/e，因此e/pe/p是ε(p)=p/e\varepsilon(p) = p/e的逆；因此 ε(S′)\varepsilon(S') 的每个元素都是可逆的。然后a/p=(a/e).(e/p)a/p = (a/e).(e/p)，从而

a/p=ε(a)ε(p)∗ a/p = \varepsilon(a)\varepsilon(p)^*
对于a∈Ea \in E和p∈S′p \in S'，幺半群ESE_S因此由ε(E)∪ε(S)∗\varepsilon(E) \cup \varepsilon(S)^*生成。

命题 6 0577

记号是定义 7 的值，ε\varepsilon 表示EE 到ESE_S 的典范同态。 (i) 设aa和bb在EE中；在阶、ε(a)=ε(b)\varepsilon(a) = \varepsilon(b)中，存在s∈S′s \in S'和sa=sbsa = sb是充分必要的。 (ii) 要使 ε\varepsilon 成为单射，SS 中的每个元素都可以取消是必要且充分的。 (iii) 要使 ε\varepsilon 成为双射，SS 的每个元素都是可逆的。

引用了 3 · 被以下引用 4

引用了 定义 7, 命题 2, 命题 4

被以下引用 注, 定义 8, I § 8, VIII § 11. 。 格罗滕迪克群, 命题 6, VIII § 11

断言 (i) 很清楚，表明ε\varepsilon是单射的当且仅当S′S'的每个元素都是可取消的；但由于EE的可取消的元素的集合是EE的子幺半群(no. 2，命题2)，所以说SS的每个元素都是可取消的。

† 如果 EE 上的律是相加的，则也称为“差异幺半群”。

如果ε\varepsilon是双射的，S的每个元素都是可逆的，因为ε(S)\varepsilon(S)由ESE_S的可逆元组成。相反，假设 S 的每个元素都是可逆的；那么S′S'的每个元素都是可逆的（no. 3，推论2到命题4），因此可以取消。那么 ε\varepsilon 被 (ii) 内射，a/p=ε(a.p∗)a/p = \varepsilon(a.p^*) 被 (1) 内射，因此 ε\varepsilon 是满射。

定理 1 0578

设 E 为可交换幺半群，E 的 S 子集，ESE_S 与 S 相关的分数幺半群以及ε:E→ES\varepsilon : E \to E_S 典范同态。进一步令 f 为 E 的同态成为幺半群 F（不一定可交换），使得 f(S)f(S) 的每个元素在 F 中都是可逆的。存在且仅有一个 ESE_S 的同态 fˉ\bar{f} 到 F 中，使得 f=fˉ∘εf = \bar{f} \circ \varepsilon。

引用了 2 · 被以下引用 6

引用了 命题 4, 命题 5

被以下引用 习题 16, § 2, 习题 17, § 2, 引理 2, 注, 定理 5, I § 8, 命题 6, VIII § 11

如果 fˉ\bar{f} 是 ESE_S 的同态到 F 中，使得 f=fˉ∘εf = \bar{f} \circ \varepsilon，则

fˉ(a/p)=fˉ(ε(a)ε(p)∗)=fˉ(ε(a))fˉ(ε(p))∗=f(a)f(p)∗ \bar{f}(a/p) = \bar{f}(\varepsilon(a)\varepsilon(p)^*) = \bar{f}(\varepsilon(a))\bar{f}(\varepsilon(p))^* = f(a)f(p)^*
对于 a∈Ea \in E 和 p∈S′p \in S'，从而唯一性 fˉ\bar{f}。

令 g 为 E×S′E \times S' 的映射到由 g(a,p)=f(a)f(p)∗g(a,p) = f(a)f(p)^* 定义的 F 中。我们证明 g 是 F 中 E×S′E \times S' 的同态。首先，

g(e,e)=f(e)f(e)∗=e. g(e,e) = f(e)f(e)^* = e.
令(a,p)(a,p)和(a′,p′)(a',p')为E×S′E \times S'中的两个元素；如a′a'和pp在E通勤，f(a′)f(a')和f(p)f(p)在F通勤，从而f(a′)f(p)∗=f(p)∗f(a′)f(a')f(p)^* = f(p)^*f(a')经no. 3，命题5。此外f(pp′)∗=f(p′p)∗=(f(p′)f(p))∗=f(p)∗f(p′)∗f(pp')^* = f(p'p)^* = (f(p')f(p))^* = f(p)^*f(p')^*经no. 3， 命题 4、从而
g(aa′,pp′)=f(aa′)f(pp′)∗=f(a)f(a′)f(p)∗f(p′)∗=f(a)f(p)∗f(a′)f(p′)∗=g(a,p)g(a′,p′). g(aa',pp') = f(aa')f(pp')^* = f(a)f(a')f(p)^*f(p')^* = f(a)f(p)^*f(a')f(p')^* = g(a,p)g(a',p').
我们证明 g 在 E×S′E \times S' 上与等价关系 R 相容的：如果 (a,p)(a,p) 和 (a′,p′)(a',p') 是全等的 mod。 R，存在s∈S′s \in S'和spa′=sap′spa' = sap'，从而f(s)f(p)f(a′)=f(s)f(a)f(p′)f(s)f(p)f(a') = f(s)f(a)f(p')。由于f(s)f(s)是可逆的，因此f(p)f(a′)=f(a)f(p′)f(p)f(a') = f(a)f(p')，然后向左乘法乘f(p)∗f(p)^*，向右乘法乘f(p′)∗f(p')^*
g(a′,p′)=f(a′)f(p′)∗=f(p)∗f(a)=f(a)f(p)∗=g(a,p). g(a',p') = f(a')f(p')^* = f(p)^*f(a) = f(a)f(p)^* = g(a,p).
因此，F 中存在 ESE_S 的同态 fˉ\bar{f}，使得 fˉ(a/p)=g(a,p)\bar{f}(a/p) = g(a,p)，从而 fˉ(ε(a))=fˉ(a/e)=f(a)f(e)∗=f(a)\bar{f}(\varepsilon(a)) = \bar{f}(a/e) = f(a)f(e)^* = f(a)。因此fˉ∘ε=f\bar{f} \circ \varepsilon = f。

推论 0579

设E和F是两个可交换幺半群，S和T分别是E和F的子集，E的f同态进入F，使得f(S)⊂Tf(S) \subset T和ε:E→ES,η:F→FT\varepsilon : E \to E_S, \eta : F \to F_T典范同态。存在且仅有一个同态 g:ES→FTg : E_S \to F_T 使得 g∘ε=η∘fg \circ \varepsilon = \eta \circ f。

E 的同态 η∘f\eta \circ f 到 S 的每元素到 FTF_T 的 FTF_T 映射到可逆元。

注 057A

(1) 定理 1 也可以用说表示，对于 E，(ES,ε)(E_S, \varepsilon) 是普遍映射问题的解，相对于幺半群，E 的幺半群同态和同态转化为幺半群， S 的映射元素到可逆元（*集合理论*、IV、、no. 1）。由此可见 (loc.cit.)，这个问题中的所有其他解以独特的方式同构于 (ES,ε)(E_S, \varepsilon)

(2) 对于解对于上述普遍映射问题的存在性，无需假设幺半群E是可交换的，由*集合理论*可知，IV, § 3, no. 2(cf.习题17)。

我们提到了分数幺半群的两个重要特例。

(a) 设 E‾=EE\overline{E} = E_E。 As the monoid E‾\overline{E} is generated by the set ε(E)∪ε(E)∗\varepsilon(E) \cup \varepsilon(E)^*, which is composed of invertible elements, every element of E‾\overline{E} is invertible (no. 3, Corollary 2 to Proposition 4). 在其他字中，E‾\overline{E}是可交换的群。 此外，通过定理 1，E 到群 G 中的每一个同态 ff 都可以在形式 f=fˉ∘εf = \bar{f} \circ \varepsilon 中唯一因式分解，其中 fˉ:E‾→G\bar{f}: \overline{E} \to G 是同态。 E‾\overline{E} 称为 * E 的分数的 *群（或者在加法记号的情况下，称为 * E 的差的 *群）。

(b) 设Φ=EΣ\Phi = E_{\Sigma}，其中Σ\Sigma由E的可取消元素组成。由命题6，(ii)，E的典范同态到Φ\Phi是单射的； 认同 E 的像 Φ\Phi 将会有利可图。因此E是Φ\Phi的子幺半群，E的每个可取消的元素在Φ\Phi都有一个逆，Φ\Phi的每个元素是形式a/p=a.p∗a/p = a.p^*以及a∈Ea \in E和p∈Σp \in \Sigma；那么a/p=a′/p′a/p = a'/p'当且仅当ap′=pa′ap' = pa'。容易看出，Φ\Phi的可逆元为分数a/pa/p，其中aa和pp可取消，p/ap/a是a/pa/p的逆。

现在令 S 为 E 的可取消元素的集合，S′S' 为 S 生成的 E 的子幺半群。如果 a/pa/p 和 a′/p′a'/p' 是 ESE_S 的两个元素，则 a/p=a′/p′a/p = a'/p' 当且仅当 ap′=pa′ap' = pa' （对于sap′=spa′sap' = spa' 意味着所有 s∈S′s \in S' 都有 ap′=pa′ap' = pa'）。因此，ESE_S可以被识别为E∪S∗E \cup S^*生成的Φ\Phi的子幺半群。

如果E的每个元素都是可取消的，则Φ=E‾\Phi = \overline{E}和E是交换性群Φ\Phi的子幺半群。相反，如果E与群的子幺半群同构，则E的每个元素都是可取消的。

引用了 5

引用了 定理 1, 习题 17, § 2, E IV § 3. 普遍映射, 命题 4, 命题 6

5. 应用：I。理性整数

考虑自然数的交换幺半群 N\mathbf{N} 和律合成加法；在此律下，N\mathbf{N} 的所有元素均可取消（*集合理论*、III, § 5, no. 2、推论 3）。 N\mathbf{N}之差群记为Z\mathbf{Z}；它的元素称为*有理整数*；它的律称为有理整数*的*加法，也用+表示。 从N\mathbf{N}到Z\mathbf{Z}的典范同态是单射的，我们将N\mathbf{N}的每个元素认同及其在Z\mathbf{Z}中的像。 Z\mathbf{Z}的元素由定义等价类确定，在N×N\mathbf{N} \times \mathbf{N}中由关系在(m1,n1)(m_1, n_1)和(m2,n2)(m_2, n_2)之间确定，写为m1+n2=m2+n1m_1 + n_2 = m_2 + n_1； N\mathbf{N}的元素mm与元素(m+n,n)(m + n, n)的类由……组成进行识别，其中n∈Nn \in \mathbf{N}；它承认元素(n,m+n)(n, m + n)的Z\mathbf{Z}类为负。 N×N\mathbf{N} \times \mathbf{N}的每个元素(p,q)(p, q)如果p≥qp \geq q可以写在形式(m+n,n)(m + n, n)中，如果p≤qp \leq q则可以写在形式(n,m+n)(n, m + n)中；由此可见，Z\mathbf{Z}是N\mathbf{N}的*并，以及集合是N\mathbf{N}*的元素的负数。 The identity element 0 is the only element of N\mathbf{N} whose negative belongs to N\mathbf{N}.

对于每个自然数mm，−m-m表示mm的负有理数整数，−N-\mathbf{N}表示m∈Nm \in \mathbf{N}的元素−m-m的集合。然后

Z=N∪(−N)andN∩(−N)={0}. \mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N}) \quad \text{and} \quad \mathbf{N} \cap (-\mathbf{N}) = \{0\}.

对于m∈Nm \in \mathbf{N}，m=−mm = -m当且仅当m=0m = 0。

设mm和nn为两个自然数；

(a) 如果m≥nm \geq n，则m+(−n)=pm + (-n) = p，其中pp是N\mathbf{N}的元素，使得m=n+pm = n + p； (b) 如果m≤nm \leq n，则m+(−n)=−pm + (-n) = -p，其中pp是N\mathbf{N}的元素，使得m+p=nm + p = n； (c) (−m)+(−n)=−(m+n)(-m) + (-n) = -(m + n)。

性质 (b) 和 (c) 由no. 3、命题 4 得出；如N\mathbf{N}中的Z=N∪(−N)\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N})、加法以及属性(a)、(b)和(c)完整地描述了Z\mathbf{Z}中的加法。

更一般地，−x-x 用于表示任意有理数整数 xx 的负数； 合成 x+(−y)x + (-y) 缩写为 x−yx - y (cf. no. 8)。

自然数之间的序关系≤\leq具有以下性质的特征：m≤nm \leq n当且仅当存在整数p∈Np \in \mathbf{N}使得m+p=nm + p = n（*集合理论*，III, § 3, no. 6，命题 13 和 § 5, no. 2、命题 2)。有理整数 xx 和 yy 之间的关系 y−x∈Ny - x \in \mathbf{N} 是 Z\mathbf{Z} 上的 总计阶 关系，其中 N\mathbf{N} 上的扩展序关系 ≤\leq。对于，对于所有x∈Zx \in \mathbf{Z}，x−x=0∈Nx - x = 0 \in \mathbf{N}；如果y−x∈Ny - x \in \mathbf{N}和z−y∈Nz - y \in \mathbf{N}，那么

z−x=(z−y)+(y−x)∈N, z - x = (z - y) + (y - x) \in \mathbf{N},

对于N\mathbf{N}在加法下是稳定的；如果y−x∈Ny - x \in \mathbf{N}和x−y∈Nx - y \in \mathbf{N}，则y−x=0y - x = 0，因为0是N\mathbf{N}中唯一的元素，其负属于到N\mathbf{N}；对于任意有理数整数 xx 和 yy、y−x∈Ny - x \in \mathbf{N} 或 x−y∈Nx - y \in \mathbf{N}，对于 Z=N∪(−N)\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N})；最后，如果xx和yy是自然数，则y−x∈Ny - x \in \mathbf{N}当且仅当存在p∈Np \in \mathbf{N}使得x+p=yx + p = y。这个序关系也用≤\leq表示。

从此以后，当 Z\mathbf{Z} 被认为是有序的集合时，它始终是除非，否则会提到，根据刚刚定义的排序，自然数被标识为整数 ≥0\geq 0；它们也被称为*正*整数； 整数 ≤0\leq 0，正整数的负数，称为*负数* 整数； 整数 >0> 0（分别为 <0< 0）被称为*严格正数*（分别为*严格负数*）； 整数>0> 0中的集合是有时，用N∗\mathbf{N}^*表示。

设xx、yy、zz为三个有理数整数；那么 x≤yx \leq y 当且仅当 x + z \leq y + z。对于 x - y = (x + z) - (y + z)。这个性质用说表示，Z\mathbf{Z}上的序关系在平移下是不变的。

6. 应用：II。有理数乘法整数

引理 2 057B

设 E 为幺半群，且 E 的 x 元素。 (i) E 中存在 N\mathbf{N} 的唯一同态 f，对于所有n∈Nn \in \mathbf{N}，f(1)=xf(1) = x 和 f(n)=n1xf(n) = \frac{n}{1} x。 (ii) 如果 x 可逆，则存在 Z\mathbf{Z} 的唯一同态 g 进入 E，使得 g(1)=xg(1) = x 和 g 重合，且 f 在 N\mathbf{N} 上。

引用了 5 · 被以下引用 1

引用了 命题 1, I § 1, 命题 4, 定理 1, E III § 3. Equipotent sets. Cardinals, Corollary, E III § 3

被以下引用 § 2. 。 单位元素；可取消元素； 可逆元

为所有 n∈Nn \in \mathbf{N}、公式写f(n)=n1xf(n) = \frac{n}{1} x

01x=eand(m1x)⋅(n1x)=m+n1x \frac{0}{1} x = e \quad \text{and} \quad \left( \frac{m}{1} x \right) \cdot \left( \frac{n}{1} x \right) = \frac{m+n}{1} x
(no. 1) 将f 是N\mathbf{N} 的同态的事实表达到E 中，显然是f(1)=xf(1) = x。如果f′f'是将N\mathbf{N}的同态代入E，使得f′(1)=xf'(1) = x，则f=f′f = f'乘以§ 1, no. 4，命题1，(iv)。

现在假设 x 是可逆的。根据no. 3，推论2到命题4，f(n)=n1xf(n) = \frac{n}{1} x对于每个整数n≥0n \geq 0都是可逆的。通过构造，Z\mathbf{Z} 是 N\mathbf{N} 之差的群，因此 (no. 4, 定理 1) f 扩展与 Z\mathbf{Z} 的同态 g 唯一到 E。如果 g′g' 是Z\mathbf{Z}的同态与g′(1)=xg'(1) = x进入E，g′g'至N\mathbf{N}的限制f′f'是N\mathbf{N}的同态与f′(1)=xf'(1) = x进入E。因此f′=ff' = f，从而g′=gg' = g。

我们将引理 2应用于幺半群E为Z\mathbf{Z}的情况；因此，对于每个整数m∈Zm \in \mathbf{Z}，都存在Z\mathbf{Z}的自同态fmf_m，其特征为fm(1)=mf_m(1) = m。如果m在N\mathbf{N}，N\mathbf{N}的映射n↦mnn \mapsto mn进入N\mathbf{N}是岩浆N\mathbf{N}的自同态（集合理论，III, § 3, no. 3，推论到命题5）；因此fm(n)=mnf_m(n) = mn对于N\mathbf{N}中的所有m,nm, n。

因此，N\mathbf{N}上的乘法可以通过Z\mathbf{Z}中的m,nm, n的公式mn=fm(n)mn = f_m(n)延长至Z\mathbf{Z}上的乘法。我们将建立公式：

(2)

xy=yx xy = yx
(3)
(xy)z=x(yz) (xy)z = x(yz)
(4)
x(y+z)=xy+xz x(y+z) = xy + xz
(5)
(x+y)z=xz+yz (x+y)z = xz + yz
(6)
0.x=x.0=0 0.x = x.0 = 0
(7)
1.x=x.1=x 1.x = x.1 = x
(8)
(−1).x=x.(−1)=−x (-1).x = x.(-1) = -x

对于 Z\mathbf{Z} 中的 x,y,zx, y, z。 （*在其他字中，Z\mathbf{Z}是交换环。*）公式x(y+z)=xy+xzx(y+z) = xy + xz和x.0=0x.0 = 0表示fxf_x是加性幺半群Z\mathbf{Z}的自同态，并且fx(1)=xf_x(1) = x可以写成x.1=xx.1 = x。 Z\mathbf{Z} 映射 1 到 xyxy 的自同态 fx∘fyf_x \circ f_y，因此等于 fxyf_{xy}、从而 (3)。现在fx(−y)=−fx(y)f_x(-y) = -f_x(y)，即x(−y)=−xyx(-y) = -xy；类似地，Z\mathbf{Z}映射 1 到−x-x的自同态y↦−xyy \mapsto -xy，从而(−x).y=−xy(-x).y = -xy因此

(−x)(−y)=−(x(−y))=−(−xy)=xy. (-x)(-y) = -(x(-y)) = -(-xy) = xy.
对于N\mathbf{N}中的m,nm, n、mn=nmmn = nm（集合理论、III, § 3, no. 3、命题5的推论）、从而(−m).n=n(−m)(-m).n = n(-m)和(−m)(−n)=(−n)(−m)(-m)(-n) = (-n)(-m)；作为 Z=N∪(−N)\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N})、xy=yxxy = yx 对应 Z\mathbf{Z} 中的 x,yx, y；这个公式意味着(5)由(4)引出并完成公式(6)到(8)的证明。

7. 应用：III。广义幂

令 E 为幺半群，其中单位元素 ee 和合成的律表示为 ⊤\top。如果 xx 在 E 中可逆，则令 gxg_x 为 Z\mathbf{Z} 的同态到 E 映射 1 到 xx。让gx(n)=n⊤xg_x(n) = \frac{n}{\top} x代表所有n∈Zn \in \mathbf{Z}；通过引理 2，此记号与 n∈Nn \in \mathbf{N} 和之前介绍的记号兼容。然后

(9)m+n⊤x=(m⊤x)⊤(n⊤x)(10)0⊤x=e(11)1⊤x=x \begin{align*} \text{(9)} \quad & \frac{m+n}{\top} x = \left( \frac{m}{\top} x \right) \top \left( \frac{n}{\top} x \right) \\ \text{(10)} \quad & \frac{0}{\top} x = e \\ \text{(11)} \quad & \frac{1}{\top} x = x \end{align*}
对于 xx 在 E 中可逆，m,nm, n 在 Z\mathbf{Z} 中可逆。进一步，如果Z\mathbf{Z}入E的y=m⊤xy = \frac{m}{\top} x、映射n↦gx(mn)n \mapsto g_x(mn)为同态映射1到yy、从而gx(mn)=gy(n)g_x(mn) = g_y(n)，则
(12)mn⊤x=n⊤(m⊤x). \text{(12)} \quad \frac{mn}{\top} x = \frac{n}{\top} \left( \frac{m}{\top} x \right).
由于−1-1是Z\mathbf{Z}中1的负数，−1⊤x\frac{-1}{\top} x是E中x=1⊤xx = \frac{1}{\top} x的倒数。如果我们在(9)中写出n=−mn = -m，则可见−m⊤x\frac{-m}{\top} x是m⊤x\frac{m}{\top} x的倒数。

8. 记号

(a) 作为一般规则，可交换幺半群的律是可加写的。于是约定−x-x表示xx的负数。 记号 x+(−y)x + (-y) 缩写为 x−yx - y 类似

x+y−z,x−y−z,x−y+z−t,etc. . . . x + y - z, \quad x - y - z, \quad x - y + z - t, \quad \text{etc. . . .}
分别代表
x+y+(−z),x+(−y)+(−z),x+(−y)+z+(−t),etc. . . . x + y + (-z), \quad x + (-y) + (-z), \quad x + (-y) + z + (-t), \quad \text{etc. . . .}

对于 n∈Zn \in \mathbf{Z} 记号 ⊤nx\overset{n}{\top} x 替换为 nxnx。 公式 (9) 到 (12) 则变为

(13)

(m+n).x=m.x+n.x (m + n).x = m.x + n.x
(14)
0.x=0 0.x = 0
(15)
1.x=x 1.x = x
(16)
m.(n.x)=(mn).x m.(n.x) = (mn).x

其中mm和nn属于到N\mathbf{N}，或者如果xx承认负数，甚至到Z\mathbf{Z}。在后一种情况下，关系(−1).x=−x(-1).x = -x也成立。我们还有注公式

(17)

n.(x+y)=n.x+n.y. n.(x + y) = n.x + n.y.

(b) 令 E 为乘法写成的幺半群。对于 n∈Zn \in \mathbf{Z} 记号 ⊤nx\overset{n}{\top} x 替换为 xnx^n。我们有关系

xm+n=xm.xnx0=1x1=x(xm)n=xmn x^{m+n} = x^m.x^n \\ x^0 = 1 \\ x^1 = x \\ (x^m)^n = x^{mn}

如果 xx 和 yy 通勤，则还有 (xy)n=xnyn(xy)^n = x^ny^n。

当xx有逆元时，这正是x−1x^{-1}。也使用记号1x\frac{1}{x}代替x−1x^{-1}。最后，当幺半群E可交换时，xy\frac{x}{y}或x/yx/y也可用于xy−1xy^{-1}。

习题

请参阅习题为 § 2。

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