习题 17, § 2

令 $E$ 为幺半群，$S$ 为 $E$ 的稳定子集，具有以下属性：

(α) 对于所有$s \in S$和所有$a \in E$，存在$t \in S$和$b \in E$使得$sb = at$。

(β) 对于所有$a, b \in E$和所有$s \in S$使得$sa = sb$，存在$t \in S$使得$at = bt$。

(a) 在$E \times S$中，让$(a, s) \sim (b, t)$表示关系：“在$S$中存在$s'$和$t'$，使得$tt' = ss'$和$as' = bt'$。”

证明 $\sim$ 是等价关系。我们写 $\overline{E} = E \times S / \sim$，用 $(a, s)$ (mod $\sim$) 的 $as^{-1}$ 等价类和$\varepsilon : E \to \overline{E}$ 映射 $a \mapsto ae^{-1}$ 表示。

(b) 证明$\overline{E}$上存在且仅有一个幺半群结构，使得$\varepsilon$是单位同态，并且对于所有$s \in S$，$\varepsilon(s)$是可逆的。

(c) 证明$(\overline{E}, \varepsilon)$ 具有定理 1 (no. 4) 中描述的泛性质。

(d) 证明$\varepsilon$是单射的当且仅当$S$的元素可取消。