Bài tập 17, § 2

Cho $E$ là một nửa nhóm có đơn vị và $S$ là một tập con ổn định của $E$ có các tính chất sau:

(α) Với mọi $s \in S$ và mọi $a \in E$, tồn tại $t \in S$ và $b \in E$ sao cho $sb = at$.

(β) Với mọi $a, b \in E$ và mọi $s \in S$ sao cho $sa = sb$, tồn tại $t \in S$ sao cho $at = bt$.

(a) Trong $E \times S$, gọi $(a, s) \sim (b, t)$ là quan hệ: "tồn tại $s'$ và $t'$ trong $S$ sao cho $tt' = ss'$ và $as' = bt'$."

Chứng minh rằng $\sim$ là một quan hệ tương đương. Ta viết $\overline{E} = E \times S / \sim$, ký hiệu $as^{-1}$ là lớp tương đương của $(a, s)$ (mod $\sim$) và $\varepsilon : E \to \overline{E}$ là ánh xạ $a \mapsto ae^{-1}$.

(b) Chứng minh rằng trên $\overline{E}$ tồn tại duy nhất một cấu trúc nửa nhóm có đơn vị sao cho $\varepsilon$ là một đồng cấu có đơn vị và sao cho, với mọi $s \in S$, $\varepsilon(s)$ là khả nghịch.

(c) Chứng minh rằng $(\overline{E}, \varepsilon)$ có tính chất phổ quát được mô tả trong Định lý 1 (no. 4).

(d) Chứng minh rằng $\varepsilon$ đơn ánh khi và chỉ khi các phần tử của $S$ đều giản ước được.