Exercice 17, § 2

Soient E un monoïde et S une partie stable de E possédant les propriétés suivantes: α) Pour tout s ∈ S et tout a ∈ E, il existe t ∈ S et b ∈ E tel que sb = at. β) Quels que soient a ∈ E, b ∈ E et s ∈ S tels que sa = sb, il existe un t ∈ S tel que at = bt. a) Dans E × S, on note (a, s) ~ (b, t) la relation: « il existe s' et t' dans S tel que tt' = ss' et as' = bt' ». Montrer que ~ est une relation d’équivalence. On pose \overline{E} = (E × S)/~, on note as^{-1} la classe d’équivalence de (a, s) (mod ~) et ε: E → \overline{E} l’application a ↦ ae^{-1}.

b) Montrer qu’il existe sur $\overline{E}$ une structure de monoïde et une seule telle que $\varepsilon$ soit un homomorphisme unifère et telle que pour tout $s \in S$, $\varepsilon(s)$ soit inversible. c) Montrer que $(\overline{E}, \varepsilon)$ possède la propriété universelle décrite dans le th. 1 de I, p. 18. d) Montrer que $\varepsilon$ est injective si et seulement si les éléments de $S$ sont simplifiables.