习题 16, § 2

设$\tau$是$E$的可取消的元素在集合$E$和$E^*$集合上的结合律律；假设$E^*$非空，并且每个可取消的元素都是中心元素。让$\mathscr{F}$表示子集的集合，$E$的$X$，并用以下性质：存在$y \in E^*$使得$\delta_y(E) \subset X$。

(a) 显示$\mathscr{F}$属于到$\mathscr{F}$中的两个集合中的交。

(b) 设$\Phi$为函数$f$的集合，定义在$\mathscr{F}$的集合上，取$E$中的值，这样，对于$X \in \mathscr{F}$，$f^{-1}(X)$属于到$\mathscr{F}$。让$R$表示$\Phi$的元素$f$和$g$之间的关系：“存在集合$X \in \mathscr{F}$使得$f$和$g$的限制到$X$ 相同”。证明$R$是等价关系；令在该关系下$\Psi = \Phi / R$为$\Phi$的商集。

(c) 设$f$和$g$为$\Phi$、$A \in \mathscr{F}$和$B \in \mathscr{F}$集合中的两个元素，其中分别定义了$f$和$g$；存在$X \subset B$和属于到$\mathscr{F}$使得$g(X) \subset A$；如果$g_X$是$g$到$X$的限制，则表明映射$f \circ g_X$属于到$\Phi$，并且它的类（模$R$）仅取决于类 $f$ 和 $g$（而不是$X$）；这个类称为$f$的合成和$g$的合成；证明在$\Psi$上定义的合成的律是结合律并且有单位元素。

(d) 对于所有$a \in E$，显示$\gamma_a$属于到$\Phi$的左平移；令$\phi_a$为其类（模$R$）。证明映射$x \mapsto \phi_x$是$E$的同构到$\Psi$的子幺半群，并且如果$x \in E^*$，$\phi_x$在$\Psi$中可逆（考虑逆映射） $\gamma_x$，证明它属于到$\Phi$，并且它的类（模$R$）是$\phi_x$的逆）。减去定理的推广 1 / no. 4。