Bài tập 16, § 2

Cho $\tau$ là một luật kết hợp trên một tập hợp $E$ và $E^*$ là tập hợp các phần tử giản ước được của $E$; giả sử rằng $E^*$ khác rỗng và mọi phần tử giản ước được đều là phần tử trung tâm. Gọi $\mathscr{F}$ là tập hợp các tập con $X$ của $E$ có tính chất sau: tồn tại $y \in E^*$ sao cho $\delta_y(E) \subset X$.

(a) Chứng minh rằng giao của hai tập hợp thuộc $\mathscr{F}$ thì thuộc $\mathscr{F}$.

(b) Gọi $\Phi$ là tập hợp các hàm $f$ xác định trên một tập hợp thuộc $\mathscr{F}$, nhận giá trị trong $E$, sao cho, với $X \in \mathscr{F}$, $f^{-1}(X)$ thuộc $\mathscr{F}$. Gọi $R$ là quan hệ giữa các phần tử $f$ và $g$ của $\Phi$: "tồn tại một tập hợp $X \in \mathscr{F}$ sao cho các hạn chế của $f$ và $g$ lên $X$ là đồng nhất". Chứng minh rằng $R$ là một quan hệ tương đương; đặt $\Psi = \Phi / R$ là tập thương của $\Phi$ theo quan hệ này.

(c) Cho $f$ và $g$ là hai phần tử của $\Phi$, $A \in \mathscr{F}$ và $B \in \mathscr{F}$ lần lượt là các tập hợp mà $f$ và $g$ được xác định trên đó; tồn tại $X \subset B$ và thuộc $\mathscr{F}$ sao cho $g(X) \subset A$; nếu $g_X$ là hạn chế của $g$ lên $X$, chứng minh rằng ánh xạ $f \circ g_X$ thuộc $\Phi$ và lớp của nó (mod. $R$) chỉ phụ thuộc vào các lớp của $f$ và $g$ (chứ không phụ thuộc vào $X$); lớp này được gọi là hợp thành của lớp của $f$ và lớp của $g$; chứng minh rằng luật hợp thành được định nghĩa như vậy trên $\Psi$ là kết hợp và có một phần tử đơn vị.

(d) Với mọi $a \in E$, hãy chứng minh rằng phép tịnh tiến trái $\gamma_a$ thuộc $\Phi$; ký hiệu $\phi_a$ là lớp của nó (mod. $R$). Hãy chứng minh rằng ánh xạ $x \mapsto \phi_x$ là một đẳng cấu của $E$ lên một monoid con của $\Psi$ và rằng, nếu $x \in E^*$, thì $\phi_x$ khả nghịch trong $\Psi$ (xét ánh xạ nghịch đảo của $\gamma_x$, chứng minh rằng nó thuộc $\Phi$ và lớp của nó (mod. $R$) là nghịch đảo của $\phi_x$). Suy ra một phép tổng quát hóa của Định lý 1 của No. 4.