Exercice 16, § 2

Soit T une loi associative sur un ensemble E, E* l’ensemble des éléments simplifiables de E; on suppose que E* n’est pas vide, et que tout élément simplifiable est un élément central. On désigne par F l’ensemble des parties X de E ayant la propriété suivante: il existe y ∈ E* tel que δy(E) ⊂ X. a) Montrer que l’intersection de deux ensembles de F appartient à F. b) Soit Φ l’ensemble des fonctions f définies dans un ensemble de F, prenant leurs valeurs dans E, et telles que, pour X ∈ F, f⁻¹(X) appartienne à F. On désigne par R la relation entre éléments f et g de Φ: « il existe un ensemble X ∈ F tel que les restrictions de f et g à X soient identiques ». Montrer que R est une relation d’équivalence; soit Ψ' = Φ/R l’ensemble quotient de Φ par cette relation. c) Soient f et g deux éléments de Φ, A ∈ F et B ∈ F les ensembles où f et g sont respectivement définies; il existe X ⊂ B, appartenant à F, tel que g(X) ⊂ A; si gx est la restriction de g à X, montrer que l’application f ∘ gx appartient à Φ, et que sa classe (mod. R) ne dépend que des classes de f et g (et non de X); cette classe est dite composée de celle de f et de celle de g; montrer que la loi de composition ainsi définie dans Ψ' est associative et possède un élément neutre. d) Pour tout a ∈ E, montrer que la translation à gauche γa appartient à Φ; soit φa sa classe (mod. R). Montrer que l’application x ↦ φx est un isomorphisme de E sur un sous-monoïde de Ψ', et que si x ∈ E*, φx est inversible dans Ψ' (considérer l’application réciproque de γx, montrer qu’elle appartient à Φ, et que sa classe (mod. R) est inverse de φx). En déduire une généralisation du th. 1 de I, p. 18.