§ 9. 。域 · 代数

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 9。域

1. 域

定义 1 05IF

如果环 $K$ 不只由 $0$ 组成，并且 $K$ 的每个非零元素都是可逆的，则称为域。

引用了 1

引用了 I § 8. 。环

域 $K$ 的非零元素与乘法的集合是群，正好是环 $K$ (§ 8, no. 1) 的乘法群 $K^*$ 。域中的逆环是域。如果乘法是可交换的，则域称为*可交换的*；这样的域与它的对立面相同。非交换域是有时，称为*偏度域*。

例 05IG

(1)* 我们将在*理性数*的no. 4域中定义；在 General 拓扑 域 of 实数中将被定义 (General 拓扑, IV, § 1, no. 3), 域 of 复数 (General 拓扑, VIII, § 1, no. 1) 和域四元数（*常规拓扑*，VIII, § 1, no. 4）。除了四元数的域之外，这些域是可交换的。* (2) 环 $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 显然是域。

设 $K$ 为域。 $K$ 的每个子环 $L$ 即域称为 $K$ 的*子域*， $K$ 则称为 $L$ 的*扩张域*；对于 $L$ 的每个非零元素 $x$ 来说， $L$ 是 $K$ 的子环，并且 $x^{-1} \in L$ 是相同的。如果 $(L_i)_{i \in I}$ 是 $K$ 的子域的家族，那么 $\bigcap_{i \in I} L_i$ 就是 $K$ 的子域；对于 $K$ 的每个子集 $X$ ，因此存在 $K$ 包含 $X$ 的最小的子域；据说它是由* $X$ *生成的。

引用了 2

引用了 TG IV § 1. 定义 / 实数, TG VIII § 1. 复数，四元数

命题 1 05IH

令 $K$ 为域。对于 $K$ 的每个子集 $X$ ， $X$ 的扶正器（§ 8, no. 5，例3） $X'$ 是 $K$ 的子域。

引用了 1

引用了命题 5, I § 2

我们知道（*loc.cit.*） $X'$ 是 $K$ 的子环。另一方面，如果 $x \neq 0$ 可与 $z \in X$ 置换，则 $x^{-1}$ (I, § 2, no. 3, 命题 5) 也可置换，因此 $X'$ 包含是 $X'$ 的每个非零元素的逆。

推论 05II

域 $K$ 的中心是 $K$ 的（可交换）子域。

定理 1 05IJ

令 $\mathbf{A}$ 为环。以下条件是等效的：

被以下引用 7

被以下引用注, 例, 推论 1, 推论 2, 定理 2, 命题 2, VIII Appendix 1, 例 1, VIII § 3

(a) $\mathbf{A}$ 为域； (b) $\mathbf{A}$ 不会减少到 0，并且 $\mathbf{A}$ 的唯一左理想是 0 和 $\mathbf{A}$ 。

假设 $\mathbf{A}$ 是域。那么 $\mathbf{A}$ 不会减少到0。令 $a$ 为不同于0的 $\mathbf{A}$ 的左理想。存在非零 $a$ 属于到 $a$ 。对于所有 $x \in \mathbf{A}$ 、 $x = (xa^{-1})a \in a$ ；因此 $a = \mathbf{A}$ 。

假设 $\mathbf{A}$ 满足条件(b)。设 $x \neq 0$ 在 $\mathbf{A}$ 中。我们需要证明 $x$ 是可逆的。左理想 $Ax$ 包含 $x$ ，因此不是零、从而 $Ax = \mathbf{A}$ 。因此存在 $x' \in \mathbf{A}$ 使得 $x'x = 1$ 。然后从 $1 \neq 0$ 开始 $x' \neq 0$ 。将上述结果应用代入 $x'$ ，可知存在 $x'' \in \mathbf{A}$ 使得 $x''x' = 1$ 。然后 $x'' = x'' . 1 = x''x'x = 1 . x = x$ ，因此 $xx' = 1$ 。因此 $x'$ 是 $x$ 的倒数。

注 05IK

在定理1中，左理想可以被右理想代替。在章VIII, § 5, no. 2中，我们将研究非零环 $\mathbf{A}$ ，它们没有不同于0和 $\mathbf{A}$ 的“双面”理想；这样的环（称为*拟单*）不一定是域*（对于例，带有有理系数的阶2的方阵的环 $\mathbf{M}_2(\mathbf{Q})$ 是拟单但不是域）*。

引用了 2

引用了定理 1, VIII § 5. 。交换

推论 1 05IL

令 $\mathbf{A}$ 为环，且 $a$ 为 $\mathbf{A}$ 的双面理想。为了使环 $\mathbf{A}/a$ 成为域， $a$ 是 $\mathbf{A}$ 的最大左理想是充分必要的。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了定理 1

被以下引用例, 推论 2, 推论 3

$\mathbf{A}/a$ 的左理想为形式 $b/a$ ，其中 $b$ 是 $\mathbf{A}$ 包含 $a$ 的左理想（ $§ 8$ 、no. 8，命题 5 的推论）。说 $\mathbf{A}/a \neq 0$ 意味着 $a \neq \mathbf{A}$ 。在这个假设下， $\mathbf{A}/a$ 是域当且仅当 $\mathbf{A}$ 包含 $a$ 的唯一左理想是 $a$ 和 $\mathbf{A}$ （定理1），从而的推论。

推论 2 05IM

令 $\mathbf{A}$ 为交换环，且不为0。在交换域上存在 $\mathbf{A}$ 的同态。

引用了 2

引用了定理 1, 推论 1

根据克鲁尔的定理（ $§ 8$ ，no. 6，定理1）， $\mathbf{A}$ 中存在最大理想 $a$ 。那么 $\mathbf{A}/a$ 就是域（推论1）。

推论 3 05IN

设 $a$ 为整数 $\geqslant 0$ 。为了使环 $\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}$ 成为域， $a$ 是素数是充分必要的。

引用了 1

引用了推论 1

这是从推论 1 和 $§ 8$ 、no. 11 得出的。

对于 $p$ 素数域 $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ 表示为 $\mathbf{F}_p$ 。

定理 2 05IO

令 $\mathbf{K}$ 为域且 $\mathbf{A}$ 为非零环。如果 $f$ 是 $\mathbf{K}$ 的同态到 $\mathbf{A}$ ，那么 $\mathbf{A}$ 的子环 $f(\mathbf{K})$ 是域， $f$ 定义同构到 $\mathbf{K}$ $f(\mathbf{K})$ 。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了定理 1

被以下引用命题 3, II § 7. 。向量空间

设 $a$ 为 $f$ 的核。然后 $\mathbf{A}$ 中的 $f(1) = 1 \neq 0$ 为 $1 \notin a$ ，并且由于 $a$ 是 $\mathbf{K}$ 的左理想，因此 $a = \{0\}$ 定理 1。因此 $f$ 是内射的，因此 $\mathbf{K}$ 的同构到子环 $f(\mathbf{K})$ 共 $\mathbf{A}$ ；因此，后者环是域。

2. 整环

定义 2 05IP

如果环 $\mathbf{A}$ 可交换、非零，并且 $\mathbf{A}$ 的两个非零元素的乘积非零，则称为整环（或完整性域）。

引用了 1

引用了 I § 8. 。环

有理数整数的环 $\mathbf{Z}$ 为整环；它是可交换的且非零的；两个整数 $> 0$ 中的乘积非零；每个非零整数都是形式 $a$ 或 $-a$ ，其中 $a > 0$ 和 $(-a)b = -ab,\ (-a)(-b) = ab$ 代表 $a > 0,\ b > 0$ ，从而我们的断言。

每个交换域就是整环。整环中的子环是整环。特别地，交换域中的子环是整环。相反，我们将证明每个整环 $\mathbf{A}$ 同构于子环或交换域。回想一下 (§ 8, no. 12)， $\mathbf{A}$ 已被识别为其总环分数中的子环。我们的断言由以下命题得出：

命题 2 05IQ

如果 $\mathbf{A}$ 为整环，则 $\mathbf{A}$ 的分数 $\mathbf{K}$ 的总环为交换环。

环 $\mathbf{K}$ 是可交换的。从 $\mathbf{A} \neq \{0\}$ 开始它就不为零。由于 $\mathbf{A}$ 是整环， $\mathbf{A}$ 的每个非零元素都是可取消的， $\mathbf{K}$ 由分数 $a/b$ 和 $b \neq 0$ 组成。现在 $a/b \neq 0$ 意味着 $a \neq 0$ ，而分数 $b/a$ 则为 $a/b$ 的倒数。

整环的分数之和环称为分数*的*域。这样的环被识别为分数的域中的像。

命题 3 05IR

令 $\mathbf{B}$ 为非零环， $\mathbf{A}$ 为 $\mathbf{B}$ 的可交换子环，使得 $\mathbf{A}$ 的每个非零元素在 $\mathbf{B}$ 中可逆。 (a) $\mathbf{A}$ 是整环。 (b) *令 $\mathbf{A}'$ 为分数 $\mathbf{A}$ 中的域。 $\mathbf{A}$ 的典范嵌入到 $\mathbf{B}$ 可以唯一地扩展到 $\mathbf{A}'$ 的同构 $f$ 到 $\mathbf{B}$ 的子域。 (c) * $f(\mathbf{A}')$ 中的元素是 $xy^{-1}$ ，其中 $x \in \mathbf{A},\ y \in \mathbf{A},\ y \neq 0$ 。

引用了 2

引用了定理 5, I § 8, 定理 2

断言 (a) 是显而易见的。 The canonical injection of $\mathbf{A}$ into $\mathbf{B}$ extends uniquely to a homomorphism $f$ of $\mathbf{A}'$ into $\mathbf{B}$ (§ 8, no. 12, Theorem 5). 断言 (b) 然后从 no. 1, 定理 2 得出。 $\mathbf{A}'$ 中的元素是分数 $x/y$ 以及 $x \in \mathbf{A},\ y \in \mathbf{A},\ y \neq 0$ 和 $f(x/y) = xy^{-1}$ 、从而 (c)。

3. 基本理想

命题 4 05IS

令 $\mathbf{A}$ 为交换环，且 $\mathfrak{p}$ 为 $\mathbf{A}$ 的理想值。以下条件是等效的： (a) *环 $\mathbf{A}/\mathfrak{p}$ 为整环； (b) $\mathbf{A} \neq \mathfrak{p}$ ，如果 $x \in \mathbf{A} - \mathfrak{p}$ 和 $y \in \mathbf{A} - \mathfrak{p}$ ，则 $xy \in \mathbf{A} - \mathfrak{p}$ 。 (c) $\mathfrak{p}$ 是 $\mathbf{A}$ 同态核变成域。

被以下引用 1

被以下引用定义 3

(c) ⇒ (b) ⇒ (a) 的含义是显而易见的。若 $A/p$ 为整环，则设 $f$ 为 $A/p$ 的典范嵌入入其分数的域及 $A$ 的 $g$ 典范同态入 $A/p$ ；那么 $p$ 是 $f \circ g$ 的核，从而蕴涵(a)⇒(c)。

定义 3 05IT

在交换环 $A$ 中，命题4的理想 $p$ 满足条件称为素理想。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 4

被以下引用注, VI § 1, 命题 7, VII § 4

例 05IU

(1) 设 $A$ 为交换环。如果 $m$ 是 $A$ 的极大理想，则 $m$ 是素数；环 $A/m$ 是域（no. 1，推论 1 到定理 1）。

(2) 如果 $A$ 是整环，则 $A$ 的理想 $\{0\}$ 是素数（但一般不是最大，如环 $\mathbf{Z}$ 的例证明）。

引用了 2

引用了定理 1, 推论 1

4. 有理数数的域

定义 4 05IV

有理整数的环 $\mathbf{Z}$ 分数域称为有理数的域并记为 $\mathbf{Q}$ 。 $\mathbf{Q}$ 的元素称为有理数。

引用了 1

引用了 VI § 2. 。有序域

因而，每个有理数都是形式 $a/b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是有理整数和 $b \neq 0$ （我们甚至可以将 $b > 0$ 视为关系）

a/b = (-a)/(-b)

证明）。 $\mathbf{Q}_+$ 用于与 $a \in \mathbf{N}$ 和 $b \in \mathbf{N}^*$ 表示形式 $a/b$ 的有理数的集合。

我们有关系：

(1)

\mathbf{Q}_+ + \mathbf{Q}_+ = \mathbf{Q}_+

(2)

\mathbf{Q}_+ \cdot \mathbf{Q}_+ = \mathbf{Q}_+

(3)

\mathbf{Q}_+ \cap (-\mathbf{Q}_+) = \{0\}

(4)

\mathbf{Q}_+ \cup (-\mathbf{Q}_+) = \mathbf{Q}

(5)

\mathbf{Q}_+ \cap \mathbf{Z} = \mathbf{N}

前两个源自公式、 $a/b + a'/b' = (ab' + a'b)/bb'$ 、 $(a/b)(a'/b') = aa'/bb'$ 、 $0 \in \mathbf{Q}_+$ 、 $1 \in \mathbf{Q}_+$ ，以及 $\mathbf{N}$ 在加法和乘法以及 $\mathbf{N}^*$ 在乘法下稳定的事实。显然 $0 \in \mathbf{Q}_+$ ，从而 $0 \in (-\mathbf{Q}_+)$ ；让 $x$ 在 $\mathbf{Q}_+ \cap (-\mathbf{Q}_+)$ 中；则存在正整数 $a, b, a', b'$ 以及 $b \neq 0,\ b' \neq 0$ 和 $x = a/b = -a'/b'$ ；然后 $ab' + ba' = 0$ 、从而 $ab' = 0$ （对于 $ab' \geq 0$ 和 $ba' \geq 0$ ），因此从 $b' \neq 0$ 开始为 $a = 0$ ；其他字、 $x = 0$ 。最后，显然是 $\mathbf{N} \subset \mathbf{Z}$ 和 $\mathbf{N} \subset \mathbf{Q}_+$ 。反之，如果 $x$ 属于到 $\mathbf{Z} \cap \mathbf{Q}_+$ ，则是有理数整数；存在两个有理数整数 $a$ 和 $b$ ，其中 $a \geq 0,\ b > 0$ 和 $x = a/b$ ，从而 $a = bx$ ；如果 $x \notin \mathbf{N}$ ，则 $-x > 0$ ，从而 $-a = b(-x) > 0$ ，因而 $a < 0$ 与假设相反。

给定两个有理数数 $x$ 和 $y$ ，如果 $y - x \in \mathbf{Q}_+$ ，我们就写 $x \leq y$ 。由公式（1）、（3）、（4）很容易推导出 $x \leq y$ 是对的全序

Q，从（5）得知，这个关系诱导是Z上通常的序关系。最后，从（1）得出关系 $x \leq y$ 和 $x' \leq y'$ 暗示 $x + x' \leq y + y'$ ，从（2）得出关系 $x \leq y$ 暗示 $xz \leq yz$ 对于所有 $z \geq 0$ 和 $xz \geq yz$ 对于 $z \leq 0$ （cf.VI, § 2, no. 1）。

设 $x$ 为有理数数。如果 $x \geq 0$ ， $x$ 被称为“正”，如果 $x > 0$ ，则“严格正”，如果 $x \leq 0$ ，则“负”，如果 $x < 0$ .† 集合，正有理数为 $\mathbf{Q}_+$ ，负有理数是 $-\mathbf{Q}_+$ 。如果 $\mathbf{Q}^*$ 表示非零有理数数的集合，则严格正数数的集合 $\mathbf{Q}_+^*$ 等于 $\mathbf{Q}^* \cap \mathbf{Q}_+$ ，并且 $-\mathbf{Q}_+^*$ 是严格负数数的集合。

集合 $\mathbf{Q}_+^*$ 和 $\{1, -1\}$ 是乘法群 $\mathbf{Q}^*$ 中的子群。每个有理数 $x \neq 0$ 都可以在形式 $1.y, (-1).y$ 中以一种且唯一的方式表达，其中 $y > 0$ ;因此乘法群 $\mathbf{Q}^*$ 是子群 $\mathbf{Q}_+^*$ 和 $\{1, -1\}$ 的乘积， $\mathbf{Q}_+^*$ 中 $x$ 的分量称为 $x$ 的*绝对值*，并表示为 $|x|$ ； $\{-1, 1\}$ 中 $x$ 的分量（如果 $x > 0$ 则等于1，如果 $x < 0$ 则等于 $-1$ ）称为 $x$ 的*符号*并用 $\operatorname{sgn}\, x$ 表示。

通常这两个函数通过设定 $|0| = 0$ 和 $\operatorname{sgn}\, 0 = 0$ 扩展到整个 $\mathbf{Q}$ 。

习题

参见习题为 § 9。

§ 9。 域

1. 域

定义 1 05IF

例 05IG

命题 1 05IH

推论 05II

定理 1 05IJ

注 05IK

推论 1 05IL

推论 2 05IM

推论 3 05IN

定理 2 05IO

2. 整环

定义 2 05IP

命题 2 05IQ

命题 3 05IR

3. 基本理想

命题 4 05IS

定义 3 05IT

例 05IU

4. 有理数数的域

定义 4 05IV

习题

§ 9。域