a) 令 $\mathfrak{m}$ 为 A 的左理想。当且仅当 $\mathfrak{m}$ 为最大左理想时，A-模 $A_s/\mathfrak{m}$ 是简单的。

b) 设M为单A-模，$x$为M的非零元素。我们有等式$M = Ax$，$x$的湮没子$\mathfrak{m}$是A的最大左理想，映射 $a\mapsto ax$ 定义，由经过得到商，同构由 $A_s/\mathfrak{m}$ 得到 M。

c) 设 M 为非零的 A-模。如果 M 的每个非零元素 $x$ 都有 $M = Ax$，那么 M 是简单的。

$A_s/\mathfrak{m}$的子模是形式$\mathfrak{n}/\mathfrak{m}$，其中$\mathfrak{n}$是包含$\mathfrak{m}$的左理想（I, §4, No. 6，p. 41，定理4）；因而，A-模$A_s/\mathfrak{m}$是简单的当且仅当我们有$\mathfrak{m}\not= A$并且包含$\mathfrak{m}$的每个左理想$\mathfrak{n}$满足$\mathfrak{n}/\mathfrak{m}= 0$或$\mathfrak{n}/\mathfrak{m}= A_s/\mathfrak{m}$，即$\mathfrak{n}=\mathfrak{m}$或$\mathfrak{n}= A$。这就证明了a）。

在b)的假设下，$Ax$是M的非零的子模，因此等于M。因而，映射$a\mapsto ax$定义，通过经过除商，同构 $A_s/\mathfrak{m}$ 至 M；因而 A-模 $A_s/\mathfrak{m}$ 是简单的，并且左理想 $\mathfrak{m}$ 最大为 a)。这证明了b)。

在c)的假设下，令N为M的非零的子模。如果$x$是N的非零元素，则我们有$Ax\subset N$和$Ax= M$，因此M = N。因此M是简单的。

事实上，根据克鲁尔的定理（I, §8, No. 6，p. 104，定理1），存在A的最大左理想。

a) 如果 M 是简单的，则 $f$ 是单射的。

b) 如果 N 是简单的，则 $f$ 是满射。

c) 如果 M 和 N 很简单，则 $f$ 是同构。

$f$的核是M的真子模，$f$的像是N的非零的子模。

a) 如果 M 是简单的，那么我们有 Ker($f$) $= 0$，所以 $f$ 是单射的。

b) 如果 N 是简单的，那么我们有 Im($f$) $= N$，所以 $f$ 是满射的。

c) 如果 M 和 N 很简单，则 $f$ 既是单射又是满射。

如果M是单A-模，那么非零环End$_A(M)$的每个非零元素都是可逆的(命题2, c))，所以End$_A(M)$是域。

令 E 为 A-模 M 的自同态环；根据命题 2 和代数的推论，域超过域 K。如果我们将 M 视为左向量空间超过域 E，则我们有暗淡$_KM =$ (暗淡$_EM$)$[E : K]$ 命题 25 / II, §1, No. 13，p. 222，因此暗淡$_KM\geqslant [E : K]$。由于$_KM<$卡(K)被假设调暗，等式$E = K\cdot 1_M$则为以下引理的推论。

令 $x$ 为 E - K 的元素，L 为由 $K\cup \{x\}$ 生成的 E 的（可交换）子域。由于 K 是代数闭集，$x$ 超越 K。通过 VII, §2, No. 3、p. 10、定理 2 和 p. 11、L 的元素 $(x-\alpha )^{-1}$（其中 $\alpha$ 穿过 K）线性无关因此我们有$[E : K]\geqslant [L : K]\geqslant$卡(K)。

由于环 A 是可交换的，因此对于每个 $a\in A$，$a_M$ 是 A-模 M 的自同态。因此，通过定理 1，我们有 $A_M= K\cdot 1_M$，M 是一个简单的 K-模，即域 K 上的一维向量空间。

令I为基数的集合严格大于M的维数超过K（对于例，M的子集的集合）。设L为域$K((X_i)_{i\in I})$之代数闭包（V, §4, No. 3，p. 23，定理2）。 选择 L 上的 K 线性形式$\varphi$，使得 $\varphi (1) = 1$，并令 $v: M_{(L)}\rightarrow M$ 为由 $v(\alpha \otimes m) =\varphi (\alpha )m$ 表征的 K-线性映射。令$u$为M的自同态。$M_{(L)}$对L的维数等于M对K的维数，并且严格小于L的基数。通过定理 1，$A_{(L)}$模块$M_{(L)}$的自同态$1_L\otimes u$为形式$\lambda \otimes 1_M$和$\lambda \in L$。对于每$x\in M$，我们有

这样$u$就是位似$\varphi (\lambda )_M$。

设N为M的真子模。用M包含N的真子模$\mathscr{S}$集合表示，按包含排序；让我们证明 $\mathscr{S}$ 是归纳性的。令$\mathscr{F}$等于$\mathscr{S}$的总有序子集。如果$\mathscr{F}$为空，则对于$\mathscr{S}$中的$\mathscr{F}$，N为上界。相反的情况，用$\mathscr{F}$的元素的Q并来表示。那么 Q 是 M 的子模。设 F 是 M 的有限生成子集。如果 Q 等于 M，则 F 将包含在子模 $P\in \mathscr{F}$ 中，这意味着 P = M，与 $\mathscr{F}$ 的定义相反。因此我们有$Q\in \mathscr{S}$，这证明$\mathscr{S}$是归纳性的。然后从集合理论的推论1、III, §2, No. 4、p. 155得出命题3。

令N为M(命题3)的极大子模，并令$\mathfrak{a}$为单A-模$M/N$的湮没子；它是 A 的双面理想，我们有 $\mathfrak{a}(M/N) = 0$、从而 $\mathfrak{a}M\subset N$，因此有 $\mathfrak{a}M\not= M$。

由于环 A 是可交换的，单A-模的湮没子是 A 的最大理想 (VIII, p. 46, 命题 1)。将推论 1 应用于 A-模 M，存在 A 的最大理想 $\mathfrak{a}$，使得 $\mathfrak{a}M\not= M$。但$\mathfrak{a}M$是单B-模M的子模；因此我们有 $\mathfrak{a}M = 0$ 以及$\mathfrak{a}\subset \mathfrak{m}$。由于理想的$\mathfrak{m}$与A不同，它等于$\mathfrak{a}$，因而$\mathfrak{m}$最大。 模 M 是有限生成模超过域 $A/\mathfrak{m}$；接下来是最后一个断言。

让M成为忠实的单A-模。设$\alpha$为$\mathfrak{a}$的非零元素。由于 A-模 M 是忠实的，因此存在 M 的元素 $x$，使得 $\alpha x\not= 0$。从$\mathfrak{a}$到M的同态$a\mapsto ax$则为非零的；因而，它是 VIII、p. 47 中的同构乘以命题 2。

a) $M^m$的$A_s$到子模存在自然数$m$和同构。

b) 如果 M 承认 Jordan–Hölder 级数 $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$，则每个单A-模同构于商 $M_i/M_{i+1}$ 之一。

将VIII、p. 2应用于M的A-模$A_s$和元素的湮没子，存在M的元素$x_1, . . . , x_m$，使得M的湮没子是M的湮没子的交 $x_i$。由于 A-模 M 是忠实的，A-线性映射 $a\mapsto (ax_1, . . . , ax_m)$ 从 $A_s$ 到 $M^m$ 是单射的，从而 a)。

在b)的假设下，$A_s$的每个简单商同构于Jordan–Hölder级数对$M^m$的商（I, §4, No. 7，p. 43，推论），因此与模$M_i/M_{i+1}$之一（I, §4, No. 7， p. 43、定理 6)。我们结论认为每个单A-模同构于$A_s$的商。