b) A 有限余维包含的每个左理想或右理想有限余维的两侧理想。

公式 (3)和(4)证明，若E是A的左理想，则$E'$是$A^*$的右A-子模；如果V是$A^*$的右A-子模，则$V'$是A的左理想。右理想和双边理想的情况类似地处理。这就证明了a）。

令 $\mathfrak{a}$ 为有限余维 A 的左理想。 左A-模 $E = A_s/\mathfrak{a}$ 是 K 上的有限维，End$_K(E)$ 也是如此。因而，从 A 到 End$_K(E)$ 的同态 $a\mapsto a_E$ 的核是$\mathfrak{a}$ 中包含的有限余维 A 的双面理想。 经过到逆环$A^o$，我们看到有限余维包含的A的每个正理想都是有限余维的双面理想。

当F为右A-模且G为K-向量空间时，我们定义了从Hom$_K(F\otimes_AE,G)$到Hom$_A(E$的K-向量空间的II, §4, No. 1、p. 268、命题1，a) 同构$\gamma$，坎$_K(F,G))$。这个同构送入$\varphi : F\otimes_AE\rightarrow G$到同态$e\mapsto (f\mapsto \varphi (f\otimes e))$。从$A_d\otimes_AE$经过典范同构到E（II, §3, No. 4，第$249$）$,\gamma$，当$F = A_d$且G = K时，可与$c''_E$识别。

类似地，在II, §4, No. 1、p. 268、命题 1、b) 中定义的同构$\beta$专门化为从Hom$_K(E^*\otimes_AA_s,K)$到Hom$_A(E^*$、Hom$_K(A_s,K))$的同构$\beta$。当E是有限维时，E可以规范地与Hom$_K(E^*,K)$等同，$E^*$与$E^*\otimes_AA_s$规范等同；然后同态$\beta$被识别为$c'_E$。

a) E的系数集合从E到$A^*$是A-线性映射像并。

b) 此外，假设 E 对 K 具有有限维 $n$。则左A-模 $\Theta_E(A)$ 同构于 $E^n$ 的商，A-模 E 同构于 $\Theta_E(A)^n$ 的子模，并且每个$\Theta_E(A)$的元素是$E^n$的系数。

断言 a) 由$c''_E$ 的满射性推出。

让我们证明b)。令$(e^*_1, . . . , e^*_n)$为$E^*$在K上的基。由于$\Theta_E(A)$是由E的系数生成的，A-线性映射

从 $E^n$ 到 $\Theta_E(A)$ 是满射的。由a)可知，$\Theta_E(A)$的每一个元素都是$E^n$的系数。而且，A-线性映射

从 E 到 $\Theta_E(A)^n$ 是单射的；这给出了b)。

由于 End$_K(V)$ 是有限维的，$K,\mathfrak{a}$ 是有限余维 A 的双面理想。 向量空间$\Theta_{\pi}(A)$是$A^*$的有限维子空间，其在A中的正交等于$\mathfrak{a}$；通过 II, §7, No. 5、p. 301、空间 $\Theta_{\pi}(A)$ 的定理 7 因此是 $\mathfrak{a}$ 在 $A^*$ 的正交。此外，由于$\mathfrak{a}$是$\pi$的核，映射$\pi$定义同构的转置从$\pi (A)$的对偶到$\mathfrak{a}$的正交$A^*$（II, §7, No. 5，p. 299，定理 5 的推论）。

通过定义，θ(A) 是有限余维 A 的两侧理想的正交的并。因此，对于 A 的每个有限维线性表示 $\pi$，我们都有 $\Theta_{\pi}(A)\subset \Theta (A)$。相反，令 $f$ 为 θ(A) 的元素，并令 $\mathfrak{a}$ 为有限余维的双面理想，包含在 $f$ 的核中（VIII、p. 376、定义 2）。用$A/\mathfrak{a}$中A的$\pi$线性表示表示，从A中左侧正则表示按经过推导出商。令$x$为1的类（mod$\mathfrak{a}$），并令$x^*$为从$f$推导出的$A/\mathfrak{a}$上的线性形式。我们有$f=c_{\pi}(x, x^*)$，所以$f$是$\pi$的系数。

取注，如果$(V, \pi )$是K上非有限维A的线性表示，则空间$\Theta_{\pi}(A)$不一定包含在θ(A)中。

b) 对于每个$S\in \mathscr{S}_K$，型 S 的 θ(A) 的同型分量等于 $\Theta_S(A)$。 左A-模$\Theta^{ss}(A)$是子模$\Theta_S(A)$的直和，其中S穿过$\mathscr{S}_K$。

c) 对于 $\mathscr{S}_K$ 中的每个 S，右A-模 $S^*$ 都是简单的，$\Theta_S(A)$ 是右A-模 θ(A) 的型 $S^*$ 的同型分量。 The mapping that sends S to cl($S^*$) is a bijection from $\mathscr{S}_K$ to the set of classes of simple $A^o$-modules of finite dimension over K.

d) 视为右A-模，θ(A) 有底层 $\Theta^{ss}(A)$。

令 E 为 K 上有限维的半单A-模。从 E 到 $A^*$ (VIII、p. 378、命题 2)，属于到像 A-线性映射的每个系数，因此属于到$\Theta^{ss}(A)$。相反，设$f\in \Theta^{ss}(A)$。那么 A-模 $Af$ 是 K 上的有限维且是半单。到VIII中的注，p. 367$,f$是$Af$的系数。

对于$\mathscr{S}_K$中的每个S，型S的θ(A)的同型分量由A-线性映射的像从S到$A^*$生成；因此，它等于$\Theta_S(A)$乘命题2，a) of VIII，p. 378。另一方面，如果 S 是单A-模，在 K 上不是有限维，则型 S 的 θ(A) 的同型分量是零：事实上，θ(A) 的每个简单子模都是单调的，因此在 K 上是有限维的。因为 θ(A) 的底层是直和其同型成分 (VIII, p. 65, 命题 4), 这就证明了 b).

令 S 为 K 上的有限维的单A-模。由于 K-向量空间 S 不会减少到 0，因此对于 $S^*$ 也是如此。令E为右A-模$S^*$中的子模； S 中的正交 $E'$ 是 S 的 A-子模。由于 S 很简单，我们有 $E'= 0$（在这种情况下为 $E = S^*$）或 $E'= S$（在这种情况下 E = 0）。因此 $S^*$ 是单右A-模。

我们有$\Theta (A^o) = \Theta (A)$（VIII，p. 376）；我们认同右A-模与左侧 $A^o$ 模块。由于K上的有限维的每个向量空间都同构于它的对偶，上面证明简单的类的映射$S\mapsto$cl($S^*$)是双射从$\mathscr{S}_K$到集合 $A^o$-有限维的模在 K 上。现在，对于 $\mathscr{S}_K$ 中的 S，型 $S^*$ $\Theta (A^o)$ 的同典型分量等于 $\Theta_{S^*}(A^o)$，将断言 b) 应用于代数 $A^o$，我们有$\Theta_{S^*}(A^o) = \Theta_S(A)$。 断言 c) 和 d) 紧随其后。

这是从定理 1, b) 得出的，因为对于每个非零的 A-模 E，我们都有 $\Theta_E(A)\not= 0$。

令 $S_1$ 和 $S_2$ 为 K 上有限维的单A-模，系数为公共的非零的。那么我们就有$\Theta_{S_1}(A)\cap \Theta_{S_2}(A)\not= 0$。现在，$\Theta_{S_1}(A)$ 是型 $S_1$ 的同型，$\Theta_{S_2}(A)$ 是型 $S_2$ 的同型。所以$S_1$同构于$S_2$。

到定理 1，$\Theta^{ss}(A)$ 是 S 的 $(A$、A)-双模 $\Theta_S(A)$ 的 $A^*$、直和的 $(A$、A)-双模，穿过 $\mathscr{S}_K$。这些双模是成对非同构的，因为它们已经与左A-模非同构。

在 $\mathscr{S}_K$ 中修复一个 S。用D表示End$_A$(S)的对数域，并将S视为右D-模，将$S^*$视为左D-模。根据这些约定，S 是$(A$，D)-双模，$S^*$ 是$(D$，A)-双模，$S\otimes_DS^*$ 是$(A$，A)-双模。

$x\in S$ 和 $x^*\in S^*$。这个映射是$(A,A)$双模的同构。

b) $(A,A)$-双模块$\Theta_S(A)$很简单。

以公式 $\gamma_S(x\otimes x^*) =c_S(x, x^*)$为特征的映射$\gamma_S: S\otimes_KS^*\rightarrow \Theta_S(A)$是$(A$，A)-线性和满射，并且对于$x\in S,x^*\in S^*$和$d\in D$满足$\gamma_S(xd\otimes x^*)$$=\gamma_S(x\otimes dx^*)$。因此定义是一个满射$(A$，A)-线性映射$\lambda_S: S\otimes_DS^*\rightarrow \Theta_S(A)$，其特征在于公式 (6)。

让我们证明$S\otimes_DS^*$是一个简单的$(A$，A)-双模。根据VIII，p. 63的推论2，$S\otimes_DS^*$的每个$(A$，A)-子双模都是形式$S\otimes_DH$，其中H是$S^*$的$(D$，A)-子双模。由于 $S^*$ 是单右A-模 (VIII, p. 380, 定理 1, c))，我们有 H = 0 或 $H = S^*$；接下来是断言。

同态$\lambda_S$是$(A$，A)-线性且非零的；由于 $S\otimes_DS^*$ 是简单的双模，$\lambda_S$ 是单射 (VIII, p. 47, 命题 2, a))。

(i) S 的特征标 Tr$_S$ 不是零。

(ii) 存在元素$d\in D$使得Tr$_{D/K}(d)\not= 0$。

(iii) K 的扩张 Z 是可分离的，且 K 的特征$p$ 不除次数 [D : Z]。

右D-向量空间 S 是有限维的。令$(e_1, . . . , e_n)$为S在D上的基，并令$u$为End$_D(S)$的元素。令$(d_{ij})$为$u$相对于基$(e_1, . . . , e_n)$的矩阵。我们有 $u(e_j) =\sum^n_{i=1}e_id_{ij}$ 对应 $j\in [1, n]$。用 $u_K$ 映射 $u$ 表示为 K-向量空间 S 的自同态，并用 $u_K$ 的 $(u_{ij})$ 矩阵相对于 K-向量空间 S 的分解 $(e_iD)$ 表示为直和（II, §10, No. 5，p. 346）。我们有 Tr($u_K$) $=\sum_i$ Tr($u_{ii}$)。而且，$u_{ii}$是$u_{ii}(e_id) =e_id_{ii}d$对$d\in D$定义的K-向量空间$e_iD$的自同态，所以它的迹等于Tr$_{D/K}(d_{ii})$。由此我们证明了等式

(9) Tr($u_K$)$=$Tr$_{D/K}(\sum_id_{ii})$。

根据 Burnside 的定理（VIII，p. 83，命题 4 的推论 1），从 A 到 End$_D(S)$ 的映射 $a\mapsto a_S$ 是满射的。因而，性质 (i) 和 (ii) 的等价由公式 (9) 得出。

如果 K 的扩张 Z 是可分的，则存在元素 $d\in Z$，使得 Tr$_{Z/K}(d)\not= 0$（V, §8, No. 2，p. 49，命题 1 的推论）。此外，我们还有 Tr$_{D/K}(d) = [D : Z]$ Tr$_{Z/K}(d)$（III, §9, No. 4，p. 548，推论）；因而，如果 $p$ 不除 [D : Z]，则我们有 Tr$_{D/K}(d)\not=$ 0。这证明 (iii) 蕴涵 (ii)。

如果 K 的扩张 Z 不可分离，则对于每个 $x\in Z$，我们有 Tr$_{Z/K}(x) = 0$，因此对于每个 $d\in D$，有 Tr$_{D/K}(d) =$ Tr$_{Z/K}$(Tr$_{D/Z}(d)$) $= 0$。

现在假设 $p$ 除次数 [D : Z]。然后是 D 在 Z 上的除减少的次数。对于每个 $d\in D$，我们有 Tr$_{D/Z}(d) = 0$ (VIII, p. 344, 注)，因而 Tr$_{D/K}(d) =$ Tr$_{Z/K}$(Tr$_{D/Z}(d)$) $= 0$。这就完成了蕴涵 (ii) $\Rightarrow$ (iii) 的证明。

由于域是完美的，K的扩张Z是可分离的（V, §15, No. 5，p. 125，定理3）。 性质 (iii) 然后从VIII、p. 323 的推论 3 得出。

令F为$\mathscr{S}_0$的有限子集，令S为F的元素。到假设，存在元素$a\in A$使得Tr$_S(a)\not= 0$。根据命题 4 (VIII, p. 83) 的推论 1，存在元素 $b\in A$，使得对于每个 $T\in F-\{S\}$ 都有 $b_S=a_S$ 和 $b_T= 0$。我们有 Tr$_S(b)\not= 0$ 和 Tr$_T(b) = 0$ $T\in F-\{S\}$。因此，族 (Tr$_S$)$_{S\in F}$ 是免费的。接下来是命题6。

b) 假设域 K 是非零的特征$p$ 的完美。那么同态$\theta_K$是单射的，$\theta$的核是$pR_K(A)$。令 E 为 K 上有限维的半单A-模。线性形式 Tr$_E$ 为零当且仅当存在 A-模 F，使得 E 同构于 $F^p$。

令$\mathscr{S}_K$为K.元素[S]上的有限维单A-模类集合，其中S穿过$\mathbf{Z}$模的$\mathscr{S}_K$、形式基 $R_K$(A)，所以 K-向量空间 $K\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(A)$ (VIII, p. 195) 中的元素 $1\otimes [S]$ 形式基。

假设域 K 是完美的。由命题 6 以及 VIII、p. 383、元素 $\theta ([S]) =\theta_K(1\otimes [S]) =$ Tr$_S$ $A^*$ 的推论与 K 线性无关。因此，同态 $\theta_K$ 是内射的，核的同态 $\theta$ 由元素 $\sum_{S\in\mathscr{S}_K}n_S[S]$ 和 $R_K(A)$ 组成，这样每个$S\in \mathscr{S}_K$就有$n_S\cdot 1_K= 0$。因此，$\theta$的核等于$pR_K$(A)，其中$p$是K的特征。特别是，如果K的特征为0，则同态$\theta$是单射的。

a) 的最后一个断言由VIII、p. 190的推论得出。

假设b)的假设满足，并令E为K上有限维的半单A-模。如果存在A-模F，使得E与F同构于$p$子模的直和，则模F为半单且K 上的有限维，我们有 Tr$_E=p$ Tr$_F= 0$。相反，假设 Tr$_E= 0$。我们有$[E]\in pR_K$(A)，所以E中每个单模$S\in \mathscr{S}_K$的重数是$p$的倍数（VIII，p. 190，命题7）；我们可以把它写成$p n_S$和$n_S\in \mathbf{N}$。族$(n_S)$有有限支撑。 集合$F =\oplus_{S\in\mathscr{S}_K}S^{n_S}$。然后我们有 $[E] = [F^p]$，因此 E 和 $F^p$ 同构的（VIII，p. 190，推出）。

设 E 为 K 上有限维的 A-模。设 $a\in A$。用 $\chi_E(a; T)$ 表示 K[T]-模 $E[T] = K[T]\otimes_KE$ (III, §8, No. 11, p. 541) 的自同态 $1_E+ Ta_E$ 的行列式。我们有关系

(10) $\chi_E(a; T)\equiv 1 +$ Tr$_E(a)T$ (mod $T^2K[T]$)

（前述，公式 (49)）。由于该多项式的常数项等于 1，因此它是可逆形式幂级数 (IV, §4, No. 4, p. 30)。此外，如果

是 A-模的正合序列，都是 K 上的有限维，那么我们有 $\chi_E(a; T) =\chi_{E'}(a; T)\chi_{E''}(a,T)$ (III, §8, No. 7, p. 534, 公式 (31))。由格罗滕迪克群 $R_K(A)$ (VIII, p. 194) 的定义及其泛性质 (VIII, p. 186, 命题 4)，存在唯一同态 $\chi_a$ 群 $R_K(A)$ 到乘法群 1 + TK[[T]] 使得 $\chi_a([E]) =\chi_E(a; T)$ 对于 K 上有限维的每个 A-模 E。我们从公式 (10) 关系推论

(11) $\chi_a(x)\equiv 1 +\theta (x)(a)T$ (模 $T^2K[[T]]$)

对于 $x\in R_K(A)$ 和 $a\in A$。

如果 E 和 $E'$ 是 K 上有限维的两个 A-模，具有同构半简化，则我们有 $\chi_E(a; T) =\chi_{E'}(a; T)$。

令$x$为$R_K(A)$的元素，使得$\chi_{\mathscr{A}}(x) = 1$。根据(11)，对于每个$a\in \mathscr{A}$，我们都有$\theta (x)(a) = 0$，因此也有$\theta (x) = 0$，因为$\theta (x)$是A上的K线性形式，并且$\mathscr{A}$生成K-向量空间A。如果K的特征是零，那么这意味着$x= 0$ (VIII, p. 384, 命题 6 的推论)，因此是本例中的结果。假设从现在开始K的特征$p$是非零的。

让我们首先处理 K 是代数闭的情况。由上述和loc。如上所述，我们就有 $x\in pR_K(A)$。设$y\in R_K(A)$使得$x=py$。对于$\mathscr{A}$中的每一个元素$a$，我们有$\chi_a(y)^p=\chi_a(py) =\chi_a(x) = 1$。所以我们有$(\chi_a(y)-1)^p= 0$，因此有$\chi_a(y) = 1$，因为环 K[[T]] 是整环。所以$y$属于到核共自同态$\chi_{\mathscr{A}}$。接下来是归纳，对于每整数$n \geq 1$，$x$属于到$p^n R_K(A)$。由于$R_K(A)$是一个自由的$\mathbf{Z}$模块，这意味着$x = 0$，因此在这种情况下$\chi_{\mathscr{A}}$具有单射性。