(5)

(b) 设 E 为右A-模，F 为 (A, C) 双模，G 为右 C 模。对于每个映射$h \in \mathrm{Hom}_C(E \otimes_A F, G)$，令$h'$是E的映射进入由$(h'(x))(y) = h(x \otimes y)$为$x \in E, y \in F$定义的$\mathrm{Hom}_C(F, G)$。 映射 $h \mapsto h'$ 是同构

(6)

特别地，B和C可以被认为是环A的中心中的子环$\Gamma$；那么对于每个 $\Gamma$-模块 G，三个 $\Gamma$-模块

与 $\Gamma$-*双线性* 映射的 $E \times F$ 的 $\Gamma$ 模典型地同构为 G，其中满足 (1)。更具体地说：

(ii) 当 $E$ 是有限生成射影$A$-模时，典范同态 (7) 是双射。

(i) 修复$E$和$G$，对于*每个*剩下的$B$-模块$F$，我们写

对于每个左边的$B$-模块同态$u : F \to F'$，我们写$T(u) = 1 \otimes u$（这里的1表示$\mathrm{Hom}_A(E, G)$的恒等映射），

另一方面，我们写 $\nu_F$ 而不是 $\nu$。那么我们有以下引理：

是*可交换的*。

验证为直接的。

是可交换的，垂直箭头是双射的。

交换律源自引理1，另一个断言源自§ 1, no. 6，推论2至命题6和§ 3, no. 7、命题7。

这是从引理 2 和§ 1, no. 6，推论1 到命题 6 得出的。

那么引理 3 与§ 2, no. 2、命题 4 一起表明，只要考虑$F$ 是自由模的情况就足够了。但是，如果$(b_\mu)$是$F$的基，则$\mathrm{Hom}_A(E, G) \otimes_B F$的每个元素可以唯一地写为$\sum_\mu u_\mu \otimes b_\mu$，其中$u_\mu \in \mathrm{Hom}_A(E, G)$（§ 3, no. 7，推论1到命题7）；这个元素在$\nu$下的像就是$A$-线性映射$x \mapsto \sum_\mu u_\mu(x) \otimes b_\mu$；对于所有$x \in E$，不能为零，对于所有$x \in E$和所有$\mu$，除非$u_\mu(x) = 0$，相当于对于所有$\mu$，说即$u_\mu = 0$；因此 $\nu$ 是单射的。当$F$也承认有限的基时，引理3表明（通过$F$的基中元素的数上的归纳），要证明$\nu$是满射的，这样做就足够了当$F = B_s$时；但在这种情况下，(7) 的两侧被规范地标识为 $\mathrm{Hom}_A(E, G)$ (§ 3, no. 4, 命题 4)，并且 $\nu$ 成为恒等式。

(ii) 为了在 $E$ 是射影且有限生成时显示命题，这次我们修复 $F$ 和 $G$ 并写入，对于每个左 $A$-模块 $E$，

并且，对于每个左$A$-模块同态$v : E \to E'$，

另一方面，我们写 $\nu_E$ 而不是 $\nu$。然后我们有两个引理：

是可交换的。

是可交换的，垂直箭头是双射的。

考虑到§ 1, no. 6、推论2至命题6、§ 2, no. 1、命题1和§ 3, no. 7、命题7，它们被证明为引理1和2。

然后证明的余数按照(i)进行，并减少到$E = A_s$的情况；然后，(7) 的两侧被规范地标识为 $G \otimes_B F$，并且 $\nu$ 成为恒等式。

特别是取$B = A$和$G$$(A, A)$-双模块${}_sA_d$（$§ 3$，no. 4），这样正确的$A$-模块$\mathrm{Hom}_A(E, {}_sA_d)$就是$E$和$({}_sA_d) \otimes_A F$的对偶$E^*$被规范地识别与 $F$ ($§ 3$, no. 4, 命题 4)。 同态 (7) 然后成为规范的 $\mathbf{Z}$ 同态

$\theta(x^* \otimes y)$ 是 $E$ 的线性映射变成 $F$

注 (1)。 $§ 2$、no. 6、命题 12 中给出的*射影* $A$-模的刻画也可以表示如下：对于左$A$-模$E$射影，典范同态是充要的

使得$\theta_E$的$1_E$属于到像。

即使$E$和$F$都是有限生成的，$\theta$也不一定是满射的，如例$A = \mathbf{Z}, E = F = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$所示； (11) 的右侧非零但$E^* = 0$。另一方面，可以在 $E$ 是*自由*的情况下给出例，但 (11) 既不是单射也不是满射 (习题 3(b))。

当E承认有限的基$(e_i)$时，$\theta$的逆同构$\theta^{-1}$可以明确地找到如下。设$(e_i^*)$为$(e_i)$(§ 2, no. 6)中的对偶基；对于所有 $u \in \mathrm{Hom}(E, F)$ 以及所有 $x = \sum_i \xi_i e_i$ 和 $\xi_i \in A$，

因此$u = \sum_i \theta(e_i^* \otimes u(e_i))$，在其他字

特别是，如果进一步$F = E$，可以看出恒等映射$1_E$的$\theta_E^{-1}$下的像是元素$\sum_i e_i^* \otimes e_i$，因此在E中考虑基$(e_i)$*独立*。

注另一方面，当E为有限生成射影模时，$\mathrm{End}_A(E)$上的*环* 结构可以通过$\theta_E^{-1}$传输到$E^* \otimes_A E$；立即验证，对于E中的$x, y$，$E^*$中的$x^*, y^*$，环$\mathrm{End}_A(E)$，

注 (2)。令 E 为*右* A-模； 替换 E 通过(11)中的$E^*$，我们得到一个规范的$\mathbf{Z}$同态

另一方面，存在规范的A-同态$c_E : E \to E^{**}$，从而，存在$\mathbf{Z}$-同态$c_E \otimes 1_F : E \otimes_A F \to E^{**} \otimes_A F$；将后者与同态 (14) 组合，我们因此获得规范的 $\mathbf{Z}$ 同态

这样 $\theta'(x \otimes y)$ 就是线性映射

如果 E 和 F 是*射影* 模，则映射 (15) 是*内射*。因为 $c_E$ 是单射的（§ 2, no. 7，推论 4 到命题 13），并且由于 F 是射影，$\mathbf{Z}$ 同态 $c_E \otimes 1_F : E \otimes_A F \to E^{**} \otimes_A F$ 也是单射的（§ 3, no. 7，推论 6 到命题 7）；最后可知(命题2)同态(14)是单射的，从而结论。

如果 E 是*射影*且*有限生成*，则映射 (15) 是*双射的*，因为它所组成的两个映射则为双射（§ 2, no. 7，推论 4 到上面的命题 13 和命题 2）。

两个映射$(u, v) \mapsto \mathrm{Tr}(u \circ v), (u, v) \mapsto \mathrm{Tr}(v \circ u)$

到$C$是$C$*-双线性*；因此，当$u$为形式$x \mapsto \langle x, a^* \rangle b$且$v$为形式$y \mapsto \langle y, b^* \rangle a$且$a \in E, a^* \in E^*, b \in F, b^* \in F^*$时，足以验证(20)。但$v \circ u$是映射$x \mapsto \langle x, a^* \rangle \langle b, b^* \rangle a$和$u \circ v$映射$y \mapsto \langle y, b^* \rangle \langle a, a^* \rangle b$。 公式 (17) 表明(20) 两侧的值等于$\langle a, a^* \rangle \langle b, b^* \rangle$。

for $1 \leq i \leq p$（“循环置换下轨迹的不变性”）。

将 (20) 应用于乘积即可

注另一方面，这不一定是真的

三个自同态 $u, v, w$ E。

显然，对于有序对$(E_1, F_1)$和$(E_1, E_2)$执行证明就足够了。

我们首先考虑有序对$(E_1, F_1)$的情况；我们修复$E_2, F_1, F_2$并为*每个*C-模块$T(E) = \operatorname{Hom}(E, F_1) \otimes_c \operatorname{Hom}(E_2, F_2)$和$T'(E) = \operatorname{Hom}(E \otimes E_2, F_1 \otimes F_2)$编写，并且对于每个C-同态$v : E \to E'$，

和

那么*引理 4 和 5* (no. 2)（*其中 v* 被 $\lambda$ 代替）*有效*并且由完全类似的方法证明。

接下来我们修复$E_2$和$F_2$，这次为每个C-模块F写入，

和 $T'(F) = \operatorname{Hom}(C \otimes E_2, F \otimes F_2)$，并且对于每个 C 同态 $u : F \to F'$，

和

这次立即验证*引理 1 和 2* (no. 2)（*其中$\lambda$始终替换 v*）*有效*。

既然如此，当$E_1 = C$和$F_1$是射影且有限生成时，我们首先显示命题。 no. 2的参数（基于引理 1和2），与上面的注、约化一起到证明命题，同时还有$F_1 = C$；那么$\operatorname{Hom}(E_1, F_1), E_1 \otimes E_2$和$F_1 \otimes F_2$分别用C，$E_2$和$F_2$来识别（§ 3, no. 4，命题4）； (21) 的两侧

同态$\operatorname{Hom}_c(E_1, F_1) \otimes_c \operatorname{Hom}(E_2, F_2)$

然后都用$\operatorname{Hom}(E_2, F_2)$和之后这些标识进行规范标识，经验证$\lambda$成为身份。

我们现在假设 $F_1$ 是射影且有限生成的； no. 2（此时取决于引理 4和5）约化证明对于$E_1$任何有限生成射影模到$E_1 = C$的情况，即处理的第一个情况。

对于有序对$(E_1, E_2)$，程序类似，这次应用引理4和5两次；我们把细节留给读者。

注当 $E_1 = C^{(I)}$、$E_2 = C^{(J)}$ 自由时（无论是否有限生成），则 $\operatorname{Hom}(E_1, F_1) = F_1^I$、$\operatorname{Hom}(E_2, F_2 = F_2^J$ 和

到典范同构和 (21) 之内，则与 § 3, no. 7 的典范同态 (22) 的特殊情况相同。

当 $E_2 = C$, 典范同态 (21) 给出时，之后将 $\operatorname{Hom}(E_2, F_2)$ 与 $F_2$ 识别，将 $E_1 \otimes E_2$ 与 $E_1$, 典范同态识别

对于任何三个$C$-模块$E, F, G$，这只是$A = B = C$的no. 2的同态(7)。

注当 $F = C$ 典范同态 (22) 再次给出 (11) (no. 2) 对于交换环的情况。

现在假设$F_1 = F_2 = C$；由于$F_1 \otimes F_2$与$C$等同，所以有这次典范同态

对于两个$C$-模块$E, F$；对于$x^* \in E^*, y^* \in F^*$，$x^* \otimes y^*$在典范同态（23）下的像在$E \otimes F$上是线性形式$u$，使得 此外，如果$E_1, E_2, F_1, F_2$是四个$C$模块，$f : E_1 \to E_2, g : F_1 \to F_2$是两个线性映射，则从(24)可以立即得出图表 是*可交换的*。

根据线性，只需考虑 u₁ 为形式 $x_1 \mapsto \langle x_1, x_1^* \rangle y_1$ 且 u2 为形式 $x_2 \mapsto \langle x_2, x_2^* \rangle y_2$ 的情况即可；那么$u_1 \otimes u_2$下的$x_1 \otimes x_2$的像除以定义

$x_1^* \otimes x_2^*$ 被规范地标识为 $\mu$，元素为 $(E_1 \otimes E_2)^*$。由于 $\langle y_1 \otimes y_2, x_1^* \otimes x_2^* \rangle = \langle y_1, x_1^* \rangle \langle y_2, x_2^* \rangle$，公式 (26) 在这种情况下由 (17) 得出。