$B$可以通过$\rho$被视为$(B, A)$双模；那么有一个规范的 $\mathbf{Z}$-模块同构

(1)

正如在 $§ 4$、no. 1、命题 1 中所见。但是左侧 $A$ 模块 $\operatorname{Hom}_B(B_s, F)$ 被规范地标识为 $\rho^*(F)$：对于，通过定义 ($§ 1$，no. 14)，有对应到元素$y \in F$同态$\theta(y) : B_s \to F$使得$(\theta(y))(1) = y$；对于所有$\lambda \in A$，因此$B_s$的对应到$\rho(\lambda)y \in F$同态$\mu \mapsto \mu \rho(\lambda)y$进入$F$，这只是$\operatorname{Hom}_B(B_s, F)$上左侧$A$模块结构的$\lambda \theta(y)$ （$§ 1$，no. 14）。使用这个识别，我们因此获得*规范* $\mathbf{Z}$-模块*同构*，（1）的逆

(2)

从定义可以立即得出，如果 $\delta(f) = \bar{f}$，则对于所有 $x \in E$，$\bar{f}(1 \otimes x) = f(x)$。特别是，映射$\phi_E : x \mapsto 1 \otimes x$只是 (3)

因此命题1得证。 映射 $\phi_E : E \to \rho_*(\rho^*(E))$ 被称为*规范*。

其中$\phi_E$和$\phi_{E'}$是典范映射。

应用命题 1 足以满足 A 同态$\phi_{E'} \circ u : E \to E'_{(B)}$。

上述推论中定义的映射$v$用$\rho^*(u)$或$u_{(B)}$表示。

如果$E''$是第三个左A-模且$v : E' \to E''$A-线性映射，则直接的

扩展模运算符的环是*传递* 运算；准确地说：

对于所有$x \in E$，映射$1 \otimes (1 \otimes x)$到$1 \otimes x$，并且这个同态是双射的。

$\sigma^*(\rho^*(E))$和$(\sigma \circ \rho)^*(E)$的底层$\mathbf{Z}$模块分别是$C \otimes_B (B \otimes_A E)$和$C \otimes_A E$。存在一个规范的$\mathbf{Z}$同构$C \otimes_B (B \otimes_A E) \to (C \otimes_B B) \otimes_A E$（$§ 3$，no. 8，命题8），这也是两侧左侧C模块结构的C同构。此外，

C-模块$C \otimes_B B$在同构下与C-模块$C_s$进行规范地标识，其中映射$\gamma \otimes \beta$到$\gamma \sigma(\beta)$（§ 3, no. 4，命题4）并且这个对于由 $\rho$ 定义的 $C \otimes_B B$ 上的右A-模结构，同构也是同构，对于由 $\sigma \circ \rho$ 定义的 C 上的右A-模结构。因此典范同构

is obtained and, composing it with 同构

之前定义，获得所需的典范同构。

如果$\phi, \phi'$和$\phi''$分别表示典范映射、$E \to \rho^*(E), \rho^*(E \to) \sigma^*(\rho^*(E))$和$E \to (\sigma \circ \rho)^*(E)$，则$\phi' \circ \phi$与命题2的典范同构下的$\phi''$进行识别。

映射 $(1 \otimes x) \otimes (1 \otimes x')$ 到 $1 \otimes (x \otimes x')$ 为 $x \in E, x' \in E'$，*这个同态是双射*。

(5) 的左边可以写成 $(B \otimes_A E) \otimes_B (B \otimes_A E')$ 并用 $(E \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A E')$ 来表示，因为 A 和 B 是可交换的；后者乘积依次识别为$E \otimes_A (B \otimes_B B) \otimes_A E'$、$E \otimes_A (B \otimes_A E')$、$E \otimes_A (E' \otimes_A B)$，最后识别$(E \otimes_A E') \otimes_A B$，使用张量积的结合性（§ 3, no. 8、命题8）、命题4， A 和 B 的 § 3, no. 4 和交换律。所需的同构是连续的典范同构中的合成。

显然如果S是E的生成的系统，则典范映射$E \to E_{(B)}$下S的像是$E_{(B)}$的生成的系统；特别是，如果 E 为有限生成A-模，则 $E_{(B)}$ 是有限生成的 B-模。

第一个断言紧随§ 3, no. 7，推论1到命题7。此外，对于有限支撑A的元素的每个家庭$(\xi_\lambda)_{\lambda \in L}$，

因此，对于所有 $\lambda \in L$，关系 $\phi \left( \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda a_\lambda \right) = 0$ 等价于 $\rho(\xi_\lambda) = 0$，从而第二个断言。

假设存在自由A-模 M 包含 E，其中 E 承认补充 F。 紧随§ 3, no. 7、命题 7，$M_{(B)}$ 与 $E_{(B)}$ 和 $F_{(B)}$ 的直和等同，并且如果$\phi$和$\psi$是典范映射$E \to E_{(B)}$和$F \to F_{(B)}$，典范映射$M \to M_{(B)}$只是$x + y \mapsto \phi(x) + \psi(y)$。将命题 4 应用于 A-模 M 立即得出推论。

当 E 为右A-模时，我们类似地写为 $\rho^*(E) = E \otimes_A \rho_*(B_s)$，此时 B 被视为 (A, B) 双模，并且 $\rho^*(E)$ 上的右B-模结构使得 $(x \otimes \beta)\beta' = x \otimes (\beta\beta')$ 对于 $\beta \in B' \ \beta' \in B$ 和 $x \in E$。我们留给读者的任务是，将右模的结果相应的说明为该编号的结果。以及以下内容。

注 (4)。考虑由 $\rho$ 定义的左A-模 $\rho_*(B_s)$，对于每个左A-模 E，考虑 $\mathbf{Z}$ 模块

由于$\rho_*(B_s)$有右B-模结构，左B-模结构是在$\tilde{\rho}(E)$（§ 1, no. 14）上导出的，因此，如果$u \in \tilde{\rho}(E)$和$b' \in B$，$b'u$是同态将$\rho_*(B_s)$的$b \mapsto u(bb')$转化为E。我们进一步将定义A-线性映射，称为规范 与 E 中的每个同态 $u \in \tilde{\rho}(E)$ 元素 $u(1)$ 相关联。由于 B 可以通过 $\rho$ 被视为 (A, B)-双模，因此对于每个左B-模 F，都有一个规范的 $\mathbf{Z}$-模同构 （§ 1, no. 1，命题1）。由于左A-模 $\rho^*(B_s) \otimes_B F$ 凭借 § 3, no. 4、命题 4 被规范地识别为 $\rho_*(F)$，因此我们获得规范的 $\mathbf{Z}$-模块同构，即上述的逆 将 F 的每 B-线性映射 g 关联到 $\tilde{\rho}(E)$ 复合映射 $\eta \circ g$，被视为 $\rho_*(F)$ 的 A-线性映射关联到 E。特别是，在命题 2 的假设下，如果 F 被 $\sigma_*(C_s)$ 替换，我们得到一个规范C-同构

分别等于$\rho^*(E)$和$\rho_*(F)$的恒等映射。

我们给出证明，对于例，对于(12)；对于所有 $x \in E$、映射 $\rho^*(\phi_E)$ 映射 $1 \otimes x$ 至元素 $1 \otimes (1 \otimes x)$ 和映射 $\psi_{\rho^*(E)}$ 映射 $1 \otimes (1 \otimes x)$ 至元素 $1 \otimes x$；结论是根据形式$1 \otimes x$生成B-模$\rho^*(E)$的元素得出；对于 (13) 来说证明更简单。

这是命题 5 和 § 1, no. 9 的推论，推论 2 到命题 15。

对于所有$x \in E$和所有$y \in F$，映射$y \otimes x$到$y \otimes (1 \otimes x)$，并且这个同态是双射的。

通过定义，(14) 的右侧为 $F \otimes_B (B \otimes_A E)$，其中 B 被视为 (B, A)-双模，并且在 § 3, no. 8、命题 8 中定义了规范的 $\mathbf{Z}$ 同构 $(F \otimes_B B) \otimes_A E \to F \otimes_B (B \otimes_A E)$；另一方面，§ 3, no. 4、命题 4 的典范同构$F \to F \otimes_B B$，对于两侧的右A-模结构来说，是同构，由$\rho$定义。 从而所需的同构。

当 A 和 B 可交换时，同构 (14) 是 A-模 同构

(i) 如果 B 是射影（分别是*有限生成射影*）*A*-模，同态 (17) 是单射*（分别是*双射的*）。

(ii) 如果 E 是有限生成的射影 A 模，则同态* (17) 是双射。

由于 (16) 是双射，命题由 § 4, no. 2 推出。 命题 2，应用于典范同态 (15)。

这是从上面和§ 4, no. 2、命题 2 得出的。

特别假设 E 是有限生成的自由A-模，并令 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 为 E 和 $(e_i^*)$ 对偶基的基；然后$(E^*)_{(B)}$的典范同构（19）映射基$(e_i^* \otimes 1)$到$E_{(B)}$的基$(1 \otimes e_i)$对偶基。

我们知道（§ 2, no. 6，命题 12），存在 P 的元素的族$(a_\lambda)_{\lambda \in L}$和对偶 P* 的元素的族$(a_\lambda^*)_{\lambda \in L}$，这样，对于所有$x \in P$，$\langle x, a_\lambda^* \rangle$的族有限支撑和$x = \sum_\lambda \langle x, a_\lambda^* \rangle a_\lambda$。由于$P_{(B)}$是有限生成的，因此存在P的元素的有限族$(y_i)_{i \in I}$，使得$P_{(B)}$由元素$1 \otimes y_i$生成。对于每个指标 i，家庭 $\langle y_i, a_\lambda^* \rangle$ 有有限支撑。因此，存在L的有限子集 H，使得$i \in I$和$\lambda \notin H$有$\langle y_i, a_\lambda^* \rangle = 0$。自从

由此可知 $1 d_B \otimes a_\lambda^* = 0$ 对应 $\lambda \notin H$。因此，对于所有$x \in P$， $\lambda \notin H$。这表明A-模 P 由$a_\lambda$ 生成，使得$\lambda \in H$。