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§ 1。 代数
1. 定义代数
在这个定义中发生的E × E E \times E E × E E E E A A A E E E ( x , y ) ↦ x . y (x, y) \mapsto x.y ( x , y ) ↦ x . y ( x , y ) ↦ x y (x, y) \mapsto xy ( x , y ) ↦ x y
令( α i ) i ∈ I (\alpha_i)_{i \in I} ( α i ) i ∈ I ( β j ) j ∈ J (\beta_j)_{j \in J} ( β j ) j ∈ J A A A E E E ( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I ( y j ) j ∈ J (y_j)_{j \in J} ( y j ) j ∈ J
( ∑ i ∈ I α i x i ) ( ∑ j ∈ J β j y j ) = ∑ ( i , j ) ∈ I × J ( α i β j ) ( x i y j )
\left( \sum_{i \in I} \alpha_i x_i \right) \left( \sum_{j \in J} \beta_j y_j \right) = \sum_{(i, j) \in I \times J} (\alpha_i \beta_j)(x_i y_j)
( i ∈ I ∑ α i x i ) j ∈ J ∑ β j y j = ( i , j ) ∈ I × J ∑ ( α i β j ) ( x i y j ) 持有；特别是
( α x ) y = x ( α y ) = α ( x y ) for α ∈ A , x ∈ E and y ∈ E .
(\alpha x)y = x(\alpha y) = \alpha(xy) \quad \text{for } \alpha \in A, x \in E \text{ and } y \in E.
( α x ) y = x ( α y ) = α ( x y ) for α ∈ A , x ∈ E and y ∈ E . E × E E \times E E × E E E E ( x , y ) ↦ y x (x, y) \mapsto yx ( x , y ) ↦ y x E E E A A A E E E A A A E E E E E E E 0 E^0 E 0 A A A E E E E E E E E E E 0 E^0 E 0 E E E
当代数E E E E E E A A A E E E E E E E E E
(1) 每个交换环 A A A A A A E E E E E E E E E Z \mathbf{Z} Z E E E Z \mathbf{Z} Z F F F A A A F F F A F A^F A F A A A
A-模结构 (II, § 1, no. 5) 是结合律和交换律的A-代数。
(4) 设E为A-代数；内部律( x , y ) ↦ x y + y x (x, y) \mapsto xy + yx ( x , y ) ↦ x y + y x ( x , y ) ↦ x y − y x (x, y) \mapsto xy - yx ( x , y ) ↦ x y − y x
( x , y ) ↦ x y + y x (x, y) \mapsto xy + yx ( x , y ) ↦ x y + y x 总是可交换的。
引用了 2 引用了 I § 8. 。 环 , II § 1. 。 模
给定两个代数* E, E' 超过交换环 A, 同态 of E 进入 E' 是映射 f : E → E ′ f : E \to E' f : E → E ′ 这样 (1) f 是一个 A*-模同态*； (2) f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) f(xy) = f(x)f(y) f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) 对于所有 x ∈ E x \in E x ∈ E 和 y ∈ E y \in E y ∈ E
被以下引用 1 被以下引用 III, §1, No. 3, Def. 2
显然，两个A-代数同态中的合成是A-代数同态。每个双射代数同态都是同构。因此A-代数同态可以被视为A-代数结构类*态射*（*集合理论*，IV，2，no. 1）。接下来我们总是假设态射中的选择已经制作完成。如果E、E'是两个A-代数，则令Hom A -alg ( E , E ′ ) \operatorname{Hom}_{A\text{-alg}}(E, E') Hom A -alg ( E , E ′ )
令 E、E' 为两个代数，每个单位元。 E 的同态到 E' 映射单位元到 E' 的单位元被称为*单位同态*（或*单位代数态射*）。
2. 子代数。理想。商代数
设 A 为交换环，E A-代数。如果F是W的子A模，在E上的乘法、限制到E定义的乘法的F×F（与F上的A-模结构）、F上的A-代数结构下稳定，因此结构，被称为 A-代数 E 的 子代数 。E 的子代数的每个交都是 E 的子代数。对于 E 的元素的每个( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I x i x_i x i ( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I ( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I u : E → E ′ u : E \to E' u : E → E ′ u ( F ) u(F) u ( F )
令 E 为*结合* 代数。对于E的每个子集M，E的元素的集合M ′ M' M ′ M ′ M' M ′ M ′ ′ M'' M ′′ M ⊂ M ′ ′ M \subset M'' M ⊂ M ′′ M ′ M' M ′ M ′ ′ M'' M ′′ M ′ ′ M'' M ′′ M ⊂ M ′ ′ M \subset M'' M ⊂ M ′′ M ′ ′ ⊂ M ′ M'' \subset M' M ′′ ⊂ M ′ M ′ = M ′ ′ M' = M'' M ′ = M ′′ F ′ F' F ′ F ∩ F ′ F \cap F' F ∩ F ′
F 是*可交换的*，则F ⊂ F ′ F \subset F' F ⊂ F ′ F ′ ⊃ F ′ ′ F' \supset F'' F ′ ⊃ F ′′ F ′ ′ F'' F ′′ 中心 。
对于某些非关联的代数（对于例李代数），子代数和中心的集中器概念定义不同（*李群和李代数*，I, § 1, no. 6）。
当a a a x ∈ a , y ∈ E x \in a,\ y \in E x ∈ a , y ∈ E y x ∈ a yx \in a y x ∈ a x y ∈ a xy \in a x y ∈ a a a a a a a E 0 E^0 E 0 a a a e e e α ∈ A \alpha \in A α ∈ A x ∈ E x \in E x ∈ E α x = ( α e ) x = x ( α e ) \alpha x = (\alpha e)x = x(\alpha e) α x = ( α e ) x = x ( α e ) 环 E (I, § 8, no. 6) 的（右、左、两侧）理想与*代数* E 的（右、左、两侧）理想。代数 E 的左（右、两侧）理想的每个和和每交都是左（右、两侧）理想。 E 的左（或右，或两侧）理想包含子集 X 的交被称为由 X 生成 的 E 的左（或右，或两侧）理想。
令 b b b x ≡ x ′ ( m o d b ) x \equiv x' \pmod{b} x ≡ x ′ ( mod b ) y ≡ y ′ ( m o d b ) y \equiv y' \pmod{b} y ≡ y ′ ( mod b )
x ( y − y ′ ) ∈ b and ( x − x ′ ) y ′ ∈ b
x(y - y') \in b \quad \text{and} \quad (x - x')y' \in b
x ( y − y ′ ) ∈ b and ( x − x ′ ) y ′ ∈ b x y ≡ x ′ y ′ ( m o d b ) xy \equiv x'y' \pmod{b} x y ≡ x ′ y ′ ( mod b ) E / b E/b E / b ( x , y ) ↦ x y (x, y) \mapsto xy ( x , y ) ↦ x y x ≡ x ′ ( m o d b ) x \equiv x' \pmod{b} x ≡ x ′ ( mod b ) ( E / b ) × ( E / b ) (E/b) \times (E/b) ( E / b ) × ( E / b ) E / b E/b E / b E / b E/b E / b E / b E/b E / b E / b E/b E / b b b b p : E → E / b p : E \to E/b p : E → E / b 令E，E ′ E' E ′ u : E → E ′ u : E \to E' u : E → E ′ u ( E ) u(E) u ( E ) E ′ E' E ′ b = u − 1 ( 0 ) b = u^{-1}(0) b = u − 1 ( 0 ) u u u
E → p E / b → v u ( E ) → j E ′
E \xrightarrow{p} E/b \xrightarrow{v} u(E) \xrightarrow{j} E'
E p E / b v u ( E ) j E ′ v v v 代数同构 。更一般地，当字“环”替换为“代数”时，章I, § 8, no. 9的所有结果仍然有效（以及它们的证明）。
设 A 为交换环，E A-代数。在集合E ~ = A × E \tilde{E} = A \times E E ~ = A × E
( λ , x ) + ( μ , y ) = ( λ + μ , x + y ) ( λ , x ) ( μ , y ) = ( λ μ , x y + μ x + λ y ) λ ( μ , x ) = ( λ μ , λ x ) .
\begin{align*}
(\lambda, x) + (\mu, y) &= (\lambda + \mu, x + y) \\
(\lambda, x)(\mu, y) &= (\lambda \mu, xy + \mu x + \lambda y) \\
\lambda(\mu, x) &= (\lambda \mu, \lambda x).
\end{align*}
( λ , x ) + ( μ , y ) ( λ , x ) ( μ , y ) λ ( μ , x ) = ( λ + μ , x + y ) = ( λ μ , x y + μx + λ y ) = ( λ μ , λ x ) . 立即验证E ~ \tilde{E} E ~ A A A ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) { 0 } × E \{0\} \times E { 0 } × E E ~ \tilde{E} E ~ x ↦ ( 0 , x ) x \mapsto (0,x) x ↦ ( 0 , x ) E E E { 0 } × E \{0\} \times E { 0 } × E E E E { 0 } × E \{0\} \times E { 0 } × E E ~ \tilde{E} E ~ E E E E E E
3. 图表表达结合性和交换律
令A A A E E E A A A E × E E \times E E × E E E E A A A
m : E ⊗ A E → E
m : E \otimes_A E \to E
m : E ⊗ A E → E （II, § 3, no. 5）。因此，E E E A A A E E E A A A E ⊗ A E E \otimes_A E E ⊗ A E E E E A A A
令E ′ E' E ′ A A A m ′ : E ′ ⊗ A E ′ → E ′ m' : E' \otimes_A E' \to E' m ′ : E ′ ⊗ A E ′ → E ′ A A A E ′ E' E ′ f : E → E ′ f : E \to E' f : E → E ′ A A A f f f
E ⊗ A E → f ⊗ f E ′ ⊗ A E ′ ↓ m ↓ m ′ E → f E ′
\begin{array}{ccc}
E \otimes_A E & \xrightarrow{f \otimes f} & E' \otimes_A E' \\
\downarrow m & & \downarrow m' \\
E & \xrightarrow{f} & E'
\end{array}
E ⊗ A E ↓ m E f ⊗ f f E ′ ⊗ A E ′ ↓ m ′ E ′ 对于 A A A E E E A A A
E ⊗ A E ⊗ A E → m ⊗ 1 E E ⊗ A E ↓ 1 E ⊗ m ↓ m E ⊗ A E → m E
\begin{array}{ccc}
E \otimes_A E \otimes_A E & \xrightarrow{m \otimes 1_E} & E \otimes_A E \\
\downarrow 1_E \otimes m & & \downarrow m \\
E \otimes_A E & \xrightarrow{m} & E
\end{array}
E ⊗ A E ⊗ A E ↓ 1 E ⊗ m E ⊗ A E m ⊗ 1 E m E ⊗ A E ↓ m E 是可交换的。类似地，对于A A A E E E A A A
E ⊗ A E → σ E ⊗ A E ↓ m ↓ m E E
\begin{array}{ccc}
E \otimes_A E & \xrightarrow{\sigma} & E \otimes_A E \\
\downarrow m & & \downarrow m \\
E & & E
\end{array}
E ⊗ A E ↓ m E σ E ⊗ A E ↓ m E 是可交换的，其中σ \sigma σ σ ( x ⊗ y ) = y ⊗ x \sigma(x \otimes y) = y \otimes x σ ( x ⊗ y ) = y ⊗ x x ∈ E , y ∈ E x \in E, y \in E x ∈ E , y ∈ E A A A
对于所有c ∈ E c \in E c ∈ E η c \eta_c η c η c ( 1 ) = c \eta_c(1) = c η c ( 1 ) = c c c c
A ⊗ A E → η c ⊗ 1 E E ⊗ A E ↓ i ↓ m E E ↑ E ⊗ A A → 1 E ⊗ η c E ⊗ A E ↓ i ′ ↓ m E E
\begin{array}{ccc}
A \otimes_A E & \xrightarrow{\eta_c \otimes 1_E} & E \otimes_A E \\
\downarrow i & & \downarrow m \\
E & & E \\
& \uparrow & \\
E \otimes_A A & \xrightarrow{1_E \otimes \eta_c} & E \otimes_A E \\
& \downarrow i' & \downarrow m \\
E & & E
\end{array}
A ⊗ A E ↓ i E E ⊗ A A E η c ⊗ 1 E ↑ 1 E ⊗ η c ↓ i ′ E ⊗ A E ↓ m E E ⊗ A E ↓ m E 可交换（i i i i ′ i' i ′
设 E 为 A-代数，其中单位元 e，并设 η = η e \eta = \eta_e η = η e η E \eta_E η E η ( α β ) = η ( α ) η ( β ) = α η ( β ) \eta(\alpha \beta) = \eta(\alpha) \eta(\beta) = \alpha \eta(\beta) η ( α β ) = η ( α ) η ( β ) = α η ( β )
( α e ) ( β e ) = ( α β ) e = α ( β e ) ; (\alpha e)(\beta e) = (\alpha \beta)e = \alpha(\beta e); ( α e ) ( β e ) = ( α β ) e = α ( β e ) ; 因此η \eta η η \eta η
α x = η ( α ) ⋅ x for α ∈ A , x ∈ E \alpha x = \eta(\alpha) \cdot x \quad \text{for } \alpha \in A, x \in E α x = η ( α ) ⋅ x for α ∈ A , x ∈ E （其中，在右侧，乘法在 E 中）。 同态 η \eta η η \eta η
当代数 E 为酉结合律时，η \eta η ρ : A → B \rho : A \to B ρ : A → B ρ ( A ) \rho(A) ρ ( A )
λ x = ρ ( λ ) ⋅ x for λ ∈ A , x ∈ E . \lambda x = \rho(\lambda) \cdot x \quad \text{for } \lambda \in A, x \in E. λ x = ρ ( λ ) ⋅ x for λ ∈ A , x ∈ E . 4. 乘积代数
设( E i ) i ∈ I (E_i)_{i \in I} ( E i ) i ∈ I E = ∏ i ∈ I E i E = \prod_{i \in I} E_i E = ∏ i ∈ I E i
( ( x i ) , ( y i ) ) ↦ ( x i y i ) ((x_i), (y_i)) \mapsto (x_i y_i) (( x i ) , ( y i )) ↦ ( x i y i ) 定义A-代数结构；有了这个结构，集合E就被称为代数( E i ) i ∈ I (E_i)_{i \in I} ( E i ) i ∈ I
当所有代数 E i E_i E i
5. 标量的限制和扩张
令A 0 A_0 A 0 ρ : A 0 → A \rho : A_0 \to A ρ : A 0 → A ρ ∗ ( E ) \rho_* (E) ρ ∗ ( E ) A 0 A_0 A 0
λ . x = ρ ( λ ) x for all λ ∈ A 0 and all x ∈ E .
\lambda . x = \rho(\lambda)x \quad \text{for all } \lambda \in A_0 \text{ and all } x \in E.
λ . x = ρ ( λ ) x for all λ ∈ A 0 and all x ∈ E . E 中的乘法以及ρ ∗ ( E ) \rho_* (E) ρ ∗ ( E ) A 0 A_0 A 0 ρ ∗ ( E ) \rho_* (E) ρ ∗ ( E ) A 0 A_0 A 0 A 0 A_0 A 0 ρ \rho ρ ρ ∗ ( E ) \rho_* (E) ρ ∗ ( E ) A 0 A_0 A 0 ρ \rho ρ
令 F 为 A 0 A_0 A 0 A 0 A_0 A 0 F → ρ ∗ ( E ) F \to \rho_* (E) F → ρ ∗ ( E ) ρ \rho ρ ρ \rho ρ A 0 A_0 A 0 E ′ E' E ′ E → E ′ E \to E' E → E ′ A 0 A_0 A 0 ρ ∗ ( E ) → ρ ∗ ( E ′ ) \rho_* (E) \to \rho_* (E') ρ ∗ ( E ) → ρ ∗ ( E ′ )
现在考虑两个交换环 A 和 B 以及环同态 ρ : A → B \rho : A \to B ρ : A → B ρ ∗ ( E ) = E ⊗ A B \rho^*(E) = E \otimes_A B ρ ∗ ( E ) = E ⊗ A B ρ ∗ ( E ) \rho^*(E) ρ ∗ ( E ) ( E ⊗ A B ) ⊗ B ( E ⊗ A B ) (E \otimes_A B) \otimes_B (E \otimes_A B) ( E ⊗ A B ) ⊗ B ( E ⊗ A B ) ( E ⊗ A E ) ⊗ A B (E \otimes_A E) \otimes_A B ( E ⊗ A E ) ⊗ A B m : E ⊗ A E → E m : E \otimes_A E \to E m : E ⊗ A E → E m ⊗ 1 B : ( E ⊗ A E ) ⊗ A B → E ⊗ A B m \otimes 1_B : (E \otimes_A E) \otimes_A B \to E \otimes_A B m ⊗ 1 B : ( E ⊗ A E ) ⊗ A B → E ⊗ A B
m ′ : ρ ∗ ( E ) ⊗ B ρ ∗ ( E ) → ρ ∗ ( E )
m' : \rho^*(E) \otimes_B \rho^*(E) \to \rho^*(E)
m ′ : ρ ∗ ( E ) ⊗ B ρ ∗ ( E ) → ρ ∗ ( E ) 其中定义是 ρ ∗ ( E ) \rho^*(E) ρ ∗ ( E )
(5)
( x ⊗ β ) ( x ′ ⊗ β ′ ) = ( x x ′ ) ⊗ ( β β ′ )
(x \otimes \beta)(x' \otimes \beta') = (xx') \otimes (\beta \beta')
( x ⊗ β ) ( x ′ ⊗ β ′ ) = ( x x ′ ) ⊗ ( β β ′ ) 对于E中的x , x ′ x, x' x , x ′ β \beta β β ′ \beta' β ′ ρ ∗ ( E ) \rho^*(E) ρ ∗ ( E ) ρ \rho ρ E ( B ) E_{(B)} E ( B ) E ⊗ A B E \otimes_A B E ⊗ A B ρ ∗ ( E ) \rho^*(E) ρ ∗ ( E )
对于每个 A-代数 E，E 的典范映射 ϕ E : x ↦ x ⊗ 1 \phi_E : x \mapsto x \otimes 1 ϕ E : x ↦ x ⊗ 1 E ( B ) E_{(B)} E ( B ) A A A f : E → F f : E \to F f : E → F B B B f ˉ : E ( B ) → F \bar{f} : E_{(B)} \to F f ˉ : E ( B ) → F x ∈ E x \in E x ∈ E f ˉ ( x ⊗ 1 ) = f ( x ) \bar{f}(x \otimes 1) = f(x) f ˉ ( x ⊗ 1 ) = f ( x )
引用了 2 · 被以下引用 1 引用了 命题 1, II § 5 , E IV § 3. 普遍映射
被以下引用 § 1. 。 代数
第一个断言紧随E ( B ) E_{(B)} E ( B ) x ∈ E x \in E x ∈ E x ′ ∈ E x' \in E x ′ ∈ E ( x ⊗ 1 ) ( x ′ ⊗ 1 ) = ( x x ′ ) ⊗ 1 (x \otimes 1)(x' \otimes 1) = (xx') \otimes 1 ( x ⊗ 1 ) ( x ′ ⊗ 1 ) = ( x x ′ ) ⊗ 1 x ∈ E x \in E x ∈ E E ( B ) E_{(B)} E ( B ) F F F f ˉ ( x ⊗ 1 ) = f ( x ) \bar{f}(x \otimes 1) = f(x) f ˉ ( x ⊗ 1 ) = f ( x ) B B B f ˉ \bar{f} f ˉ y y y f ˉ ( y y ′ ) = f ˉ ( y ) f ˉ ( y ′ ) \bar{f}(yy') = \bar{f}(y)\bar{f}(y') f ˉ ( y y ′ ) = f ˉ ( y ) f ˉ ( y ′ ) E ( B ) E_{(B)} E ( B ) y ′ y' y ′ x ⊗ 1 x \otimes 1 x ⊗ 1 x ∈ E x \in E x ∈ E B B B E ( B ) E_{(B)} E ( B ) y = x ⊗ 1 , y ′ = x ′ ⊗ 1 y = x \otimes 1, y' = x' \otimes 1 y = x ⊗ 1 , y ′ = x ′ ⊗ 1 x ∈ E , x ′ ∈ E x \in E, x' \in E x ∈ E , x ′ ∈ E y y ′ = ( x x ′ ) ⊗ 1 yy' = (xx') \otimes 1 y y ′ = ( x x ′ ) ⊗ 1 f ˉ ( y y ′ ) = f ˉ ( y ) f ˉ ( y ′ ) \bar{f}(yy') = \bar{f}(y)\bar{f}(y') f ˉ ( y y ′ ) = f ˉ ( y ) f ˉ ( y ′ ) f ( x x ′ ) = f ( x ) f ( x ′ ) f(xx') = f(x)f(x') f ( x x ′ ) = f ( x ) f ( x ′ )
也可以说f ↦ f ˉ f \mapsto \bar{f} f ↦ f ˉ
Hom A -alg. ( E , ρ ∗ ( F ) ) → Hom B -alg. ( ρ ∗ ( E ) , F ) .
\text{Hom}_{A\text{-alg.}}(E, \rho_*(F)) \to \text{Hom}_{B\text{-alg.}}(\rho^*(E), F).
Hom A -alg. ( E , ρ ∗ ( F )) → Hom B -alg. ( ρ ∗ ( E ) , F ) . 因此，E ( B ) E_{(B)} E ( B ) ϕ E \phi_E ϕ E Σ \Sigma Σ B B B α \alpha α A A A E E E B B B
令E , E ′ E, E' E , E ′ A A A u : E → E ′ , u ⊗ 1 B u : E \to E', u \otimes 1_B u : E → E ′ , u ⊗ 1 B A A A v : E ⊗ A B → E ′ ⊗ A B v : E \otimes_A B \to E' \otimes_A B v : E ⊗ A B → E ′ ⊗ A B B B B
引用了 1 引用了 命题 2, II § 5
E → ϕ E E ⊗ A B u ↓ ↓ v E ′ → ϕ E ′ E ′ ⊗ A B
\begin{array}{ccc}
E & \xrightarrow{\phi_E} & E \otimes_A B \\
u \downarrow & & \downarrow v \\
E' & \xrightarrow{\phi_{E'}} & E' \otimes_A B
\end{array}
E u ↓ E ′ ϕ E ϕ E ′ E ⊗ A B ↓ v E ′ ⊗ A B 令C C C σ : B → C \sigma : B \to C σ : B → C C C C
σ ∗ ( ρ ∗ ( E ) ) → ( σ ∘ ρ ) ∗ ( E )
\sigma^*(\rho^*(E)) \to (\sigma \circ \rho)^*(E)
σ ∗ ( ρ ∗ ( E )) → ( σ ∘ ρ ) ∗ ( E ) 对于所有 x ∈ E x \in E x ∈ E ( x ⊗ 1 ) ⊗ 1 (x \otimes 1) \otimes 1 ( x ⊗ 1 ) ⊗ 1 x ⊗ 1 x \otimes 1 x ⊗ 1
6. 代数的倒数与直极限
令I I I ( A i , ϕ i j ) (A_i, \phi_{ij}) ( A i , ϕ ij ) I I I ( E i , f i j ) (E_i, f_{ij}) ( E i , f ij ) A i A_i A i I I I E i E_i E i A i A_i A i i ≤ j i \leq j i ≤ j f i j f_{ij} f ij A j A_j A j ϕ i j \phi_{ij} ϕ ij A = lim ← A i A = \lim \leftarrow A_i A = lim ← A i E = lim ← E i E = \lim \leftarrow E_i E = lim ← E i A A A A i A_i A i E i E_i E i E E E E i E_i E i E E E A A A E E E A A A ( E i , f i j ) (E_i, f_{ij}) ( E i , f ij ) A i A_i A i 逆系 ，A A A E E E 逆极限 。如果f i : E → E i f_i : E \to E_i f i : E → E i ϕ i : A → A i \phi_i : A \to A_i ϕ i : A → A i f i f_i f i A A A ϕ i \phi_i ϕ i E i E_i E i E E E E i E_i E i i ≤ j i \leq j i ≤ j e i e_i e i f i j ( e j ) = e i f_{ij}(e_j) = e_i f ij ( e j ) = e i e = ( e i ) e = (e_i) e = ( e i ) E E E
令( E i ′ , f i j ′ ) (E'_i, f'_{ij}) ( E i ′ , f ij ′ ) A i A_i A i i i i u i : E i → E i ′ u_i : E_i \to E'_i u i : E i → E i ′ A i A_i A i u = lim u i u = \lim u_i u = lim u i A A A
现在假设所有A i A_i A i A A A ϕ i j \phi_{ij} ϕ ij I d A \mathrm{Id}_A Id A E = lim ← E i E = \lim \leftarrow E_i E = lim ← E i A A A F F F A A A i ∈ I i \in I i ∈ I u i : F → E i u_i : F \to E_i u i : F → E i A A A ( u i ) (u_i) ( u i ) u = lim ← u i u = \lim \leftarrow u_i u = lim ← u i F F F E E E 相反 ，对于每个A A A v : F → E v : F \to E v : F → E v i = f i ∘ v v_i = f_i \circ v v i = f i ∘ v A A A v = lim ← v i v = \lim \leftarrow v_i v = lim ← v i f ˉ i j = H o m ( 1 F , f i j ) \bar{f}_{ij} = \mathrm{Hom}(1_F, f_{ij}) f ˉ ij = Hom ( 1 F , f ij ) ( H o m A -alg. ( F , E i ) , f ˉ i j ) (\mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F, E_i), \bar{f}_{ij}) ( Hom A -alg. ( F , E i ) , f ˉ ij ) v ↦ ( f i ∘ v ) v \mapsto (f_i \circ v) v ↦ ( f i ∘ v )
l F : H o m A -alg. ( F , lim ← E i ) → lim ← H o m A -alg. ( F , E i ) .
l_F : \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F, \lim \leftarrow E_i) \to \lim \leftarrow \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F, E_i).
l F : Hom A -alg. ( F , lim ← E i ) → lim ← Hom A -alg. ( F , E i ) . 此外，对于每个 A A A w : F → F ′ w : F \to F' w : F → F ′
w ˉ i = H o m ( w , 1 E i ) : H o m A -alg. ( F ′ , E i ) → H o m A -alg. ( F , E i )
\bar{w}_i = \mathrm{Hom}(w, 1_{E_i}) : \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F', E_i) \to \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F, E_i)
w ˉ i = Hom ( w , 1 E i ) : Hom A -alg. ( F ′ , E i ) → Hom A -alg. ( F , E i ) 形式逆系 / 映射和图表
H o m A -alg. ( F ′ , lim ← E i ) → l F ′ lim ← H o m A -alg. ( F ′ , E i ) ↓ H o m ( w , 1 E ) ↓ lim w ˉ i H o m A -alg. ( F , lim ← E i ) → l F lim ← H o m A -alg. ( F , E i )
\begin{array}{ccc}
\mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F', \lim \leftarrow E_i) & \xrightarrow{l_{F'}} & \lim \leftarrow \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F', E_i) \\
\downarrow \mathrm{Hom}(w, 1_E) & & \downarrow \lim \bar{w}_i \\
\mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F, \lim \leftarrow E_i) & \xrightarrow{l_F} & \lim \leftarrow \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(F, E_i)
\end{array}
Hom A -alg. ( F ′ , lim ← E i ) ↓ Hom ( w , 1 E ) Hom A -alg. ( F , lim ← E i ) l F ′ l F lim ← Hom A -alg. ( F ′ , E i ) ↓ lim w ˉ i lim ← Hom A -alg. ( F , E i ) 是可交换的。
现在假设I I I ( A i , ϕ j i ) (A_i, \phi_{ji}) ( A i , ϕ j i ) A i A_i A i ( E i , f j i ) (E_i, f_{ji}) ( E i , f j i ) I I I E i E_i E i A i A_i A i i ≤ j i \leq j i ≤ j f j i f_{ji} f j i A i A_i A i ϕ j i \phi_{ji} ϕ j i A = lim → A i A = \lim \to A_i A = lim → A i E = lim → E i E = \lim \to E_i E = lim → E i E E E A A A A i A_i A i E i E_i E i
设 (E'_i, f'_{ji}) 为 A_i 代数的另一个直接系统，对于所有 i 令 u_i : E_i \to E'_i 为 A_i 代数同态，这些映射形成直接系统；那么 u = \lim \to u_i 是 A-代数同态。
现在假设所有环 A_i 都等于相同的环 A 以及 Id_A 的 \phi_{ji}，因此 E = \lim \to E_i 为 A-代数。设 F 为 A-代数，对于所有 i 令 u_i : E_i \to F A-代数同态，使得 (u_i) 为映射的直接系统；那么 u = \lim \to u_i 是代数 E 到代数 F 的同态。相反，对于每个 A-代数同态 v : E \to F， v_i = v \circ f_i 族是 A-代数的直接系统同态使得 v = \lim \to v_i。而且，写成 \vec{f}_{ij} = \mathrm{Hom}(f_{ij}, 1_F), (\mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(E_i, F), \vec{f}_{ij}) 显然是集合的逆系，可见上面的注也可以用说表示典范映射 v \mapsto (v \circ f_i) 是双射
d F : H o m A -alg. ( lim → E i , F ) → lim ← H o m A -alg. ( E i , F ) .
d_F : \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(\lim \to E_i, F) \to \lim \leftarrow \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(E_i, F).
d F : Hom A -alg. ( lim → E i , F ) → lim ← Hom A -alg. ( E i , F ) . 此外，对于每个 A-代数同态 w : F \to F'，
w ˉ i = H o m ( 1 E i , w ) : H o m A -alg. ( E i , F ) → H o m A -alg. ( E i , F ′ )
\bar{w}_i = \mathrm{Hom}(1_{E_i}, w) : \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(E_i, F) \to \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(E_i, F')
w ˉ i = Hom ( 1 E i , w ) : Hom A -alg. ( E i , F ) → Hom A -alg. ( E i , F ′ ) 映射和图表中的形式逆系
H o m A -alg. ( lim → E i , F ) → d F lim H o m A -alg. ( E i , F ) ↓ H o m ( 1 E , w ) ↓ lim w ˉ i H o m A -alg. ( lim → E i , F ′ ) → d F ′ lim H o m A -alg. ( E i , F ′ )
\begin{array}{ccc}
\mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(\lim \to E_i, F) & \xrightarrow{d_F} & \lim \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(E_i, F) \\
\downarrow \mathrm{Hom}(1_E, w) & & \downarrow \lim \bar{w}_i \\
\mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(\lim \to E_i, F') & \xrightarrow{d_{F'}} & \lim \mathrm{Hom}_{A\text{-alg.}}(E_i, F')
\end{array}
Hom A -alg. ( lim → E i , F ) ↓ Hom ( 1 E , w ) Hom A -alg. ( lim → E i , F ′ ) d F d F ′ lim Hom A -alg. ( E i , F ) ↓ lim w ˉ i lim Hom A -alg. ( E i , F ′ ) 是可交换的。
7. 基的代数。 乘法表
通过定义，A-代数 E 的基等于 E 的 A-模结构的基。令 (a_i)_{i \in I} 为 E 的基；存在环 A 的元素的唯一族 (\gamma^k_{ij})_{(i, j, k) \in I \times I \times I}，使得对于每个有序对 (i, j) \in I \times k \in I 的 I, 集合使得 \gamma^j_{ij} \neq 0 是有限的并且
a i a j = ∑ k ∈ I γ i j k a k .
a_i a_j = \sum_{k \in I} \gamma^k_{ij} a_k.
a i a j = k ∈ I ∑ γ ij k a k . γ i j k \gamma_{ij}^k γ ij k ( a i ) (a_i) ( a i ) 乘法表 （相对于基( a i ) (a_i) ( a i )
关系 (7) 可以想象为在平方表的这些关系的右侧写下设定
⋯ a j ⋯ ⋮ a i ∑ k γ i j k a k ⋮
\begin{array}{c|ccc}
& \cdots & a_j & \cdots \\
\hline
& & & \\
\vdots & & & \\
\hline
a_i & & \sum_k \gamma_{ij}^k a_k & \\
\vdots & & &
\end{array}
⋮ a i ⋮ ⋯ a j ∑ k γ ij k a k ⋯ 可以理解，出现在指标j j j i i i a i a j a_i a_j a i a j
相反，给定 E 的 A-模 E、基 ( a i ) i ∈ I (a_i)_{i \in I} ( a i ) i ∈ I ( γ i j k ) (\gamma_{ij}^k) ( γ ij k ) k ∈ I k \in I k ∈ I ( i , j ) ∈ I × I (i, j) \in I \times I ( i , j ) ∈ I × I γ i j k ≠ 0 \gamma_{ij}^k \neq 0 γ ij k = 0 E ⊗ A E E \otimes_A E E ⊗ A E ( a i ⊗ a j ) ( i , j ) ∈ I × I (a_i \otimes a_j)_{(i, j) \in I \times I} ( a i ⊗ a j ) ( i , j ) ∈ I × I
令 E 为 A-模 E 的 A-代数和 ( a i ) i ∈ I (a_i)_{i \in I} ( a i ) i ∈ I a i a_i a i 结合性关系 是必要且充分的
( a i a j ) a k = a i ( a j a k ) for all i , j , k (a_i a_j) a_k = a_i (a_j a_k) \quad \text{for all } i, j, k ( a i a j ) a k = a i ( a j a k ) for all i , j , k 映射 ( x , y , z ) ↦ ( x y ) z − x ( y z ) (x, y, z) \mapsto (xy)z - x(yz) ( x , y , z ) ↦ ( x y ) z − x ( y z )
E × E × E → E
E \times E \times E \to E
E × E × E → E E ⊗ A E ⊗ A E → E E \otimes_A E \otimes_A E \to E E ⊗ A E ⊗ A E → E a i ⊗ a j ⊗ a k a_i \otimes a_j \otimes a_k a i ⊗ a j ⊗ a k E ⊗ A E ⊗ A E E \otimes_A E \otimes_A E E ⊗ A E ⊗ A E 类似地，对于 E 是*可交换的*，a i a_i a i 交换律关系 是必要且充分的
a i a j = a j a i for all i , j . a_i a_j = a_j a_i \quad \text{for all } i, j. a i a j = a j a i for all i , j . 证明类似，这次考虑 A 双线性映射 ( x , y ) ↦ x y − y x (x, y) \mapsto xy - yx ( x , y ) ↦ x y − y x e ∈ E e \in E e ∈ E a i a_i a i
a i = e a i = a i e for all i , a_i = e a_i = a_i e \quad \text{for all } i, a i = e a i = a i e for all i , 这次通过考虑 A-线性映射 x ↦ x − x e x \mapsto x - xe x ↦ x − x e x ↦ x − e x x \mapsto x - ex x ↦ x − e x
当( a i ) i ∈ I (a_i)_{i \in I} ( a i ) i ∈ I ( γ i j k ) (\gamma_{ij}^k) ( γ ij k )
∑ r γ i j r γ r k s = ∑ r γ i r s γ j k r
\sum_r \gamma_{ij}^r \gamma_{rk}^s = \sum_r \gamma_{ir}^s \gamma_{jk}^r
r ∑ γ ij r γ r k s = r ∑ γ i r s γ j k r 对于所有i , j , k , s i, j, k, s i , j , k , s i , j , k i, j, k i , j , k γ i j k = γ j i k \gamma_{ij}^k = \gamma_{ji}^k γ ij k = γ j i k
设( a i ) i ∈ I (a_i)_{i \in I} ( a i ) i ∈ I ρ : A → B \rho : A \to B ρ : A → B ( a i ⊗ 1 ) (a_i \otimes 1) ( a i ⊗ 1 ) ρ ∗ ( E ) = E ⊗ A B \rho^*(E) = E \otimes_A B ρ ∗ ( E ) = E ⊗ A B ( γ i j k ) (\gamma_{ij}^k) ( γ ij k ) ( a i ) (a_i) ( a i ) ( ρ ( γ i j k ) ) (\rho(\gamma_{ij}^k)) ( ρ ( γ ij k )) ρ ∗ ( E ) \rho^*(E) ρ ∗ ( E ) ( a i ⊗ 1 ) (a_i \otimes 1) ( a i ⊗ 1 )
习题
参见习题为 § 1 。