Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

章 III

张量代数，外部代数，对称代数

回想一下在章I中引入的指数记号，我们将经常使用它（I, § 7, no. 8）：

设(xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L}是环AA的成对可置换族元素；对于有限支撑的每一个映射α:L→N\alpha : L \to N我们应该写

xα=∏λ∈Lxλα(λ). x^\alpha = \prod_{\lambda \in L} x_\lambda^{\alpha(\lambda)}.

如果β\beta是LL的另一个映射转化为有限支撑的NN，则α+β\alpha + \beta表示映射

λ↦α(λ)+β(λ) \lambda \mapsto \alpha(\lambda) + \beta(\lambda)

of LL into NN; with this law of composition the set N(L)N^{(L)} of mappings of LL into NN of finite support is the free commutative monoid derived from LL and

xαxβ=xα+β. x^\alpha x^\beta = x^{\alpha + \beta}.

对于所有α∈N(L)\alpha \in N^{(L)}，我们写为∣α∣=∑λ∈Lα(λ)∈N|\alpha| = \sum_{\lambda \in L} \alpha(\lambda) \in N；然后∣α+β∣=∣α∣+∣β∣|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|； ∣α∣|\alpha| 称为“多重索引”α\alpha 的阶。对于所有λ∈L\lambda \in L，令δλ\delta_\lambda表示N(L)N^{(L)}的元素，使得δλ(λ)=1\delta_\lambda(\lambda) = 1、δλ(μ)=0\delta_\lambda(\mu) = 0代表μ≠λ\mu \neq \lambda（克罗内克指标）； λ∈L\lambda \in L 的 δλ\delta_\lambda 是阶 1 中 N(L)N^{(L)} 的唯一元素。 N(L)N^{(L)} 给出由乘积对 NLN^L 排序引起的排序，因此关系 α≤β\alpha \leq \beta 等价于“α(λ)≤β(λ)\alpha(\lambda) \leq \beta(\lambda)对于所有λ∈L\lambda \in L”；那么多重索引λ↦β(λ)−α(λ)\lambda \mapsto \beta(\lambda) - \alpha(\lambda)用β−α\beta - \alpha表示，因此它是满足α+(β−α)=β\alpha + (\beta - \alpha) = \beta的唯一多重索引。对于所有α∈N(L)\alpha \in N^{(L)}，只有有限的数个多重索引β≤α\beta \leq \alpha； δλ\delta_\lambda是集合N(L)−{0}N^{(L)} - \{0\}的最小值元素； 关系 α≤β\alpha \leq \beta 意味着∣α∣≤∣β∣|\alpha| \leq |\beta|，如果α≤β\alpha \leq \beta 和∣α∣=∣β∣|\alpha| = |\beta| 都存在，则α=β\alpha = \beta。

最后，我们写α!=∏λ∈L(α(λ))!\alpha! = \prod_{\lambda \in L} (\alpha(\lambda))!，从0!=10! = 1开始就有意义。

从§ 4到§ 8（含），AA表示交换环，并且，除非另有说明，代数被假定为结合且单位，代数同态被假定为单位。

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