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附录

伪模

1. 单位元的伴随到伪环

设 A 为伪环 (I, § 8, no. 1)。在集合$A' = \mathbf{Z} \times A$我们定义以下律或合成：

立即验证$A'$与合成的这两个律是环，其中元素$(1, 0)$是单位元。 集合$\{0\} \times A$是$A'$的双面理想，$i : x \mapsto (0, x)$是伪环A到子伪环$\{0\} \times A$的同构，通过它识别A和$\{0\} \times A$。 $A'$ 称为环，由伪环 A 与单位元相邻而派生。

如果 A 已经有单位元素 $\varepsilon$，则 $A'$ 的元素 $e = (0, \varepsilon)$ 是 $A'$ 的幂等属于到中心，这样

那么$(eA', (1 - e)A')$是$A'$的直接分解（I, § 8, no. 11），并且环$(1 - e)A'$同构于$\mathbf{Z}$。

2. Pseudomodules

给定一个带有或不带有单位元的伪环 A，A 上的左拟模是一个可交换的群 E（加法书写），承认 A 作为运算符的集合以及 § 1, no. 1、定义 1 的满足公理 $(\mathrm{M}_I), (\mathrm{M}_{II})$ 和 $(\mathrm{M}_{III})$。 对A 上的伪模的定义类似。

令$A'$为通过将单位元与A邻接而获得的环。如果E在A上为左拟模，则对于所有$x \in E$和每个元素$(n, a) \in A'$，E上的左$A'$模块结构通过写入与它相关联，

§ 1, no. 1、定义 1 的公理$(\mathrm{M}_I)$到$(\mathrm{M}_{IV})$立即得到验证；

此外，通过将这个模结构的运算符集合限制为$\{0\} \times A$（用$A$标识），我们得到最初给出的$E$伪模结构。

对于$E$的子集$M$为子群，运算符为伪模$E$（在这种情况下，诱导的结构显然也是$A$上的左拟模结构），有必要且充分$M$是关联的$A'$模块$E$的子模，并且该子$A'$模块与伪模$M$相关联。此外，商$A'$-模$E/M$然后通过运算符$E/M$与商群相关联，这显然是伪模超过$A$。

如果$E, F$是$A$上的两个伪模，则群的同态$E \to F$（带有运算符）与分别与伪模$E$相关联的$A'$模块的$A'$线性映射$E \to F$相同$F$。如果$(E_i)_{i \in I}$是$A$上的伪模族，则带有运算符$\prod_{i \in I} E_i$和$\bigoplus_{i \in I} E_i$的群是$A$上的伪模，并且关联的$A'$模块分别是乘积和关联的$A'$模块$E_i$的直和。 伪模的逆和直极限也有类似的结果。因此，伪模超过$A$的理论可以完全简化为$A'$模的理论。

习题

参见习题附录 0。