(1) 如果 u:E → F 和 v:F → E 是两个线性映射，使得 v ∘ u 是 E 上的恒等映射，u ∘ v 是 F 上的恒等映射，u 是 E 到 F 上的同构，v 是逆同构。

(2) 每个双射线性映射 u:E → F 都是 E 到 F 上的同构。

这些命题紧随定义 4 之后。

命题 1 和 2 表明，线性映射可以看作A-模结构的类的*态射*（*集合理论*，IV, § 2, no. 1）；从此以后，我们将始终假设态射中的选择已经完成。

给定两个左（右）A-模 E 和 F，令 Hom(E, F) 或 Hom_A(E, F) 表示 E 的线性映射到 F 的集合。

集合 Hom(E, F) 是乘积的 交换环、子群可交换群 F^E，将 E 的所有映射转换为 F (I, § 4, no. 8)；回想一下，对于 F^E 的两个元素 u, v 以及所有 x ∈ E，

从而紧接着，如果 u 和 v 是线性的，那么 u + v 和 −u 也是线性的。如果 G 是 Hom(E, F) 的左第三个（右）A-模, f, f_1, f_2 元素和 Hom(F, G) 的 g, g_1, g_2 元素，则立即验证以下关系：

(6)

特别是，Hom(E, E) 定义上的合成 (f, g) ↦ f ∘ g 的律以及 Hom(E, E) 上的上述加法群结构 a 环 结构，其中单位元，用 1_E 表示或Id_E，在E上是恒等映射； E 的线性映射自身也称为 A-模 E 的 自同态，环 Hom(E, E) 也表示为 End(E) 或 End_A(E)。 A-模 E 的 自同构 只是 End(E) (命题 2) 的*可逆* 元素；它们形式乘法*群*，用Aut(E)或GL(E)表示，也称为相对于E的*线性群*。

从 (6) 和 (7) 可以得出，对于两个 A-模 E, F, Hom(E, F)，在环 Hom(F, F) 上具有 左模 的规范结构，在 Hom(E, E) 上有 右模 的规范结构。

令 E、F、E'、F' 为四（左）A-模，u:E' → E 和 v:F → F' A-线性映射。如果每个元素 f ∈ Hom(E, F) 都与元素 v ∘ f ∘ u ∈ Hom(E', F') 关联，则映射

定义为$\mathbf{Z}$-线性，用$\mathrm{Hom}(u, v)$或$\mathrm{Hom}_A(u, v)$表示。如果$u, u_1, u_2$属于到$\mathrm{Hom}(E', E)$且$v, v_1, v_2$到$\mathrm{Hom}(F, F')$，则

令$E'', F''$为两个$A$模块，$u': E'' \to E'$和$v': F' \to F''$线性映射。然后

如果$u$是$E'$的同构到$E$，并且$F$的$v$同构到$F'$，则$\mathrm{Hom}(u, v)$是$\mathrm{Hom}(E, F)$的同构到$\mathrm{Hom}(E', F')$，其逆同构通过 (10) 等于 $\mathrm{Hom}(u^{-1}, v^{-1})$。

如果$h$（或$k$）是$E$（或$F$）的自同态，则$\mathrm{Hom}(h, 1_F)$（或$\mathrm{Hom}(1_E, k)$）只是位似，其比率为$h$（或$k$）。左）模结构位于上面定义的环 $\mathrm{End}(E)$（或$\mathrm{End}(F)$）上。

(b) 对于

(c) 对于

(d) 如果 F * 是 * E * 的子模且* $i : F \to E$ * 是典范嵌入，* $p : E \to E/F$ 典范同态，图表 (14)

(e) 如果$f : E \to F$是同态，图表

（其中$i$是典范嵌入，$p$典范满射）是正合序列。

命题紧接在no. 2的定义和命题2之后。

这直接来自定义。

模的乘积是“结合的”：如果 $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ 是 I 的划分，则典范映射

(ii) 令 $(G_i)_{i \in I}$ 成为A-模的第三个族，其中 I 作为索引集合，并且对于所有 $i \in I,$，令$g_i : F_i \to G_i$为线性映射；让$g = \prod_i g_i$。准确地说，对于序列 $E_i \xrightarrow{f_i} F_i \xrightarrow{g_i} G_i$ 中的每一个，序列是充分必要的

准确地说。

断言 (i) 紧接着定义。另一方面，说$y = (y_i)$属于到$\operatorname{Ker}(g)$意味着$g_i(y_i) = 0$对于所有$i \in I$，因此$y_i \in \operatorname{Ker}(g_i)$对于所有$i \in I$；类似地，说$y$属于到$\operatorname{Im}(f)$意味着存在$x = (x_i) \in \prod_i E_i$使得$y = f(x)$，这相当于说对于所有$i \in I$来说$y_i = f_i(x_i)$或者对于所有$i \in I$来说也相当于$y_i \in \operatorname{Im}(f_i)$； 从而（二）。

还有典范同构

通过分别与$\prod_i E_i$、模$\operatorname{Ker}(f)$的元素$x = (x_i)$的类（分别与$\prod_i F_i$、模$\operatorname{Im}(f)$的元素$y = (y_i)$的类）相关联而获得$x_i$ 模组的类。 $\operatorname{Ker}(f_i)$（分别是$y_i$ mod. $\operatorname{Im}(f)$ 的类系列）。

特别是，对于 $f$ 是单射的（分别是满射、双射的、零），对于所有 $i \in I$、$f_i$ 是单射（分别是满射、双射的、零）是必要和充分的。

如果，对于所有$i \in I$，我们认为$E_i$的子模$F_i$，模$\prod_{i \in I} F_i$是$\prod_{i \in I} E_i$的子模，并且根据命题5的推论，有典范同构

模的乘积的一个重要的例是，所有因子模都等于相同的模$F$；那么他们的乘积$F^I$只是$I$的映射到$F$的集合。 $I$ 上等于 $x$ 的常数函数的对角线映射 $F \to F^I$ 映射 $x \in F$ 是线性的。如果 $(E_i)_{i \in I}$ 是一系列 $A$ 模块，并且对于所有 $i \in I$，$f_i : F \to E_i$ 是线性映射，则 $F$ 的线性映射 $x \mapsto (f_i(x))$ 到 $\prod_{i \in I} E_i$ 的合成将$F^I$的映射$(x_i) \mapsto (f_i(x_i))$分解为$\prod_{i \in I} E_i$和对角线映射$F \to F^I$。

(21)

根据 (20)，如果 $g$ 存在，那么必然对于所有 $x \in \bigoplus_{i \in I} E_i$，

从而唯一性共$g$。相反，对于所有$x \in \bigoplus_{i \in I} E_i$，设定$g(x) = \sum_i f_i(\mathrm{pr}_i(x))$，立即验证线性映射已经定义为叙述的满足条件。

当不会引起混淆时，我们写$g = \sum_{i \in I} f_i$（这与I, § 2, no. 1的约定相反，当$(f_i)$家族不属于有限支撑时）。

特别是，如果 J 是 I 中的任意子集，则$i \in J$ 定义的典范嵌入 $j_i$ 是一个规范的线性映射 $j_J : \bigoplus_{i \in J} E_i \to \bigoplus_{i \in I} E_i$，它与每个 $(x_i)_{i \in I}$ 元素 $(x'_i)_{i \in I}$ 关联，使得$x'_i = x_i$对应$i \in J$，$x'_i = 0$对应$i \notin J$；这个映射显然是内射的。此外，如果$(J_\lambda)_{\lambda \in L}$是I的划分，则映射$i : \bigoplus_{\lambda \in L} \left( \bigoplus_{i \in J_\lambda} E_i \right) \to \bigoplus_{i \in I} E_i$相应的到$(j_{J_\lambda})$到命题6的家庭是一个称为规范的*同构的*（“结合性” 直和）。

这是从命题 6 和 no. 5、命题 4 得出的。

因此$g(f(x)) = \sum_i j_i(g_i(f(x))) = \sum_i j_i(\mathrm{pr}_i(x)) = x$，证明了推论。

(ii) 让$(G_i)_{i \in I}$*成为*$A$*模块的第三个系列，其中*$I$*作为索引集合，并且对于所有*$i \in I$，*让*$g_i : F_i \to G_i$*为线性映射；我们写* $g = \bigoplus_i g_i$。 对于序列 $E_i \xrightarrow{f_i} F_i \xrightarrow{g_i} G_i$ 准确地说，序列 是充分必要的

显然，对于所有$(x_i) \in \bigoplus_i E_i$，$(f_i(x_i))$族有有限支撑、从而(i)。另一方面，说$\bigoplus_i F_i$属于到$\mathrm{Ker}(g)$的元素$y = (y_i)$意味着$y_i \in \mathrm{Ker}(g_i)$对于所有$i \in I$（no. 5，命题5）；类似地，如果$y_i \in \mathrm{Im}(f_i)$对于所有$i \in I$，则每个$i \in I$都存在$x_i \in E_i$，使得$y_i = f_i(x_i)$，并且当$y_i = 0$时，可以假设$x_i = 0$；因此$y \in \mathrm{Im}(f)$和逆命题是明显的。