例 067J

(1) 典范同构 $A \to A \otimes_A A$ (II, § 3, no. 5) 定义 A 上的 A 代数结构。

(2) 令E为余代数，$c$其余积和$\sigma$A-模$E \otimes_A E$的规范自同构，使得$\sigma(x \otimes y) = y \otimes x$对应于$x \in E, y \in E$； A-线性映射 $\sigma \circ c$ 定义 E 上的新余代数结构。这样结构 E 就被称为给定余代数 E 的*相反* 余代数。

(3) 令 B 为 A-*代数*，并令 $m : B \otimes_A B \to B$ 为 A-线性映射，在 B (§ 1, no. 3) 上定义乘法。 转置$^t m$则为A-模B的对偶$B^*$的A-线性映射转化为A-模$B \otimes_A B$的对偶$(B \otimes_A B)^*$。如果 B 也是*有限生成射影* A-模，则典范映射 $\mu : B^* \otimes_A B^* \to (B \otimes_A B)^*$ 是 A-模同构 (II, § 4, no. 4)； 映射$c = \mu^{-1} \circ ^t m$则余积在A-模的*对偶*$B^*$上定义*余代数*结构B。

(4) 设X为集合，X的元素的形式线性组合的$A^{(X)}$A-模，其系数为A(II, § 1, no. 11)和$(e_x)_{x \in X}$典范基 $A^{(X)}$。 A-线性映射$c : A^{(X)} \to A^{(X)} \otimes_A A^{(X)}$由条件$c(e_x) = e_x \otimes e_x$定义，因此在$A^{(X)}$上获得规范的余代数结构。

(5) 令M为M(§ 5, no. 1)的A-模和$T(M)$张量代数；到 II, § 3, no. 9 时，A-模 $T(M)$ 中存在且仅有一个 A-线性映射 $c$ 进入 A-模 $T(M) \otimes_A T(M)$，使得对于所有 $n \geq 0$，

对于所有$x_i \in M$（$x_1 x_2 \ldots x_n$表示代数$T(M)$中的乘积）。因此 $T(M)$ 被赋予 余代数 结构。

(6) 令M为A-模且$S(M)$是M的对称代数(§ 6, no. 1)； M 到 $M \times M$ 的对角线映射 $\Delta : x \mapsto (x, x)$ 是 A-线性映射，因此对应同态 $S(\Delta)$ 到 A-代数 $S(M)$ 到 A-代数 $S(M \times M)$ （§ 6, no. 2，命题3）。另一方面，在§ 6, no. 6中，我们定义了规范分级代数同构$h : S(M \times M) \to S(M) \otimes_A S(M)$；因此，通过合成，我们得到 A-代数 同态

因此在 $S(M)$ 上定义一个 余代数 结构。对于所有$x \in M$，通过§ 6, no. 6中给出的$h$的定义、$S(\Delta)(x) = (x, x)$和定义表明：

由此可见 $c$ 是唯一代数同态，因此，对于所有 $x \in M$，

(4)

由于$c$是代数同态，因此，对于$n$元素或$M$的每个序列$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$，

(5)

(5) 右侧的总和覆盖严格递增的序列的所有有序对（在某些情况下为空）

$\{1, n\}$的元素，其元素的集合互补。 元素 $c(x_1 x_2 \ldots x_n)$ 是 $S(M) \otimes_A S(M)$ 中 总计次数 $n$ 的元素，其二度 $(p, n-p)$ 的分量为

(6)

其中对所有置换 $\sigma \in S_n$ 进行求和，即每个间隔 $\{1, p\}$ 和 $\{p+1, n\}$ 中的 递增。

(7) 令$M$为$A$模，并继续处理外部代数$\Lambda(M)$，如*例* 6中的$S(M)$一样；这次将 $A$-代数 $\Lambda(M)$ 的对角线映射 $\Delta : M \to M \times M$ 定义同态 $\Lambda(\Delta)$ 引入$A$-代数 $\Lambda(M \times M)$ (§ 7, no. 2, 命题 2)；另一方面，有一个规范的分级代数同构

(§ 7, no. 7, 命题 10), 从而到合成有一个 代数 同态 $c = h \circ \Lambda(\Delta) : \Lambda(M) \to \Lambda(M)^g \otimes_A \Lambda(M)$，它可以被视为$A$-模块同态 $\Lambda(M) \to \Lambda(M) \otimes_A \Lambda(M)$，因此定义位于$\Lambda(M)$一个*余代数*结构。可以如*例* 6 中那样证明$c$ 是唯一代数同态，这样，对于所有$x \in M$，

(7)

从而，对于$M$的元素的每个序列$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$，

其中右侧的乘积取自代数 对于计算这个乘积，考虑，对于严格递增的序列$i_1 < i_2 < \cdots < i_p,\ j_1 < j_2 < \cdots < j_{n-p}$、$[1, n]$的元素的每个有序对，其元素的集合互补，乘积 $y_1 y_2 \ldots y_n$，其中$y_{i_h} = x_{i_h} \otimes 1$ ($1 \leq h \leq p$) 和$y_{j_k} = 1 \otimes x_{j_k}$ ($1 \leq k \leq n - p$) 以及和取代了所有这些乘积。由于分级代数$\bigwedge(M)^{\mathfrak{g}} \otimes_A \bigwedge(M)$是反交换的，元素$x_i \otimes 1$和$1 \otimes x_i$总共次数1，由§ 4, no. 6，引理3和引理1组成， $v$是有序对$(h, k)$的数，使得$j_k < i_h$并且求和与(5)中相同的集合相同。 元素 $c(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n)$ 是 $\bigwedge(M)^{\mathfrak{g}} \otimes_A \bigwedge(M)$ 中*总计次数* $n$，其二度 $(p, n - p)$ 的齐次分量等于 对置换 $\sigma \in S_n$ 进行求和，每个区间*递增*$[1, p]$ 和 $[p + 1, n]$。

当将来我们将$A^{(x)}, T(M), S(M)$或$\bigwedge(M)$称为*余代数*时，我们的意思是，另外提到的除非，而余代数结构分别定义在*例* 4、5、6和7中。

(8) 设$E, F$为两个$A$代数，$c, c'$分别为余积。让$\tau : (E \otimes_A E) \otimes_A (F \otimes_A F) \to (E \otimes_A F) \otimes_A (E \otimes_A F)$表示结合性同构，使得$\tau((x \otimes x') \otimes (y \otimes y')) = (x \otimes y) \otimes (x' \otimes y')$代表$E$中的$x, x'$，以及$F$中的$y, y'$。然后复合线性映射

$A$模块$E \otimes_A F$上的定义余代数结构，称为余代数$E$和$F$的*张量积*。

令 $E$ 为余代数且 $\Delta$ 为可交换幺半群。如果 $c$ 是分级的次数 $O$ 的分级同态，则 $A$ 模块 $E$ 上的分级 $(E_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ 据说与余积* $c$ $E$ 相容的$A$-模块$E$进入分级$A$-模块（型$\Delta$）$E \otimes_A E$，在其他字（II, § 11, no. 5）如果

在下文中，我们最常关注极限与余积兼容的型$\mathbf{N}$的毕业；具有此类分级的 cogebrà 也称为*分级 cogebrà*。如果 F 是另一个分级余数，则 分级余数态射 $\phi : E \to F$ 由定义得到一个余数态射 (定义 2)，它也是次数* 0 的分级余数同态* 0 A-模。

引用了 13 · 被以下引用 1

引用了 II § 3. 。 张量积, II § 4. 。 关系张量积和同态模之间, III § 1. 。 代数, II § 1. 。 模, III § 5. 。 张量代数、张量, III § 6. 。对称代数, 命题 3, III § 6, 命题 2, III § 7, 命题 10, III § 7, 引理 1, III § 4, 引理 3, III § 4, II § 11. 。分级为模和环, 定义 2

被以下引用 例

例 067K

(9) 上述定义的余代数、$T(M)$、$S(M)$、$\Lambda(M)$分级为余代数，为直接的。

被以下引用 1

被以下引用 命题 2

例 067L

(1) 取E为分级余数$T(M)$(no. 1)，并假设N、$N'$、$N''$具有平凡的分级。将次数的同态、$T(M)$的$-p$分级为N（分别为$N'$、$N''$），然后将对应分级为$M^p$的多线性映射为N（分别为$N'$、 $N''$）。给定一个多线性映射 $u : M^p \to N$ 和一个多线性映射 $v : M^q \to N'$，上面的方法允许我们推导出一个多线性映射 $m(u, v) : M^{p+q} \to N''$，称为 乘积 （相对于 $m$） $u$ 和 $v$。 公式 (3) (no. 1) 和 (11) 表明，对于 M 中的 $x_1, \ldots, x_{p+q}$，

(2) 取E为分级代数$S(M)$(no. 1)，对N、$N'$、$N''$保持相同的假设。将次数的同态、$S(M)$的$-p$分级为N，然后将对应分级为$M^p$的*对称多线性映射*到N（§ 6, no. 3）。然后，我们从对称多线性映射 $u : M^p \to N$ 和对称多线性映射 $v : M^q \to N'$ 导出对称多线性映射 $m(u, v) : M^{p+q} \to N''$，也用 $u._m v$ （甚至$u.v$）表示（以避免混淆），并称为 对称$u$和$v$的乘积（相对于$m$）。 公式 (6) (no. 1) 和 (11) 表明，对于 M 中的 $x_1, \ldots, x_{p+q}$，

对置换 $\sigma \in \mathfrak{S}_{p+q}$ 进行求和，在$[1, p]$ 和 $[p+1, p+q]$ 的每个区间上为递增。

(3) 取E为分级余代数$\bigwedge(M)$(no. 1)。然后我们从交错的多重线性映射 $u : M^p \to N$ 和交错的多重线性映射 $v : M^q \to N'$ 交错的多重线性映射 $m(u, v) : M^{p+q} \to N''$ 类似地推导，也表示为 $u \wedge_m v$ 或$u \wedge v$并称为$u$和$v$的*交错的乘积*（相对于$m$）。 公式 (9) (no. 1) 和 (11) 在这种情况下表明，对于 $M$ 中的 $x_1, \ldots, x_{p+q}$，

再次对置换$\sigma \in \mathfrak{S}_{p+q}$求和，在$[1, p]$和$[p+1, p+q]$的每个区间上，递增。

我们回到E是任意分级的余代数（型N）的情况，并假设三个模N，N'，N''都等于型$\mathbf{Z}$，映射的*分级A-代数*B的基础A-模 $m$在B中为乘法，因此$\tilde{m} : B \otimes_A B \to B$是次数0的分级A-线性映射。因此，在分级A-模$\mathrm{Homgr}_A(E, B) = C$上获得*分级A-代数*结构。

特别是，假设$B = A$（具有简单的分级），因此$\mathrm{Homgr}_A(E, A)$是*分级对偶*$E^{*gr}$，因此具有分级A-代数结构。

令 F 为另一个，分级为余代数 $c'$，其余积和 $\phi : E \to F$ 分级为余代数态射 (no. 1)；那么规范分级态射

是*分级代数同态*。对于$\mathrm{Homgr}_A(F, B)$和$x \in E$中的$u, v$，

但到假设$c'(\phi(x)) = (\phi \otimes \phi)(c(x))$，因此

因此$\tilde{\phi}(uv) = \tilde{\phi}(u)\tilde{\phi}(v)$，这证明了我们的断言。

特别地，分级转置$^t\phi : F^{*gr} \to E^{*gr}$是分级代数同态。

引用了 1

引用了 III § 6. 。对称代数

例 067O

(4)立即验证余代数$A$(no. 1,例(1))余代数$A^{(X)}$(no. 1,例4)和余代数$\mathscr{T}(M)$(no. 1, 例 5) 是共联想的。如果 $B$ 是结合性 $A$-代数，它是有限生成的射影 $A$-模，则余代数 $B^*$ (no. 1, 例 3) 是共结合的：对于交换律 of 图表 (12) 则如下通过从图表转置，表达$B$（§ 1, no. 3）的结合性。相反，相同的论证以及 A-模 B 与其双元（II, § 2, no. 7，推论 4 到命题 13）的规范标识表明，如果余代数 B* 是共结合的，则代数 B 是结合的。最后，余代数 S(M) 和 $\Lambda(M)$ (no. 1、例 6 和 7) 是共结合的；这是从交换律到图表得出的

S(M) (§ 6, no. 2) 和 $\Lambda(M)$ (§ 7, no. 2) 的函子性质，给出相应的可交换图表

以及典范同构对于直和（§ 6, no. 6和§ 7, no. 7）的对称和外部代数的存在性和函子性。

引用了 7 · 被以下引用 1

引用了 推论 4, II § 2, III § 1. 。 代数, 例, 例, 命题 13, III § 6. 。对称代数, III § 7. 。外观代数

被以下引用 例

例 067Q

(5) It is immediate that the cogebra A (no. 1, Example 1) and the cogebra $A^{(X)}$ (II, § 11, no. 1, Example 4) are cocommutative. 由no. 1的公式(5)可知余代数$S(M)$是互交换的。 最后，对于 A-代数 B 使得 A-模 B 是射影的，且有限生成有性质，且余代数 $B^*$ (no. 1, 例 3) 是可交换的，则 B 是可交换的充分必要；对于（使用 A-模 B 及其双数 (II, § 2, no. 7) 的规范标识），这是因为图表 (14) 的交换律通过转置等价于表示 B (§ 1, no. 3) 的交换律的图表。

引用了 3 · 被以下引用 5

引用了 II § 2. 。 模线性映射。二元性, III § 1. 。 代数, 例

被以下引用 § 11. 。 余代数、乘积多重线性形式、内部乘积和对偶, 习题 1, § 11, 例, 例, LIE IX § 6. 。集成紧李群

例 067S

(6) 恒等映射是余代数A中的余单位；在余代数 A$^{(X)}$ (no. 1, 例 4) 线性形式 $\gamma$，使得所有$x \in X$的$\gamma(e_x) = 1$为余单位。在余代数 T(M)（分别为 S(M)、$\Lambda(M)$）线性形式 $\gamma$，使得 $\gamma(1) = 1$ 和 $\gamma(z) = 0$ 对于 $z$ 在 $T^n(M)$（分别为 $S^n(M)$、$\Lambda^n(M)$） $n \geq 1$ 是余单位。最后，令 B 为 A-代数，它是有限生成的射影 A-模，并且有单位元 $e$；那么余代数 B* (no. 1, 例 3) 线性形式 $\gamma: x^* \mapsto \langle e, x^* \rangle$ 是余单位，因为这个形式只是 A 的 A-线性映射 $\eta_e: \xi \mapsto \xi e$ 的转置到 B 并通过转置图表 (16) 的交换律源自图表，它表达（使用$\eta_e$）$e$是B (§ 1, no. 3)的单位元；同样的论点还表明，相反，如果余代数 B* 承认 B 的余单位 $\gamma$、$\gamma$ 定义单位元 $e = t_\gamma(1)$ 的转置。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了 III § 1. 。 代数, 例

被以下引用 习题 23, § 11, 例, 例