在其他字中，$(T(M), \phi)$是普遍映射问题的解（集合理论，IV, § 3, no. 1），其中$\Sigma$是$A$-代数结构的类， $\alpha$-映射是从模$M$到$A$-代数的$A$-线性映射。请注意，这里不存在 $T(M)$ 毕业的问题。

For every finite family $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ of $n$ elements of $M$, by definition of the product in $T(M)$, $x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n = \phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\phi(x_n)$; then necessarily $g(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n) = f(x_1)f(x_2)\ldots f(x_n)$ for $n \geq 1$ and $g(\alpha) = \alpha e$ (if $e$ is the unit element of $E$) for $\alpha \in A$, which proves the uniqueness of $g$. Conversely, note that, for all $n > 0$, the mapping

of $M^n$ into $E$ is $A$-multilinear; hence there corresponds to it an $A$-linear mapping $g_n : T^n(M) \to E$ such that Also we define the mapping $g_0 : T^0(M) \to E$ as equal to $\eta_E$ ($§ 1$, no. 3), in other words $g_0(\alpha) = \alpha e$ for $\alpha \in A$. 令$g$为$T(M)$到$E$的唯一$A$线性映射，其限制到$T^n(M)$为$g_n$（$n \geq 0$）； $g \circ \phi = g_1 = f$就是直接的，还有待验证$g$是$A$代数同态。 通过构造 $g(1) = e$ 并且通过线性足以表明 $g(uv) = g(u)g(v)$ 对于 $u \in T^p(M)$ 和 $v \in T^q(M)$ ($p > 0, q > 0$)；现在从公式 (1) 和 (2) 可以得出，当 $u = x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p$ 和 $v \in x_{p+1} \otimes \cdots \otimes x_{p+q}$（其中 $x_i$ 属于到 $E$）时，关系为真。 因此，对于 $u \in T^p(M)$ 和 $v \in T^q(M)$ 来说，线性关系成立。

A-线性映射。存在且仅有一个 A-代数同态

这样图表

是可交换的。此外，$u'$是分级的代数同态。

$u'$的存在性和唯一性从no. 1、命题1出发，应用于代数$\mathbf{T}(N)$和线性映射$\phi_N \circ u : M \to \mathbf{T}(N)$；作为

事实上，$u'$ 是分级的代数同态，是从 no. 1 的注得出的。

命题 2 中的同态 $u'$ 今后将用$\mathbf{T}(u)$ 表示。如果 P 为 A-模且 $v : N \to P$ A-线性映射，则

对于 $\mathbf{T}(v) \circ \mathbf{T}(u)$ 是代数同态渲染可交换图表

$\mathbf{T}(u)$ 是有时，称为 $u$ 到 $\mathbf{T}(M)$ 的规范扩张（其中包含 $M = \mathbf{T}^1(M)$）。 注限制 $\mathbf{T}^n(u) : \mathbf{T}^n(M) \to \mathbf{T}^n(N)$ 只是线性映射 $u^{\otimes n} = u \otimes u \otimes \cdots \otimes u$（n 次），对于

因为$\mathbf{T}(u)$是代数同态和$\mathbf{T}^1(u) = u$； 限制$\mathbf{T}^0(u)$到A是恒等映射。 $\mathbf{T}^n(u)$称为$u$的第$n$第张量幂。

$\mathbf{T}^0(u) : \mathbf{T}^0(M) \to \mathbf{T}^0(N)$ 是双射且对于每个整数 $n > 0$，

是满射的，如归纳在 $n$ 上使用 II, § 3, no. 6、命题 6 所见；后者命题还通过$n$上的归纳表明，$T^n(u)$的核$\mathfrak{I}_n$是乘积生成的$T^n(M)$的子模

其中 $x_i$ 属于至 $P$ 中至少之一。由此可见，$T(u)$的核$\mathfrak{I} = \bigoplus_{n \geq 1} \mathfrak{I}_n$是$P$在$T(M)$生成的双边理想。

如果 $u : M \to N$ 是*单射* 线性映射，则 $T(u)$ 并不总是真单射映射 (习题 1)。然而，当$u$是单射使得$u(M)$是$N$的*直因子*时，这是正确的，因为那么存在线性映射$v : N \to M$使得$v \circ u$是$M$上的恒等映射，因此

是$T(M)$上的恒等映射，因此$T(u)$是单射的，其像（与$T(M)$同构的）是$T(N)$的*直因子*（II, § 1, no. 9，命题15）。更准确地说：

到假设，存在子模$N' \subset N$和$P' \subset P$使得$N = N' \oplus (N \cap P)$，$P = P' \oplus (N \cap P)$；然后

并且存在 $M$ 的假设子模 $M'$ 使得

特别是，$N + P$、$N$、$P$和$N \cap P$是$M$中的直因子，这意味着，正如上面所见，典范同态

是单射的。因此，三个代数、$T(N)$、$T(P)$和$T(N \cap P)$被识别为子代数或$T(N + P)$，而后者则被识别为子代数或$T(M)$；

写成$Q = N \cap P$，还需要证明，如果$T(Q)$、$T(N' \oplus Q)$、$T(P' \oplus Q)$与$T(N' \oplus P' \oplus Q)$的子代数一致，则

现在，考虑交换律图表

其中水平箭头是典范嵌入，垂直箭头是规范的投影。我们推导出可交换的图表

其中$r$和$s$是满同态（命题3）和$u$和$v$单同态。因此，要证明(6)，注右手边显然包含在左手边；因此只需验证如果

然后$x \in T(Q)$。现在同态$s$的定义显示其限制到$T(P' \oplus Q)$（用$T(N' \oplus P' \oplus Q)$的子代数识别）为恒等映射；因此，$x$上的假设意味着$s(u(x)) = x$。但还有$v(r(x)) = x$，其他字，$x$，属于到像，$T(Q)$在$T(P' \oplus Q)$，这有待证明。

在这个叙述中可以理解，对于$M$的每个向量子空间$P$，$T(P)$被规范地标识为$T(M)$的子代数。让$z \in T(M)$； $z$可以表示为线性组合 of 元素，其中每一个都是$M = T^1(M)$的元素的有限乘积； $M$ 中的所有元素出现在有限秩和 $z \in T(Q)$ 中的乘积生成向量子空间 $Q$。

令 $\mathscr{F}$ 为向量子空间 $P$ 有限秩的（非空）集合，使得 $z \in T(P)$。 $\mathscr{F}$ 的元素中的每个递减序列都是静止的，因为它们是有限秩中的向量空间。因此 $\mathscr{F}$ 具有最小元素 $N$（集合理论，III, § 6, no. 5）。还需要验证每个 $P \in \mathscr{F}$ 包含于 $N$；现在，$z \in T(P) \cap T(N) = T(P \cap N)$（命题4）；鉴于$N$的定义，这意味着$N \cap P = N$，即$P \supset N$。

$M$ 的子空间 $N$ 据说与 $z$ *相关联。

B-线性映射 $l_B \otimes \phi_M : B \otimes_A M \to B \otimes_A T_A(M)$ 是分级 B 代数的同构。

考虑两个 $A$ 代数同态：典范嵌入 $j : B = T^0(B \otimes_A M) \to T(B \otimes_A M)$ 和同态

从规范 $A$ 线性映射导出 (cf. 公式 (8))

由于$T^0(B \otimes_A M)$包含在$T(B \otimes_A M)$中的中心中，因此可以应用§ 4, no. 2中的5个命题，并且A-代数同态

得到这样的结果，对于$\beta \in B, x_i \in M$对于$1 \leq i \leq n$，

这立即表明 $\psi'$ 也是 B 代数同态。只需证明$\psi \circ \psi'$和$\psi' \circ \psi$分别在$B \otimes_A T(M)$和$T(B \otimes_A M)$上是恒等映射即可。现在，这两个代数是由$B \otimes_A M$生成的，显然是$\psi \circ \psi'$和$\psi' \circ \psi$，重合和恒等映射对$B \otimes_A M$，从而的结论。

为了简化，我们写 $E = T_A(M)$ 和 $E' = \lim \rightarrow T_{A\alpha}(M_\alpha)$ 并让

是规范的 $A_\alpha$ 同态。显然，复合 $A_\alpha$-线性映射 $M_\alpha \xrightarrow{\phi_{M_\alpha}} T_{A\alpha}(M_\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} E'$ 形式直接系统，因此存在且仅有一个 $A$-线性映射 $u = \lim \rightarrow (g_\alpha \circ \phi_{M_\alpha}): M \to E'$ 使得

对于所有$\alpha$。这个映射本身将（no. 1，命题1）唯一分解为$M \xrightarrow{\phi_M} E \to E'$，其中$h$是$A$代数同态。只要证明$h \circ f' = 1_{E'}$和$f' \circ h = 1_E$就足够了。

为此注，对于每一个指标$\alpha$，(no. 3，公式 (8))

从而，由 no. 1、命题 1、唯一性断言、

对于所有$\alpha$；由此可见，$(h \circ f') \circ g_\alpha = g_\alpha$ 对于所有 $\alpha$，因此 $h \circ f' = 1_{E'}$ 乘以定义的直极限。

另一方面，凭借 no. 3，公式 (8)，

从而又$f' \circ u = \phi_M$由直极限的定义；我们将no. 1、命题 1 的$f' \circ h \circ \phi_M = \phi_M$和唯一性性质结论给出$f' \circ h = 1_E$。

命题 6 也可以由注意到证明，对于每个整数 $n \geq 1$，都有一个规范的 $A$ 模块同构 $\lim \rightarrow T^n_{A_\alpha}(M_\alpha) \to T^n_A(M)$，如下由 $n$ 上的归纳得出II, § 6, no. 3、命题 7、立即验证这些同构是$f'$中的限制。

这个基的元素显然是齐次的，乘法表由下式给出

其中$st$表示通过*并置*序列$s$和$t$（I, § 7, no. 2）获得$L$的元素的序列。

可以看出，$T(M)$的基$(e_s)$与律(10)的乘法同构于集合$L$(I, § 7, no. 2)的*自由幺半群*，同构由映射每个获得这个幺半群的字$s$到元素$e_s$。由此可知 (§ 2, no. 7) 自由模 $M$ 的 张量代数 $T(M)$，以及索引集合 $L$ 的基，规范地同构于 的自由结合律代数 $L$超过$A$。特别是（§ 2, no. 7，命题 7），对于从$L$到$A$-代数$E$的每个映射$f : L \to E$，存在且仅有一个$A$-代数同态$\bar{f} : T(M) \to E$，使得$\bar{f}(e_\lambda) = f(\lambda)$。

$M$ 是自由 $A$ 模块 $N$ (II, § 2, no. 2, 命题 4) 的直因子，因此 $T(M)$ 是 $T(N)$ (no. 2) 的直因子；由于 $T(N)$ 是自由的 (定理 1)，这表明 $T(M)$ 是射影 (II, § 2, no. 2)。

在本号的开头已经看到了。 $T(M)$ 是 $T^{\alpha, n}(M)$ 的直和，并且这是与代数结构兼容的毕业事实，紧随定义而来。如果$({T'}^{\alpha, n})$是型$\Delta \times \mathbf{N}$在$T(M)$上的另一个分级，与代数结构兼容，并且${T'}^{\alpha, 1}(M) = {T'}^{\alpha, 1}$适合$\alpha \in \Delta$，则立即从定义得出，对于所有$n \geq 1$ 以及所有 $\alpha \in \Delta$、$T^{\alpha, n}(M) \subset {T'}^{\alpha, n}$；但由于$T(M)$也是$T^{\alpha, n}(M)$的直和，这意味着${T'}^{\alpha, n} = T^{\alpha, n}(M)$（II, § 1, no. 8，*注*）。