对于所有$\alpha$都是准确的。 然后，写$u = \lim u_\alpha,\ v = \lim v_\alpha$，*序列*

准确。

由于 $u_\alpha^{-1}(0) = \{0\}$ 对于所有$\alpha$，它从集合理论、III, § 7, no. 2、命题 2 得出 $u^{-1}(0) = \{0\}$，*因此* $u$ 是单射的；进一步地，$E_\alpha$*的子集的*$u_\alpha(E'_\alpha)$*形式逆系以及因此*$u(\lim E'_\alpha) = \lim u_\alpha(E'_\alpha)$。 作为 $u_\alpha(E'_\alpha) = v_\alpha^{-1}(0)$ 通过假设， $v^{-1}(0) = \lim u_\alpha(E'_\alpha) = u(\lim E'_\alpha)$（*集合理论*，III, § 7, no. 2，命题 2），*完成证明*。

(2)

$\mathbf{Z}$的形式逆系-线性映射*和图表*

(3)

是可交换的。

对于所有$u \in \operatorname{Hom}(F', \lim_{\leftarrow} E_\alpha)$，$l_F(u \circ v) = (f_\alpha \circ u \circ v)$乘以定义和交换律，图表(3)紧随定义而来。

对所有人来说都是准确的$\alpha$。 然后，写$u = \lim \to u_\alpha, v = \lim \to v_\alpha$，*序列*

准确。

$u(\lim \to E'_\alpha) = \lim \to u_\alpha(E'_\alpha)$ 和 $v^{-1}(0) = \lim \to v_\alpha^{-1}(0)$ （集合理论，III, § 7, no. 6，命题 7 的推论）。

宽松地说，命题 3 也可以用说表示，*经过到直极限保持精确性*。

每个$x \in E$ 是形式 $f_\alpha(x_\alpha)$ 对于一些 $\alpha \in I$ 和一些 $x_\alpha \in E_\alpha$ 和假设 $x = \sum_i \lambda^{(i)}_\alpha y^{(i)}_\alpha$，*其中* $\lambda^{(i)}_\alpha \in A_\alpha$ 和 $y^{(i)}_\alpha \in S_\alpha$； 写$\lambda^{(i)} = \phi_\alpha(\lambda^{(i)}_\alpha)$，$y^{(i)} = f_\alpha(y^{(i)}_\alpha)$，*我们得到*$x = \sum_i \lambda^{(i)} y^{(i)}$。

从命题 4 可以得出，$E$ 是$M^\lambda$ 的和。 令$(y^\lambda)_{\lambda \in L}$ 成为一个家庭，使得 $y^\lambda \in M^\lambda$ 对于所有人 $\lambda \in L$ 且其支持是有限的，并假设 $\sum_\lambda y^\lambda = 0$。 根据集合理论，III, § 7, no. 5，引理1，存在$\alpha \in I$*和*$(x^\lambda_\alpha)_{\alpha \in L}$*的有限支撑由……组成*$E_\alpha$*的元素*使得*$x^\lambda_\alpha \in M^\lambda_\alpha$*和* $y^\lambda = f_\alpha(x^\lambda_\alpha)$ 对于所有人 $\lambda \in L$。 关系 $f_\alpha \left( \sum_{\lambda \in L} x^\lambda_\alpha \right) = 0$ 暗示存在a $\beta \geq \alpha$ 使得 $f_{\beta \alpha} \left( \sum_{\lambda \in L} x^\lambda_\alpha \right) = 0$ *(集合理论, III, § 7, no. 5, 引理 1)，可写为$\sum_{\lambda \in L} x_\beta^\lambda = 0$，其中$x_\beta^\lambda = f_{\beta \alpha}(x_\alpha^\lambda) \in M_\beta^\lambda$乘假设；因此$x_\beta^\lambda = 0$对于所有$\lambda \in L$，因此$y^\lambda = f_\beta(x_\beta^\lambda) = 0$对于所有$\lambda \in L$，这证明$M^\lambda$的和是直接的。

第二个断言紧随第一个命题4。因此，足以证明如果$P_\alpha$是免费的，则$P$的不同元素的每个子集$\{ y^{(i)} \}_{1 \leq i \leq n}$由……组成都是免费的。存在$\alpha \in I$和元素$x_\alpha^{(i)} \in P_\alpha$，使得$y^{(i)} = f_\alpha(x_\alpha^{(i)})$对应$1 \leq i \leq n$（*集合理论*，III, § 7, no. 5，引理1）；如果$\sum_i \lambda^{(i)} y^{(i)} = 0$，可以假设$\lambda^{(i)} = \phi_\alpha(\lambda_\alpha^{(i)})$对应$1 \leq i \leq n$，因此$f_\alpha \left( \sum_i \lambda_\beta^{(i)} x_\beta^{(i)} \right) = 0$；这意味着$\sum_i \lambda_\beta^{(i)} x_\beta^{(i)} = 0$对于某些$\beta \geq \alpha$来说，其中$\lambda_\beta^{(i)} = \phi_{\beta \alpha}(\lambda_\alpha^{(i)})$、$x_\beta^{(i)} = f_{\beta \alpha}(x_\alpha^{(i)})$和$x_\beta^{(i)}$、属于到$P_\beta$并且从$y^{(i)} = f_\beta(x_\beta^{(i)})$开始是不同的；然后$\lambda_\beta^{(i)} = 0$换$1 \leq i \leq n$，从而

$1 \leq i \leq n$。

现在假设所有环$A_\alpha$都等于*相同的环*$A$以及$\phi_{\beta \alpha}$到$1_A$；那么，对于 $A$ 模块中的每一个直接系统 $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$，$E = \lim \overrightarrow{E_\alpha}$ 都是一个 $A$ 模块。令$F$为$A$-模，对于所有$\alpha$，让$u_\alpha : E_\alpha \to F$为$A$-线性映射，使得$(u_\alpha)$为映射的直接系统；那么$u = \lim \overrightarrow{u_\alpha}$是$E$到$F$的$A$线性映射。 相反，对于每个$A$-线性映射$v : \lim \overrightarrow{E_\alpha} \to F$，$v_\alpha = v \circ f_\alpha$族是$A$-线性映射的直接系统，使得$v = \lim \overrightarrow{v_\alpha}$。另一方面，我们注 $\alpha \leq \beta$ 映射

是一个$\mathbf{Z}$-模块同态，使得$(\operatorname{Hom}_A(E_\alpha, F), \bar{f}_{\alpha \beta})$是*逆系*$\mathbf{Z}$*-模块*；为$\bar{f}_{\alpha \beta}(v_\beta) = v_\beta \circ f_{\beta \alpha}$，则上述注可表示为：

$\mathbf{Z}$线性映射的形式逆系和图表

是可交换的。

对于 $u \in \operatorname{Hom}(\lim E_\alpha, F)$、$d_{F'}(v \circ u) = (v \circ u \circ f_\alpha)$、定义和交换律的图表 (6)，则紧随定义。

我们集合$P = \lim (E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha)$，并且对于所有$\alpha \in I$，令$h_\alpha : E_\alpha \otimes_{A_\alpha} F_\alpha \to P$为典范映射。另一方面，对于所有 $\alpha \in I$，让

是规范的$\mathbf{Z}$-双线性映射；对于$\alpha \leq \beta$， 因此 $(t_\alpha)$ 是映射的直接系统。将$\lim (E_\alpha \times F_\alpha)$与$E \times F$（*集合理论*，III, § 7, no. 7，命题10）进行规范地识别，我们推导出映射$t = \lim t_\alpha : E \times F \to P$，使得 考虑*集合理论*、III, § 7, no. 5、引理1，立即看出$t$是$\mathbf{Z}$双线性；此外，对于$x \in E, y \in F, \lambda \in A$，存在$\alpha \in I$使得$x = f_\alpha(x_\alpha), y = g_\alpha(y_\alpha), \lambda = \rho_\alpha(\lambda_\alpha)$与$\lambda_\alpha \in A_\alpha, x_\alpha \in E_\alpha, y_\alpha \in F_\alpha$（*集合理论*，III, § 3, no. 7，引理1）； 从而 因此，存在且仅有一个$\mathbf{Z}$-线性映射$\pi' : E \otimes_A F \to P$，使得$\pi'(x \otimes y) = t(x, y)$ (§ 3, no. 1, 命题 1)。此外，通过定义 并且作为形式 $f_\alpha(x_\alpha) \otimes g_\alpha(y_\alpha)$（分别为 $h_\alpha(x_\alpha \otimes y_\alpha)$）生成的元素，$\mathbf{Z}$-模块 $E \otimes_A F$（分别为 $P$）、$\pi' \circ \pi$ 和 $\pi \circ \pi'$ 为恒等映射。

宽松地说，命题 7 可以用说来表示，*张量积与直极限*可交换，并且通常通过同构$\pi$来标识（7）的两侧。

$A_\alpha$-线性映射，使得$(u_\alpha)$（分别为$(v_\alpha)$）为直接系统。那么$(u_\alpha \oplus v_\alpha)$是$\mathbf{Z}$线性映射的直接系统和图表

是可交换的。

验证为直接的。

令$(A'_\alpha, \rho'_{\beta\alpha})$为环的另一个直接系统，并假设每个$E_\alpha$是$(A'_\alpha, A_\alpha)$双模，$f_{\beta\alpha}$对于$\alpha \leq \beta$是$(A'_\alpha, A_\alpha)$线性。那么，如果我们写 $A' = \lim A'_\alpha$，则根据推论 1，同构 (7) 相对于两侧左侧的 $A'$ 模块结构是*线性的。这可以立即推广到任意多模块。

特别是，如果$A_\alpha$是*可交换的*，则$A = \lim A_\alpha$是可交换的并且同构(7)是*A-模同构*。

它足以满足应用命题 7，其中$F_\alpha$环$A$通过$\rho_\alpha$被视为$(A_\alpha, A)$双模。

对于命题 7 中的所有$\alpha \in I$，取$A_\alpha = A$ 和$F_\alpha = F$ 就足够了。

特别是，如果 $\rho : A \to B$ 是环同态，则 $\lim \rho^*(E_\alpha)$ 和 $\rho^*(\lim E_\alpha)$ 是规范同构的。