是交换性群的正合序列。

这是代数、章 II, § 3, no. 6 命题 5 的推论。

由此可见，对于任意左A-模同态 $u : M \to N$，

规范地标识为 $\operatorname{Coker}(1_E \otimes u)$，如引理 1 应用于正合序列时所示

在引理 1 的记号中，我们知道（前述）如果 v 是*单射*，也就是说，如果序列 $0 \to M' \xrightarrow{v} M \xrightarrow{w} M'' \to 0$ 是精确的，则并不一定意味着 $1_E \otimes v$ 是单射的，因此 $E \otimes_A M'$ 不能通常可以用 a

(*) 我们通知已经熟悉同调代数的读者，他们会在§ 4中找到平模的其他刻画。

$E \otimes_A M$ 的子群。然而，回想一下（代数，章II, § 3, no. 7，推论5到命题7）以下结果：

（*j 为典范嵌入 $M' \to M$）*是单射*。

假设条件成立，并令$N$为$M$中的任意子模。假设元素的$E \otimes_A M$中有典范像

是零，令$M'$是它们生成的$N$的有限生成的子模；由于假设，复合映射$E \otimes_A M' \to E \otimes_A N \to E \otimes_A M$是单射的，和$z' = \sum x_i \otimes y_i$，被视为$E \otimes_A M'$的元素，是零。 由于$z$是$z'$的像，我们还有$z = 0$，从而引理。

$N$ 是子模的情况很简单，因为如果 $N'$ 是 $N$ 的子模，则复合同态

是单射的，因此 $E \otimes_A N' \to E \otimes_A N$ 也是。假设$N$是$M$的商模，即存在正合序列$0 \to R \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} N \to 0$。

设$N'$为$N$和$M' = \overline{p}(N')$的子模。令$i'$表示$R$至$M'$的映射，与$i$相同的图，$p'$表示满射$M \to N'$，与$p$至$M'$的限制相同的图， $\mathbf{R}$至$\mathbf{R}$、$m$典范嵌入$M' \to M$和$n$典范嵌入$N' \to N$的$r$恒等映射。 图表

是可交换的并且它的行是精确的。

为了简化书写，我们对每个左$A$-模块$Q$使用集合$T(Q) = E \otimes_A Q$，对每个左$A$-模块同态$v$使用$T(v) = 1_E \otimes v$。 图表

是可交换的，并且它的行精确到 no. 1 的引理 1。此外，由于 $E$ 是 $M$ 平坦的，因此同态 $T(m)$ 是单射的。由于$T(r)$和$T(p')$是满射，因此从推论2 § 1, no. 4到命题 2，$T(n)$是单射，从而证明了引理。

(a) 首先假设$I = \{1, 2\}$，并令$M'$为$M = M_1 \oplus M_2$、$M$和$M$中的子模，与$M$中的子模进行规范地识别。 用 $M'_1$ 交 $M' \cap M_1$ 表示，并在 $M_2$ 上$M$ 的规范投影 $p$ 下，用$M_2$ 中$M'$ 的$M'_2$ 像表示。 我们有图表

其中$v_1, v, v_2, i, i'$是典范嵌入，$p'$是映射，与$p$到$M'$的限制相同，这是满射的。立即验证了这个图表是可交换的并且它的行是精确的。 $T(Q)$和$T(v)$的使用与引理4的证明相同，我们有一个可交换的图表

通过引理 1 of no. 1，这个图表的两行是精确的；因为 E 对于 $M_1$ 和 $M_n$ 是平的，$T(v_1)$ 和 $T(v_2)$ 是单射的；此外，通过 no. 1 的引理 2，$T(i)$ 是单射的。 § 1, no. 4 的推论 2 到命题 2 则表明 $T(v)$ 是单射的，因而 E 是 M 平的。

(b) 如果 I 是一个有限集合，其中 n 元素，则使用 (a)，引理在 n 上跟随归纳。

(c) 在一般情况下，令$M'$为M的有限生成的子模。则存在索引集合I的有限子集J，使得$M'$包含在直和$M_J = \bigoplus_{i \in J} M_i$中。由 (b) E 对于 $M_J$ 是平坦的； 典范同态 $E \otimes_A M' \to E \otimes_A M$，因此是单射的。另一方面，由于$M_J$是M的直因子，典范同态$E \otimes_A M_J \to E \otimes_A M$是单射的（no. 1，引理2）。取合成，可得出$E \otimes_A M, \to E \otimes_A M$ 是单射且 E 对 M 平展引理 3。

(a) E 对于 A 是平坦的，（在其他字中，对于 A 的每个左理想 $a$，典范同态 $E \otimes_A a \to E \otimes_A A, = E$ 是单射的）。 (b) 对于每左A-模 M，E 是 M 降调。 (c) 对于左A-模和同态中的每正合序列

the sequence

是准确的。

(b) 蕴涵(a) 是直接的。相反，假设 (a) 成立；通过 no. 2 的引理 5，E 对于每个免费左A-模都是平的；由于每个左A-模都同构于自由模的商（代数、章 11、§ 1, no. 11、命题 20），因此从 no. 2 的引理 4 可以得出，E 对于 M 是平坦的。

我们证明（c）蕴涵（b）。如果$v : M' \to M$是单同态，则序列$0 \to M' \xrightarrow{v} M$是精确的；通过 (c) 序列

是准确的；这意味着$1 \otimes v$是单射的，在其他字中，E是M平的。

最后，蕴涵 (b) $\Rightarrow$ (c) 是以下更精确的引理的推论：

准确。

我们使用记号$T(Q)$和$T(v)$的意义与no. 2的引理4的证明相同。我们写出$M_1'' = w(M)$，并令$i : M_1'' \to M''$为M到$M_1''$的典范嵌入和$p$映射，与w具有相同的图。 序列 $M' \xrightarrow{v} M \xrightarrow{p} M_1'' \to 0$ 是精确的，并且从引理 1 of no. 1 得出序列

是准确的。此外，由于 E 是 $M''$-平，映射 $T(i) : T(M_1'') \to T(M'')$ 是单射，并且由于 $T(i) \circ T(p) = T(w)$，序列

准确。 (§ 1, no. 3.)

(ii) 令$I$为右$A$模块(代数、章II, § 6, no. 2)的有序集合和$(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$直接系统。如果每个$E_\alpha$都是平坦的，那么$E = \lim_{\longrightarrow} E_\alpha$也是平坦的。

设$M' \to M$为左单射$A$-模同态。

(i) 对于直和同态

准确地说，同态 $E_t \otimes_A M' \to E_t \otimes_A M$ 中的每一个都如此（代数，章 II, § 1, no. 6，命题 7 的推论 1）是充分必要的，这证明了 (i) 因为 $\bigoplus_{t \in I} (E_t \otimes_A M)$ 与 $E \otimes_A M$ (代数， 章II, § 3, no. 7、命题7)。

(ii) 假设各序列

是准确的；那么序列 因为采用直极限与张量积 (代数, 章 II, § 6, no. 3, 命题 7) 进行通勤并保持精确性 (同上, § 6, no. 2, 命题 3)。

(i) 假设 $E$ 是平坦的。对于每个元素$a \in A$（不是$0(*)$的右除子），关系$x \in E,\ xa = 0$意味着$x = 0$。

(*) 回想一下，环 $A$ 中 0 的右（或左）除子是元素 $b \in A$，使得映射 $x \mapsto xb$（或 $x \mapsto bx$）不是单射的。

(ii) 假设 $A$ 是整环，其中每个有限生成的理想都是主要的（对于例主理想整环 (代数, 章 VII, , no. 1)）。那么，要使 $E$ 平坦，$E$ 无扭转是必要且充分的

我们证明（i）。设$v : A, \to A$为左$A$-模同态$t \mapsto ta$； 假设意味着 $v$ 是单射的。由于 $E$ 是平的，同态 $1_E \otimes v : E \otimes_A A, \to E \otimes_A A$ 也是单射的。当 $E \otimes_A A$ 与 $E$ 进行规范标识时，$1, \otimes v$ 变为 $E$ 的自同态 $x \mapsto xa$。因此关系$xa = 0$意味着$x = 0$。

我们证明(ii)。根据 (i)，如果 $E$ 是平坦的，则 $E$ 是无扭转的。相反，令$E$为无扭$A$模；我们验证，对于$A$的每个有限生成的理想$a$，典范同态$E \otimes_A a \to E$是单射的（no. 3，注1）。如果$a = (0)$，这个断言是显而易见的；否则，对于某些$a \in A, a \neq 0$，通过假设$a = Aa$，$t \mapsto ta$则为$A$的同构$v$到$a$；使用 $i$ 表示典范嵌入 $a \to A$，$i \circ v$ 是位似，$a$ 与 $E$ 之比，并且是单射的，因为$E$ 被假定为无扭转。然后$1, \otimes (i \circ v) = (1, \otimes i) \circ (1_E \otimes v)$；由于 $1_E \otimes v$ 是同构，$1, \otimes i$ 是单射，它完成证明。

(a) $E$ 是平坦的。 (b) 对于右$A$的每个正合序列-形式的模块

(1)

剩下的每个$A$-模块$F$，序列

(2)

是准确的。

(c) 存在正合序列 (1)，其中 $H$ 是平坦的，使得序列 (2) 对于形式 $A_s/a$ 的每个左 $A$-模 $F$ 是精确的，其中 $a$ 是有限生成的左理想$A$。

我们首先证明（a）蕴涵（b）。左边的$A$模$F$同构于商自由模 (代数, 章 II, § 1, no. 11, 命题 20)；在其他字，我们有正合序列

其中 L 是免费的。考虑图表

(3)

紧接着，这个图表是可交换的，并且它的行和列精确到no. 1的引理1；此外，由于$l_G \otimes p$和$l_H \otimes p$是满射（no. 1，引理1），我们有$G \otimes F = \operatorname{Coker}(l_G \otimes i)$，

$w \otimes 1_1$ 是满射 (no. 1, 引理 1)；最后，由于 L 是自由的，因此是平坦的，$v \otimes 1_L$ 是单射的。因此蛇图表(§ 1, no. 4,命题2,(iii))可以用来证明正合序列的存在

(4)

既然如此，如果 E 是平的，$l_E \otimes i$ 是单射的，在其他字 $\operatorname{Ker}(l_E \otimes i) = 0$ 中，正合序列 (4) 表明 $v \otimes 1_F$ 是单射的，因此序列 (2) 是精确的（考虑到 no. 1 的引理 1）。

由于(b)显然蕴涵(c)，所以还需要证明(c)蕴涵(a)。 在$\mathbf{R} = \mathbf{a}, \mathbf{L} = \mathbf{A}_s, \mathbf{F} = \mathbf{A}_s/\mathbf{a}$情况下考虑图表(3)并应用正合序列(4)。 By hypothesis $v \otimes 1_F$ is injective, hence $\operatorname{Im}(d) = 0$; moreover, as H is flat, we have $\operatorname{Ker}(1, @i) = 0$; the exactness of the sequence (4) then implies $\operatorname{Ker}(l_E \otimes i) = 0$, in other words, $1, \otimes i$ is injective and this proves that E is flat (no. 3, Remark 1).

令 $u : F' \to F$ 为左侧 $\mathbf{A}$ 模块的单同态。考虑图表

它是可交换的，并且它的行是精确的 (no. 1, 引理 1)。由于 $E''$ 是平坦的，所以 l_{E''} \otime u 是单射的；此外，命题 4 证明 v \otimes 1_{F'} 和 v \otimes 1 是单射的。既然如此，如果 E 是平坦的，则 l_E \otime u 是单射的，因此也

由此可知 l_{E'} \otime u 是单射的，因而 E' 是平坦的。相反，如果 E' 是平坦的，则 l_{E'} \otime u 是单射的；那么从 § 1, no. 4，推论 1 到命题 2，l_E \otimes u 是单射的，因而 E 是平坦的。

注 (1) E 和 E' 也可能平坦，而 E'' 则不平坦，如 \mathbf{Z} 模块 E = \mathbf{Z}、E' = n\mathbf{Z}、E'' = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} (n \geq 2) 的例所示。 (2) 平坦模的子模不一定是平坦模（习题3）。

考虑图表

where the unspecified arrows are 典范嵌入 and surjections and j 典范同构 defined in 代数, 章 I, § 6, no. 13, 定理 6. This 图表 is commutative and its rows are exact.我们导出（因为 F = F' + F''）一个可交换的图表

这个图表的行是精确的（no. 1，引理1）并且1\otimes j是同构。那么我们的断言就是 § 1, no. 4, 命题 1, (i) (cf. 习题 5) 的特例。

由于E是降F调，$\phi(F' + F'')$与$E \otimes (F' + F'')$识别，子模、$\phi(F')$、$\phi(F'')$、$\phi(F' \cap F'')$分别与$E \otimes (F' + F'')$中的$E \otimes F'$、$E \otimes F''$、$E \otimes (F' \cap F'')$的典范像识别。然后从引理 7 得出命题 6。

假设例 $E/E'$ 是平坦的，并考虑图表

其中箭头是典范同态。这个图表是可交换的，并且它的行是精确的（no. 1，引理1）。由于 $E/E'$ 是平的，$u$ 是单射的。那么我们的断言就是 § 1, no. 4, 命题 1, (i) 的特例。

(i) *假设 E/E' 是平坦的。然后，对于 A 的每个左理想 a，

(ii) 相反，假设 E 是平坦的，并且对于 A 的每个有限生成的左理想 a，关系 (5) 成立。那么 E/E' 是平坦的。

(i) 对于$F = A$、$F' = a$的情况，应用命题就足够了。 (ii) 为了证明$E/E'$是平坦的，应用no. 5的命题4的标准(c)；那么有必要确定序列

对于 A 的每个有限生成的左理想 a，精确于 $E'/E'a$。现在这正是关系 (5) 所表达的。

设$G$为$B$模，$G'$子模为$G$。由于 $F$ 是平直的 $B$ 模，因此典范同态 $F \otimes_B G' \to F \otimes_B G$ 是单射的。由于 $E$ 是平坦的，典范同态

是单射的。由于 $E \otimes_A (F \otimes_B G')$ 和 $E \otimes_A (F \otimes_B G)$ 分别被规范地标识为 $(E \otimes_A F) \otimes_B G'$ 和 $(E \otimes_A F) \otimes_B G$ (代数, 章 II, § 3, no. 8, 命题 8), 典范同态

是单射的，证明$E \otimes_A F$是平的$B$模。

$F$ 是 $(C, C)$ 双模，用 $B = A = C$ 足以应用命题 8。

通过定义$E_{(B)} = E \otimes_A B$，其中$B$通过$\rho$被视为$(A,B)$双模。由于右边的$B$-模$B_d$是平的，所以应用命题8就足够了。

回想一下，$\phi_*(M)$是$x.r = x.\phi(r)$为所有$x \in M$和所有$r \in R$定义的正确$R$模块（*代数*，章II, § 1, no. 13）。然后应用命题 8 与$A = S, B = R, E = M$ 和$F = S, S$ 具有由$\phi$ 定义的$(S, R)$双模的结构；那么正确的$R$-模块$M \otimes_S S$恰好是$\phi_*(M)$。

设$E'_\alpha = E_\alpha \otimes_{A_\alpha} A$，其中$A$通过典范同态$A_\alpha \to A$被视为左$A_\alpha$模；我们知道正确的$A$-模块$E$在规范上与$\lim E'_\alpha$同构的（*loc.cit.*，推论2到命题7）。从推论2到命题8，$E'_\alpha$是所有$\alpha$的平右$A$模，因此$E$是no. 3的命题2的平$A$模。