Bourbaki

习题 6, § 2

标签 04F7，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 04F7]。

交换代数, III, 234

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令AA为交换环、EE和FF两个AA模块，以及(En)(E_n)（分别(Fj)(F_j)）右EE（分别FF）由……组成的详尽过滤子AA模块。在张量积G=E⊗AFG = E \otimes_A F，考虑Gn=∑i+j=nIm(Ei⊗AFj)G_n = \sum_{i+j=n} \mathrm{Im}(E_i \otimes_A F_j)的彻底过滤由……组成。

(a) 证明复合典范同态

(Ei/Ei+1)⊗A(Fj/Fj+1)→(Ei⊗AFj)/(Im(Ei⊗AFj+1)+Im(Ei+1⊗AFj))→Gi+j/Gi+j+1 (E_i/E_{i+1}) \otimes_A (F_j/F_{j+1}) \to \\ (E_i \otimes_A F_j)/(\mathrm{Im}(E_i \otimes_A F_{j+1}) + \mathrm{Im}(E_{i+1} \otimes_A F_j)) \to G_{i+j}/G_{i+j+1}
是限制的分级同态的次数 0（称为规范）gr(E)⊗Agr(F)→gr(E⊗AF)\mathrm{gr}(E) \otimes_A \mathrm{gr}(F) \to \mathrm{gr}(E \otimes_A F)，这是满射的。

(b) 证明，如果 gr(E)\mathrm{gr}(E) 是平坦的 AA 模，则 m≤nm \leq n 的 AA 模 Em/EnE_m/E_n 和 n∈Zn \in \mathbf{Z} 的 E/EnE/E_n 是平坦的。

(c) 假设 gr(E)\mathrm{gr}(E) 是平面 AA 模块，EE 是平面 AA 模块（如果 (En)(E_n) 是离散过滤，则第二个假设是第一个推论）。然后 Hij=Ei⊗AFjH_{ij} = E_i \otimes_A F_j 被规范地标识为 G=E⊗AFG = E \otimes_A F 的子模 (章 I, § 2, no. 5, 命题 4)。证明，对于 Z×Z\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} 中的任意两个有限子集 R,SR, S，

(∗)(∑(i,j)∈RHij)∩(∑(h,k)∈SHhk)=Hsup⁡(i,h),sup⁡(j,k) (*) \quad \left( \sum_{(i,j) \in R} H_{ij} \right) \cap \left( \sum_{(h,k) \in S} H_{hk} \right) = H_{\sup(i,h), \sup(j,k)}
其中第二个和(i,j,h,k)(i,j, h, k)穿过R×SR \times S。 （如果 RR 和 SS 分别简化为单个元素，则使用章 I, § 2, no. 6、命题 7。如果 pp 是指标 ii 的最大的且hh出现在RR或SS的元素中，qq出现在RR或SS的元素中的指标jj和kk中最少，考虑典范同态下(*)两侧的像

E⊗AFq→(E/Ep)⊗AFq E \otimes_A F_q \to (E/E_p) \otimes_A F_q

并在 Card(R) + Card(S) 上以归纳进行争论。）

(d) 从(c) 推导出(a) 中定义的典范同态是双射的。

解答

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