习题 24, § 2

右$A$模块$M$的子模$M'$称为纯if，用$j : M' \to M$典范嵌入、同态表示

对于每个左$A$-模块$N$都是单射的。如果 $M'$ 是 $M$ 的直因子或 $M/M'$ 平坦，则情况如此，但这两个条件不是必需的 (习题 4)。

(a) 证明，要使$M'$成为$M$的纯子模，如果$(m'_i)_{i \in I}$是$M'$的元素的有限族，$(x_j)_{j \in J}$是$M$的元素的族，使得$m'_i = \sum_{j \in J} x_j a_{ji}$对于所有$i \in I$和$A$的元素的族$(a_{ji})$，则存在$M'$的元素的族$(x'_j)_{j \in J}$，使得对于所有$i \in I$来说$m'_i = \sum_{j \in J} x'_j a_{ji}$。 （要证明条件足够，请使用 no. 11 的引理 10 来证明 $M' \otimes_A N \to M \otimes_A N$ 对于每个有限生成的左 $A$-模 $N$ 是单射的；要了解条件是必要的，请考虑有限生成的左 $A$-模$N = L/R$，其中$L$是有限生成的自由$A$模块，而$R$是$L$的有限生成的子模。）从这个标准推断，如果$A$是主*理想域*，则概念是纯的$A$模块重合的子模与代数、章VII, § 2、习题7。

(b) 设$M$为右$A$模，$M$的$M'$子模和$M'$的$M''$子模。 证明，如果$M'$是$M$的纯子模，$M''$是$M$的纯子模，则$M''$是$M$的纯子模，$M'/M''$是子模的纯子模 $M/M''$。 如果$M''$是$M$的纯子模，则$M''$是$M'$的纯子模。

(c) 证明，如果$N$和$P$是$M$的两个子模，使得$N \cap P$和$N + P$在$M$中是纯的，那么$N$和$P$是$M$的纯子模。给出$\mathbf{Z}^2$的两个子模$N, P$中的例，它们在$\mathbf{Z}^2$中是纯的，但其中$N + P$不是$\mathbf{Z}^2$的纯子模。

(d) 令$C$为交换环和$E, F$两个$C$模块；表明，如果 $E'$（分别为 $F'$）是 $E$（分别为 $F$）的纯子模，则典范映射 $E' \otimes_C F' \to E \otimes_C F$ 是单射的，并且将 $E' \otimes_C F'$ 与纯子模识别$E \otimes_C F$。

(e) 设$\rho : A \to B$为环同态，$M$为右$A$模，$M'$为$M$的纯子模。证明 $M'_{(B)} = M' \otimes_A B$ 与 $M_{(B)} = M \otimes_A B$ 的纯子模是规范一致的。