习题 22, § 2

令 E 为左A-模。对于A的每个右理想a和每个元素$a \in A$，用$x \in A$的$a : a$集合表示，使得$ax \in a$，并用$y \in E$的$aE : a$集合表示，使得$ay \in aE$。那么显然$(a : a)E \subset aE : a$。证明，对于 E 是平坦的，对于 A 的每个右理想 a 和每个元素 $a \in A$、$(a : a)E = aE : a$，有充分必要。 （要看出条件是必要的，请考虑右A-模$0 \to (a : a)/a \xrightarrow{\psi} A_a/a \xrightarrow{\phi} A_a/a$的正合序列，其中$\psi$是典范嵌入，而$\phi$映射是通过a对乘法左下的商得出的。 条件足以应用no. 11的推论1至命题13的标准：从关系$\sum_{i=1}^n a_i x_i = 0$开始，其中$a_i \in A, x_i \in E$，将假设应用于理想的$a_2 = \sum_{t=a}^n a_t A$和元素$a$，并在$n$上以归纳争论。）