习题 6, § 2

设 A 为环，M 为左A-模。 正合序列

其中$L_i$是一个自由的左A-模$(0 \leq i \leq n)$，称为长度n的M的表示或M的n-表示。如果所有$L_i$都是有限生成的自由模，则该表示称为有限的。

如果 M 是有限生成的左A-模，我们用 $\lambda(M)$ 表示整数 $n \geq 0$ 中最小的上界（有限或 $+\infty$），使得 M 具有有限的 $n$ 表示。如果 M 不是有限生成的，我们集合 $\lambda(M) = -1$。

(a) 设 $0 \to P \to N \to M \to 0$ 为左A-模中的正合序列。然后$\lambda(N) \geq \inf(\lambda(P), \lambda(M))$。 （分别从 P 和 M 的两个 n 表示开始，导出 § 1 的 N 利用习题 5 的一个。）

(b) 令 $M, \xrightarrow{u_n} M_{n-1} \to \cdots \to M_0 \xrightarrow{u_0} M \to 0$ 为 M 的有限 n 表示；证明，如果$\lambda(M) > n$，$\operatorname{Ker}(u_n)$ 就是有限生成A-模。 （让

是 M 的有限 $(n+1)$ 表示，并令 $P = \operatorname{Ker}(v_0)$ 使得存在 P 的 n 表示： (a)的应用方法到正合序列$0 \to P \to L_0 \to M \to 0$我们得到正合序列 和正合序列 $0 \to \operatorname{Ker}(v_{i+1}) \to \operatorname{Ker}(w_i) \to \operatorname{Ker}(u_i) \to 0$（$§ 1$、no. 4、命题 2）。最后观察$\operatorname{Ker}(w_i)$是$M_i \oplus L_{i+1}$的直因子。

(c) 根据 (a) 的假设证明

（如果$n \leq \inf(\lambda(N), \lambda(P) + 1)$，则通过归纳在$n$上显示$\lambda(M) \geq n$，按（a）中的方式论证并使用（b）。）

(d) 根据 (a) 的假设证明

（与 (c) 中的方法相同。）推断，如果 $\lambda(N) = +\infty$，则 $\lambda(M) = \lambda(P) + 1$。

(e) 从(a)、(c)和(d)推出，如果$N = M \oplus P$，则

特别是，对于 N 承认有限表示，M 和 P 也这样做是必要且充分的。

(f) 设$N_1, N_2$为A-模M中的两个子模。假设$N_1$和$N_2$允许有限表示。对于 $N_1 + N_2$ 来说，要承认有限表示，$N_1 \cap N_2$ 是有限生成的是必要且充分的。